基于前景理論的一種猶豫模糊多屬性群決策方法

孫朋, 張駿, 曾紅斌

(西北工業大學 自動化學院,陜西 西安 710072)

隨著人們生產生活中決策問題的日益復雜化，傳統的多屬性決策方法在一些亟待解決的決策難題面前常常束手無力。為了模擬人在決策過程中的猶豫不決狀態，諸如區間模糊集、直覺模糊集及區間直覺模糊集等概念陸續被提出，并被廣泛用于實際決策中。Torra拓寬了模糊集的概念，提出了猶豫模糊集，并被很多學者引入到多屬性決策問題中描述決策者的優柔寡斷程度[1]。Xu等提出了一種解決權重信息不充分的猶豫模糊TOPSIS多屬性決策方法[2]。朱麗等針對屬性值為猶豫模糊數和區間猶豫模糊數，提出了一種猶豫模糊風險型決策方法[3]。劉云志等針對具有單一或組合指標期望的多屬性決策，將原始決策問題轉化為廣義優序模糊約束滿意問題，通過計算總體滿意度對方案進行排序[4]。劉小弟等通過構建正負理想點，建立了一種針對猶豫模糊信息的向量投影測度方法，結合Jaynes最大熵原理，確定方案的排序結果[5]。Sun等通過結合模糊集理論和模糊層次分析法優點，較好地解決了判斷矩陣中的不確定性[6]。Amali和Ramachandran基于主成分分析建立了決策矩陣，解決了多屬性群決策方法的復雜度問題[7]。Lin提出了一種基于決策者風險偏好的多屬性決策方法，并建立了計算決策者風險偏好的方法[8]。

前景理論自1979年被諾貝爾經濟學獎獲得者Kahneman等提出以來，由于很好地解釋了人們在面臨決策行為時的確定性效應、孤立效應和反射效應，在決策領域獲得了廣泛的應用。李鵬等通過分析舊記分函數的缺陷，建立了一種基于集對論的新記分函數，使用新記分函數將直覺模糊決策矩陣轉化為記分矩陣，進而得到基于零參考點的前景決策矩陣，解決了隨機直覺模糊決策問題[9]。王堅強等為了解決區間灰數隨機多準則決策問題，將風險決策矩陣轉換為基于參考點為備選方案的前景決策矩陣，并利用實際算例驗證了方法的有效性[10]。張娟等針對決策信息為區間數的多指標決策問題，引入前景理論將決策矩陣轉換為基于參考點為正負靶心的前景決策矩陣，構造決策樹確定方案的排序[11]。高建偉等通過新構造的記分函數，將區間模糊數轉換為實數，并構建了基于零參考點的前景決策矩陣，計算方案的綜合前景值并依此排序[12]。

現有多屬性群決策方法主要比較方案集內部的貼近程度，不能夠反映與理想解的相對接近程度。通過引入前景理論可以計算每個方案相對于理想方案的前景值，準確表示出不同方案基于參考點為理想解的收益和損失情況。因此，本文研究建立了一種基于前景理論的猶豫模糊多屬性群決策方法。利用不同權重的專家對各個方案的所有屬性值給出評估，并用猶豫模糊集記錄。基于前景理論，使用正負理想解作為參照點，將猶豫模糊決策矩陣轉化為收益及損失決策矩陣，考慮到決策者的風險偏好和風險厭惡程度，計算每個方案的收益損失比，并依此進行排序。最后驗證了此方法的有效性。

1 問題描述和模型構建

1.1 問題描述

根據專家權重的加權處理方法,可得到方案Ak在屬性bn上的屬性值為hkn[13]。設決策者對某屬性偏好為φn(hkn),且φn(hkn)∈[0,1],則經典的多屬性固權決策模型可以表示為:

(1)

式中，Uk表示決策者對第k個方案的綜合偏好。若對于所有的屬性值(1)式都成立,則稱屬性b1,b2,…,bN之間偏好絕對獨立或者屬性偏好獨立。

1.2 改進型熵權法

信息熵描述了一個系統的無序程度,某個指標的信息熵越小,表征其變異程度越大,所蘊含的信息量越多,則應該賦予這個指標更大的權重。在多屬性決策中,對猶豫模糊決策矩陣進行標準化處理后,基于猶豫模糊熵的權重,指標hkn的猶豫模糊熵Ekn定義為[14]:

(2)

式中,hσ(i)表示猶豫模糊元hkn中第i大的元素,lkn是猶豫模糊元hkn的元素個數,不同屬性的權重定義為:

(3)

(4)

a∈(-∞,+∞),?k=1,2,…,M

(5)

