淺析初中數學方案設計常見類型

葉延亮

摘 要：初中數學方案設計是初中數學教學的一項重要內容，重視考查現實情況轉化為數學情境方案的設計與決策，能更好地促進學生的能力提升.初中數學方案設計常見的數學模型有：方程（組），一元一次不等式（組），一次、二次函數或反比例函數，概率統計，幾何知識等等.

關鍵詞：初中數學；方案設計；常見類型

數學建模是一種運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的數學的思考方法，也是一種強有力的數學手段[ 1 ].用數學模型去分析、解決方案設計類型，能提高學生的數學素養，增強學生數學應用意識，能培養學生的創新思維.以下就初中數學方案設計常見類型等進行一些淺析.

1 運用方程（組）方案設計

【例題1】王麗同學帶20元錢到商店購買水筆和筆記本，已知每支水筆的單價為2元，每本筆記本的單價為3元，如果20元剛好用完，那么有幾種購買水筆和筆記本的方案？

解析：認真閱讀題意，理解重要性的句子.已知每支水筆的單價為2元，每本筆記本的單價為3元，20元剛好用完.找出等量關系式，通過設兩個未知數，可構建出二元一次方程模型，再依未知數的實際含義，解出二元一次方程的解，從而解答了方案設計問題.

解答：設購買x支水筆，y本筆記本.根據題意得，2x+3y=20 . ∵x，y為非負整數， ∴x=10 ，y=0； x=7， y=2； x=4，y=4 ； x=1，y=6 .故有4種方案.方案1：購買10支水筆，0本筆記本；方案2：購買7支水筆，2本筆記本；方案3：購買4支水筆，4本筆記本；方案4：購買1支水筆，6本筆記本.

2 運用不等式（組）方案設計

【例題2】林華同學到新華都超市購買學習用品，她用了18元剛好買了一副三角板和3個圓規；若用31元則可買同樣的2副三角板和5個圓規.①求每副三角板和每個圓規的單價；②期中考后，學校為了獎勵成績突出的同學，用了200元錢購買上述價格的三角板和圓規共48件，且圓規的數量不小于三角板的數量，請寫出所有的購買方案.

解析：認真閱讀題意，理解重要性的句子.18元剛好買了一副三角板和3個圓規；31元買了同樣的2副三角板和5個圓規.從中找出兩個等量關系式，構建出方程（組）模型.題目中還有一個重要的語句：用了200元錢購買上述價格的三角板和圓規共48件，且圓規的數量不小于三角板的數量.根據這兩個含有不相等關系的語句，可找出含兩個不等量的關系式，設出一個未知元，列出不等式組，解得未知元的解集.又考慮未知元的實際意義，從而確定所需的購買方案.

解答：①設每副三角板單價是x元，每個圓規的單價是y元，依題意得， x+3y=18 ，且 2x+5y=31 .解得 x=3，y=5.故每副三角板單價是3元，每個圓規的單價是5元.②設購買a副三角板，購買（48-a）個圓規，依題意得 3a+5（48-a）≤200 ，且48-a≥a.解得20≤a≤24 .又∵a為正整數，∴a=20，21，22，23，24. 所以一共有5種方案.方案①購買20副三角板，28個圓規；方案；②購買21副三角板，27個圓規；方案③購買22副三角板，買26個圓規.方案；④購買23副三角板，購買25個圓規；方案⑤購買24副三角板，24個圓規.

3 運用函數方案設計

【例題3】陽光棉布廠存有A種布料重360千克，B種布料重290千克，計劃利用這兩種布料加工制造甲，乙兩種產品共50件.已知加工每件甲產品需要用A種布料9千克，B種布料3千克，可獲利300元；加工每件乙產品需要用A種布料4千克，B種布料10千克，可獲利320元.問如何加工制造 甲，乙兩種產品的件數使得總利潤最大，最大是多少？

解析：在閱讀審題中，理解關鍵的語句：陽光棉布廠存有A種布料重360千克，B種布料重290千克，計劃利用這兩種布料加工制造甲，乙兩種產品共50件.這語句相當于加工甲種產品所需A種布料重不超過360千克，加工乙種產品所需B種布料重不超過290千克.根據兩個不等量關系式，構建出不等式組模型.根據題意： 如何加工制造甲，乙兩種產品的件數使得總利潤最大，最大是多少？依總利潤的概念，可建構出函數模型，從而確定利潤最大時的設計方案.

解答：設加工甲種產品x件，加工乙種產品（50-x）件.依題意得，9x+4（50-x）≤360，且 3x+10（50-x）≤290.解得 30≤x≤32 .因此有3種設計方案.設總獲利為W，則W=300x+320（50-x）=-20x+16000， 所以W是x的一次函數，且W隨著x的增大而減小.又∵30≤x≤32，∴當x=30時，W最大，最大值為W=-20×30+16000=15400.∴50-x=20. ∴加工甲種產品30件，加工乙種產品20件才能使利潤最大，最大值為15400元.

小結方程、不等式、函數型方案設計題的一般步驟：

①認真審題，找出問題中反映已知量與未知量的等量關系或不等量關系的語句，根據這些語句，建立方程、不等式或函數模型；

②設合適的未知元，構建方程（組）、不等式（組）或函數關系式；

③解方程（組）或不等式（組），求出方程的解，或不等式（組）的解集，或函數的最值；

④根據方程的特殊解或不等式的正整數解，確定解決實際問題的最優方案.

4 運用概率統計方案設計

【例題4】在木制的箱子中裝有4個除顏色外大小、重量均相同的乒乓球，球面分別寫上數字-1，-2，1，2.設計兩種游戲規則，使得這個游戲對兩人公平，并說明理由.

