基于GM-CPHD濾波算法的主動聲吶目標跟蹤

陳曉, 李亞安, 李余興, 蔚婧

(西北工業大學 航海學院, 陜西 西安 710072)

多目標跟蹤作為一項關鍵技術已廣泛應用于軍事和民用領域[1]，比如：空中交通管制、監視、偵察、海洋學及自動駕駛汽車等。隨著傳感器和計算機技術的發展，多目標跟蹤的應用領域將會更加廣泛。傳統的多目標跟蹤算法有：最近鄰算法、概率數據關聯算法、聯合概率數據關聯算法、多假設跟蹤算法等。雖然這些算法都是基于數據關聯實現多目標的跟蹤，然而它們并不能實現可變數目多目標的跟蹤[2]。近年來，隨著隨機有限集理論的發展，基于貝葉斯濾波框架利用隨機有限集對多目標系統進行建模，基于矩近似的概率假設密度濾波(PHD,probability hypothesis density)[3]算法和帶勢的概率假設密度濾波(CPHD,cardinalized probability hypothesis density)[4]算法被提出。該算法不僅解決了多目標跟蹤中存在的數據關聯問題，而且實現了對可變數目目標的跟蹤。

在目標跟蹤方面，雖然PHD算法是在單個目標運動的狀態空間中進行，從而避免了數據關聯，但是遞推PHD的多目標跟蹤算法沒有閉合解。B N Vo在深入研究的基礎上提出了GM-PHD(Gaussian mixture probability hypothesis density)[5]濾波算法和SMC-PHD(sequential Monte Carlo probability hypothesis density)[6]濾波算法，并且應用于實際問題，如：雙基地雷達跟蹤[7]、聲吶跟蹤[8]等。由于PHD濾波算法在缺失真實目標觀測的情況下，對目標數目的估計十分敏感，Mahler提出了GM-CPHD(Gaussian mixture cardinalized probability hypothesis density)[9]濾波算法，該算法在傳遞PHD的同時還傳遞目標數目的概率密度，可以更好地實現隨機有限集的勢估計。為了減少該算法的計算量，文獻[10]通過跟蹤門策略可以有效地減少計算量而不影響多目標跟蹤性能。然而對于水下聲吶系統的水下多目標跟蹤，雖然文獻[11]將SMC-PHD濾波算法用于實際聲吶目標跟蹤，但是并未對檢測概率進行分析。文獻[12]對變檢測概率條件下的GM-PHD濾波性能進行了分析，但其對檢測概率的建模缺少聲吶方程和水聲理論的依據，跟蹤性能有待進一步提高。

為了實現聲吶系統對水下多目標的跟蹤，結合跟蹤門策略，提出一種適用于水下聲吶系統的自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法。該算法比傳統GM-CPHD濾波算法增加了橢圓跟蹤門以減少計算量，同時提高了水下多目標跟蹤的性能。結合橢圓門策略，本文對GM-CPHD，自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法的跟蹤性能進行仿真分析，結果表明，自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法不僅提高了目標個數估計的精確性，同時可以有效地提高多目標跟蹤性能。

1 隨機集多目標跟蹤基礎

多目標跟蹤目的就是估計當前時刻多個目標的狀態以及總的目標個數，如果用隨機有限集中的元素表示目標狀態，元素的個數表示目標個數，則可以用一個隨機有限集表示多目標狀態集合，同時傳感器的量測集也可以用隨機有限集表示，集合元素表示量測值，集合元素數表示觀測目標數，這樣將多目標問題轉化為隨機集有限集問題。因此，多目標的狀態集合量測集分別以隨機有限集表示如下。

(1)

式中，ES表示目標狀態空間,Xk表示k時刻狀態隨機有限集,nk表示k時刻目標個數;Eo表示傳感器量測空間,Zk表示k時刻傳感器量測隨機有限集,mk表示k時刻傳感器的量測數。

給定k-1時刻的多目標狀態集為Xk-1,綜合考慮目標的不同運動情況,則k時刻的目標狀態隨機集模型可以表示為:

Ξk=Sk|k-1(Xk-1)∪Γk

(2)

式中，Sk|k-1(Xk-1)表示從k-1時刻到k時刻存活的目標隨機集,Γk表示新生目標隨機集。

假設多目標的狀態集為Xk,考慮到傳感器量測信息的來源,則傳感器量測可以表示為:

Σk=Kk∪Ek(Xk)

(3)

式中，Ek(Xk)表示由Xk產生的量測隨機集,Kk表示雜波(虛假量測)的隨機集。

隨機有限集在多目標跟蹤的應用是基于單目標貝葉斯的推廣,故其濾波形式可表示如下。

fk|k-1(Xk|Z1:k-1)=

fk|k(Xk|Z1:k)=

(4)