在這里,φi(hki)(i=1,2,…,N;k=1,2,…,M)表示決策者的單屬性偏好函數。(4)式中關于a的取值并沒有明確的賦值方法,比較籠統的取值原則:“決策者對狀態值大的因素考慮越多,a的取值應該趨于正無窮大;決策者對狀態值小的因素考慮越多,a的取值應該趨于負無窮大”[16]。

為了獲得主成分對主觀修正系數影響,對(4)式泰勒展開,可得

(6)

使用主觀修正系數λj(h),對(3)式中權重進行修正,可得

(7)

將(6)式代入(7)式,可得

i=1,2,…,N;?k=1,2,…,M

(8)

2 決策步驟

由于決策者固有的風險偏好以及實際問題中決策問題的復雜化、模糊化程度加劇,決策者往往不能完全憑借自己的能力做出合理判斷,參考專家的意見就顯得尤為重要。經典TOPSIS多屬性決策方法要求屬性值為已知的精確值,且決策者是完全理性的,這樣的假設難以勝任實際的復雜問題。因此,本文建立了一種基于前景理論的猶豫模糊多屬性決策方法,通過專家集對方案的屬性值進行匿名評估,在獲得所有的專家評估結果后,根據專家權重,加權處理得到每個方案在每個屬性上的屬性值;再通過熵權法確定屬性權重,加權處理得到猶豫模糊決策矩陣,計算每個方案與正負理想解[17]的距離及綜合前景值,確定所有方案的排序結果。具體步驟如下:

(9)

(10)

計算每個方案與正負理想解的猶豫模糊Hamming距離測度或者猶豫模糊歐式距離測度,其中正理想解為Ω+,表示屬性值的最大值。負理想解為Ω-,表示屬性值的最小值。

l為每個猶豫模糊數的元素個數,擴充后每個猶豫模糊數長度是相等的。則方案Ak相對于正負理想解的猶豫模糊歐式距離可以表示為[18]:

(13)式和(14)式中Ω±(n)表示理想解Ω±中第n個元素的屬性值,d(Qkn,Ω±(n))表示猶豫模糊數Qkn與Ω±(n)的猶豫模糊歐式距離。

3) 計算方案Ak在屬性bn上的前景值,相對于正理想解來說,方案Ak是損失的;相對于負理想解來說,方案Ak是產生收益的。因此,根據Tversky給出的價值函數ν(Δx)[19],前景值分別為

式中，α,β和θ是已知參數,α是風險態度系數,表示決策者對收益的關心程度;β是損失厭惡系數,表示決策者對損失的關心程度;θ表示決策者對收益和損失的敏感程度不同。通常參數的取值范圍為α>0,β<1,θ>1。

3 算例分析

表1 專家評估及歸一化猶豫模糊處理后的結果

方案A1在屬性b1上的屬性值專家評估結果為y1:{0.2,0.4},y2:{0.6}。考慮專家權重{0.7,0.3},經加權處理后的屬性值為{0.32,0.46},其中0.32=0.2×0.7+0.6×0.3[14],經過標準化和歸一化后的屬性值為{0.54,0.68,0.68},其他屬性值數據類似,進而獲得猶豫模糊熵,如表2所示。

表2 猶豫模糊熵

使用熵權法確定的未修正屬性權重為:w=(0.2541,0.1512,0.4884,0.1063)。

決策者給定方案的單屬性偏好為φ(hkn)=(0.3,0.3,0.2,0.2),?k,n=1,2,3,4。當a=10時,修正因子為λ(h)=(1.648 7,1.648 7,0.606 5,0.606 5)。因此,修正權重為w*=(0.407 1,0.242 3,0.287 9,0.062 7),則可得加權猶豫模糊決策矩陣Q=JW,如表3所示。

表3 加權猶豫模糊決策處理的結果

由此可以得到正負理想解:

相對于正理想解,方案是損失的;相對于負理想解,方案是盈利的。當α=β=0.88,θ=2.25時,根據(15)式和(16)式,可得前景決策矩陣,如表4所示。

表4 前景決策值

進而,可得每個方案的收益損失比,如表5所示。

表5 收益損失比

由收益比可知,收益比越大,方案越優,排序結果為A4>A5>A1>A2>A3,所以選擇購買第4種生產線。

4 結 論

針對多屬性決策過程對方案的猶豫和不確定性,提出了一種基于前景理論的多屬性群決策方法。該方法引入專家集對方案的屬性值進行匿名評估,并充分考慮決策者的屬性偏好,既反映了決策者的主觀意愿,又避免了決策者對方案評估時不穩定心理狀態的影響。使用構造的熵權計算確定屬性權重并進行更新,通過引入前景理論,將方案與理想解的猶豫模糊歐式距離轉化為方案的前景值,充分考慮人們在面臨風險和收益時的風險偏好、風險厭惡的敏感程度。用收益損失比代替貼合度,并依此對方案進行排序。最后驗證了該方法的科學性、可行性及有效性。