方案①，搖勻后隨機摸出一個乒乓球，記下標注的數字，然后放回搖勻，又摸出一個乒乓球.A，B兩個人完成摸乒乓球游戲，如果A，B兩個人摸出乒乓球上標注的數字組成的坐標表示的點在 y=的圖像上，那么A獲得勝利；如果A，B兩個人摸出乒乓球上標注的數字組成的坐標表示的點在 y=的圖像上，那么B獲得勝利.

分析：認真閱讀題意后，知道了摸球游戲規則需要兩步完成，且第一次摸球后球有放回，需利用畫樹狀圖或列表的方法求出事件發生的概率.

理由：所有可能的結果如下表1

有16 種結果，每一種結果的可能性都相同.摸出乒乓球上標注的數字組成的坐標表示的點在 y=的圖像上有4種，即（-1，-2），（-2，-1），（1，2），（2，1）.摸出乒乓球上標注的數字組成的坐標表示的點在 y=的圖像上，有4種，即（-1，2），（-2，1），（1，-2），（2，-1）.所以P（A獲勝）=0.25，P（B獲勝）=0.25，P（A獲勝）=P（B獲勝），所以這是公平的游戲.

方案②， 搖勻后隨機摸出兩個乒乓球，記下標注的數字。如果A，B兩個人摸出乒乓球上標注的數字組成的坐標（a，b）滿足 b2 -a2 =3，那么A就獲勝；如果A，B摸出乒乓球上標注的數字組成的坐標（a，b）滿足b2 -a2 =-3，那么B就獲勝.

分析：認真審題后，知道了摸球游戲規則也需要兩步完成，并且第一次摸球后，球沒有放回，也需利用畫樹狀圖或列表的方法求出事件發生的概率.

理由：所有可能結果如表2：

共有12 種結果，每一種結果的概率相同.摸出乒乓球上標注的數字組成的坐標（a，b）滿足 b2 -a2 =3有4種，即（-1，-2），（-1，2），（1，-2），（1，2），A獲得勝利的概率為；摸出乒乓球上標注的數字組成的坐標（a，b）滿足b2 -a2 =-3有4種，即（-2，-1），（-2，1），（2，-1），（2，1），B獲得勝利的概率為，因此A，B獲勝概率相等，此游戲對雙方公平.

5 運用幾何知識方案設計

【例題5】圖1 A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，王軍想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長.請你幫他設計出至少三種測量池塘兩端A，B距離的方案.

①先在池塘外邊上找到一個合適的點C，如圖1，連接AC，BC，再構造△CDE全等于△CAB，測量出DE的長度，那么AB的長度就等于 DE的長度.

②先在池塘外邊上找到一個合適的點C，如圖2，連接AC，BC并分別取AC，BC的中點M，N，連接MN， 并測量出它的長度，那么AB的長度就等于2MN的長度.

③先在池塘外邊找到一個合適的點C，如圖3，使得AC垂直于AB，連接并測量出AC，BC的長度，利用勾股定理AB2=BC2-AC2，求出AB的長度.

6 加強初中數學方案設計常見類型的教學，促進學生能力的提升

（1）提升學生閱讀思考能力.在例題1的教學中，先引導學生認真審題，捕捉關鍵性的句子，“已知每支水筆的單價為2元，每本筆記本的單價為3元，如果20元剛好用完”，思考并理解其含義.其次，使學生在閱讀課本例題的解題過程中體驗思維過程如何用數學語言表達出來.這樣學生在問題思考中，慢慢感悟學習數學的快樂，抓在閱讀中的靈感點，養成閱讀的好習慣，積累有益的閱讀經驗.

（2）提升學生建模和創新能力.“數學發展所依賴的思想在本質上有3個：抽象，推理，模型…，通過抽象，在現實生活得到數學概念和運算法則，通過推理得到數學公式、性質和判定，使數學得到發展，然后通過模型建立數學與世界的聯系”[ 2 ].在例題2教學中從題目找出兩個等量關系式，構建出方程（組）模型；在問題2中根據這兩個含有不相等關系的語句，可找出含兩個不等量的關系式，建立不等式組模型.在例3教學中從題目找出兩個不等量關系式，構建出不等式組模型.根據題意： 如何加工制造甲，乙兩種產品的件數使得總利潤最大，最大是多少？依總利潤的概念，可建構出函數模型.方案設計題以日常生活實際問題為情景，在解決問題中需要建立方程（組）、不等式（組）、函數、概率統計、幾何等模型，構建模型的過程就是實踐，創新的過程.

（3）提升學生數學語言表述能力.例題5教學中，教師運用ppt展示解題過程，或通過板演，或學生閱讀課本例題解題過程，讓學生得到規范性的數學語言表達.在鞏固練習時學生模仿教材和教師相同或相近的方法，自己親身嘗試表達過程，在師生交流，生生交流中感悟數學語言表達的得與失，從而提升數學語言表述能力.

（4）提升學生應用決策的能力.例題3教學中通過建立不等式組模型，解出不等式組的解集，從而設計出符合要求的3種方案，計算出每一種方案所需的結論，結合實際做出科學決策.

因此，通過對方程（組）、不等式（組）、函數、概率、平面幾何知識等進行方案設計常見類型案例的淺析，一方面讓學生了解此類問題設計情景常常以日常生活實際問題為素材，也讓學生感知到此類問題設計是開放和應用結合的綜合性類型.另一方面提升了學生的閱讀力、思考力、建模能力、應用決策能力和數學語言表述能力；增強了學生思維的發散性、收斂性、創新性等，也為今后解決更難的方案設計打下堅實基礎.

參考文獻：

[1]李小玲.傳統數學教學、數學建模與數學實驗一體化教學模式研究[J]考試周刊，2011（91）：11-15.

[2]史寧中.數學思想概論[M].長春：東北師范大學出版社，2015.