式中，fk|k-1(Xk|Xk-1)和gk|k(Zk|Xk)分別表示多目標狀態隨機有限集的狀態轉移函數和量測有限集的似然函數。概率密度函數fk|k-1(Xk|Z1:k-1)和fk|k(Xk|Z1:k)分別表示多目標隨機有限集的預測概率密度和后驗概率密度。上式給出了多目標貝葉斯濾波的一般形式,但是集積分通常難以求解,因而實際應用中通常利用各種次優算法逼近多目標貝葉斯濾波,比如:GM-PHD,SMC-PHD及其改進算法。

2 GM-CPHD濾波算法

Mahler提出的CPHD濾波算法解決了PHD濾波算法的局限性,不同于PHD濾波算法,該算法同時傳遞多目標狀態有限集的后驗強度和集合勢的后驗分布信息,因此,利用CPHD濾波算法能夠獲得更加精確地估計目標個數。該算法基于以下假設:

1) 每個目標的運動演化和量測的生成相互獨立;

2) 新生目標隨機有限集和存活目標隨機有限集相互獨立;

3) 雜波隨機有限集是獨立泊松過程且與量測隨機有限集相互獨立;

4) 預測和后驗多目標隨機有限集均為獨立泊松過程。

(5)

單傳感器的CPHD濾波[4]遞推公式可描述如下,假設k-1時刻狀態后驗強度為vk-1,后驗勢分布為ρk-1,那么預測過程如(6)、(7)式所示。

式中

pS,k(ζ)表示目標時刻的存活概率,fk|k-1(x|ζ)表示狀態轉移概率密度,γk(x)為新生目標強度,ρΓ,k為新生目標勢分布。

更新過程如(8)、(9)式所示。

由于CPHD濾波算法的遞歸過程中仍存在多重積分,并不存在閉合解。在線性高斯的條件下,CPHD可以由高斯混合的形式實現,即GM-CPHD濾波算法。該算法遵循以下假設條件:

1) 新生目標的強度是高斯混合形式,即:

(12)

2) 每個目標的遵守線性高斯動力學模型,即:

fk|k-1(x|ζ)=N(x:Fk-1ζ,Qk-1)

gk(z|x)=N(z:Hkx,Rk)

(13)

3) 存活概率和檢測概率相互獨立,即:

PS,k(x)=PS,k

Pd,k(x)=Pd,k

(14)

GM-CPHD濾波算法的遞推過程如下描述:

(1) 預測

假設k-1時刻的先驗強度vk-1(x)和勢分布ρk-1(x)已知,且vk-1(x)服從高斯混合分布,則預測的強度和勢分布分別如(15)、(16)式所示。

vk|k-1(x)=vS,k|k-1(x)+γk(x)

(15)

(16)

式中，γk(x),vS,k|k-1(x)如(17)式所示。

(17)

(2) 更新

式中

3 自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法

3.1 跟蹤門策略

在傳統多目標跟蹤中,利用跟蹤門來得到有效量測,將其應用于GM-CPHD同樣可以降低量測有限集的勢,從而減少該算法的計算量,橢圓跟蹤門的定義如下式所示。

(22)

(23)

3.2 自適應檢測概率

水下目標跟蹤的實現受檢測概率的影響,精確的檢測概率可以保障目標跟蹤的有效性及精確性。以水聲理論為基礎,利用聲吶方程對檢測概率隨跟蹤距離變化進行建模,得到自適應檢測概率,以此為基礎分析檢測概率對GM-CPHD濾波算法的影響。

水下目標跟蹤系統的設計離不開聲吶方程,根據工作方式的不同,聲吶可分為主動聲吶和被動聲吶,其中以噪聲為主要背景干擾的主動聲吶方程[13]如(24)式所示。

SL-2TL+TS-(NL-DI)=DT

(24)

式中，SL為發射聲源級,TL為傳播損失,TS為目標強度,NL為環境噪聲級,DI為指向性指數,DT為檢測閾。由于傳播損失可以表示為距離的函數,間接地,信噪比和檢測閾也可以表示為距離的函數。根據聲吶檢測理論,信噪比與檢測概率以及虛警概率3者之間的關系通過接收機工作特性(ROC)曲線完整表示。所以,檢測概率與距離之間的關系可以通過聲吶方程和ROC曲線建模得到。根據信號檢測理論[14],其推導過程如下。

對于已知信號的檢測,假設檢測判決模型如(25)式所示

H1:x(t)=s(t)+n(t)

H0:x(t)=n(t)

(25)

式中，s(t)為已知信號,n(t)均值為0的高斯白噪聲,以Δt為采樣間隔得到離散時間序列。

二元假設檢測的似然比如(26)式所示。

(26)

將上式簡化可得:

(27)

(28)

(29)

至此得到虛警概率和檢測概率分別為:

(30)

由(30)式可得:

(31)

假設采用主動檢測方式,距離較遠時波陣面為柱面波,因此傳播損失TL=10lg(r),根據(24)式有:RSN=SL-2TL-NL+TS+DI,結合(31)式,得檢測概率、虛警和距離之間的關系式為。

(32)

由于虛警的不確定性無法得到檢測概率與距離的解析關系,此處選擇奈曼皮爾遜準則作為判決標準,即:虛警概率一定的條件下使得檢測概率達到最大。假設:聲源級SL=120 dB,5級海況下NL=55 dB,目標強度為艇艏艉方向的強度TS=10 dB,暫不考慮指向性指數DI=0,給定不同虛警概率的情況下,由(32)式求解得到的關于檢測概率和距離的關系如圖1所示。

圖1 檢測概率隨距離的變化示意圖

從圖1可以看出,當距離一定的時候,虛警概率越大檢測概率越大;檢測概率一定的時候,距離越遠虛警概率越大。無論虛警概率值如何選擇,檢測概率隨距離的增加成遞減趨勢,而虛警概率越小,檢測概率衰減越快。

3.2 自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法

通過對檢測概率的建模分析可知:隨著目標跟蹤距離的變化,虛警和檢測概率出現此消彼長的變化趨勢,而在CPHD濾波更新方程中,檢測概率直接影響到已檢和漏檢兩部分高斯分量大小,因此,結合水聲環境,此處假設虛假概率Pf=0.001,利用檢測概率(32)式替換GM-CPHD濾波算法公式(18)、(19)中的檢測概率,結合橢圓跟蹤門策略,從而可以提高濾波器的估計精度。

4 仿真結果分析

圖2 目標運行軌跡圖

在不同雜波環境下,當檢測概率分別為0.7,0.8,0.9和自適應檢測概率時的GM-CPHD濾波算法分別進行50次蒙特卡羅仿真。

如圖3～圖5所示,在不同雜波密度環境下,針對不同固定檢測概率和自適應檢測概率的GM-CPHD濾波算法對目標數目的估計進行比較,隨著雜波密度的增大,固定檢測概率的GM-CPHD濾波算法在80 s之后目標數統計值明顯偏離真實,隨著時間的偏移,且存在檢測概率越高,目標勢的估計誤差越大的局勢。這是因為實際環境中,隨著目標的遠離,檢測概率逐漸減小,漏檢的目標數目越來越多,然而GM-CPHD算法具有固定檢測概率,導致“不可信”量測用來更新目標數目而導致估計精度越來越差。對于自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法,由于目標離原點距離超過2 km之后,其檢測概率降至0.4之下,但仍具有一定的跟蹤效果,而對目標勢的估計出現較多的誤差?？傮w而言,自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法對目標勢的估計更準確。

圖3 雜波強度λ=5時對目標數目統計比較

圖4 雜波強度λ=10時對目標數目統計比較

圖5 雜波強度λ=20時對目標數目統計比較

時間平均OSPA距離GM-CPHDPd=0.7Pd=0.8Pd=0.9自適應檢測概率GM-CPHDλ=545.1352.6467.2835.31 λ=1049.4353.6364.631.57 λ=2054.0957.4762.8732

如表1所示：通過OPSA距離[15]對多目標跟蹤性能進行衡量。隨著雜波強度的增大，當固定檢測概率時，GM-CPHD濾波算法其時間平均OSPA距離有增大趨勢，因短距離情況下，高檢測概率更接近真實檢測概率對多目標跟蹤精度高，而當距離增大時，其同樣存在高檢測概率導致"不可信"量測被用來估計目標狀態，對于目標勢估計的錯誤最終使得目標跟蹤性能下降，故時間平均OPSA距離總體較大。而對于自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法，由于該算法中檢測概率的誤差小，不僅提高對目標勢的估計，同時可以更精確地實現多目標跟蹤。總體而言，該算法比固定檢測概率GM-CPHD具有更好的跟蹤性能。

5 結 論

針對水下目標跟蹤的應用，本文在橢圓跟蹤門策略的基礎上，結合聲吶方程，利用信號檢測理論對檢測概率、虛警概率和距離進行建模，選擇奈曼皮爾遜準則作為判決標準，得到當虛警概率一定的條件下，自適應檢測概率與距離之間關系的解析式，并將其應用于GM-CPHD濾波算法，提出了自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法。對不同固定檢測概率GM-CPHD濾波算法和自適應檢測概率GM-CPHD濾波算法進行仿真，結果表明：隨著雜波強度的增大，在目標勢的估計方面該算法優于固定檢測概率GM-CPHD濾波算法，同時該算法也提高了多目標跟蹤性能。