一類弱奇異Volterra積分方程的修正復(fù)合Gauss-Legendre求積算法

秦 夢(mèng)，王同科，呂振亞

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

考慮一類弱奇異Volterra積分方程

其中：g（t）為已知函數(shù)；μ為正常數(shù).由方程知當(dāng)μ＞1時(shí)，其核函數(shù)僅在t=0處奇異；當(dāng)0＜μ＜1時(shí)，核函數(shù)在t=0和s=0處均奇異.方程（1）在帶有混合邊界條件的熱傳導(dǎo)方程中應(yīng)用廣泛.文獻(xiàn)[1]指出積分算子不連續(xù)，即算子非緊致，故不能用一般的數(shù)值方法求解這類弱奇異Volterra積分方程，文獻(xiàn)[2]給出了方程（1）解的表達(dá)式，將方程（1）轉(zhuǎn)化為奇異積分的計(jì)算問題.

許多文獻(xiàn)研究了方程（1）的數(shù)值求解方法.文獻(xiàn)[3]研究了一種基于歐拉方法的外推法.文獻(xiàn)[4]在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，證明了當(dāng)0＜μ≤1時(shí)，解的收斂階為O（hμ），其中h為最大的網(wǎng)格尺寸.文獻(xiàn)[5]采用歐拉方法提高了收斂速度，收斂階為O（h/ε），ε依賴于網(wǎng)格尺寸h.文獻(xiàn)[6]在漸密網(wǎng)格下采用歐拉方法，但該方法對(duì)0＜μ＜1不適用.文獻(xiàn)[7]基于高斯求積公式提出了一種高階的算法，所得方程的解有較高的收斂階，但g（t）需滿足一定的條件.本文基于修正的復(fù)合Gauss-Legendre求積算法，將區(qū)間[0，t]剖分為n等份，步長(zhǎng)為h，在包含奇點(diǎn)的小區(qū)間[0，h]上利用修正的復(fù)合Gauss-Legendre求積算法，在其余小區(qū)間使用傳統(tǒng)的復(fù)合Gauss-Legendre求積公式，得到了精度非常高的數(shù)值解.

1 具體算法

1.1 奇異積分的Gauss-Legendre求積算法

1.2 當(dāng)0＜μ≤1時(shí)方程（1）的求積算法

1.3 μ＞1的情形

當(dāng)μ＞1時(shí)，f（s）=sμ-2g（s）.若g（s）有Puiseux級(jí)數(shù)展開式（14），而β1＞0，則有

2 數(shù)值算例

表1 例1中，c0=0的計(jì)算結(jié)果和誤差Tab.1 Computational results and errors of example 1 when and c0=0

表1 例1中，c0=0的計(jì)算結(jié)果和誤差Tab.1 Computational results and errors of example 1 when and c0=0

C-value E-error T-error 0.5 0.887 690 545 165 589 1.184 78×10-15 -4.440 89×10-16 1.0 1.917 522 474 449 763 1.675 54×10-15 -8.881 78×10-16 1.5 3.060 910 065 246 724 2.052 10×10-15 -1.332 27×10-15 2.0 4.310 446 560 739 000 2.369 57×10-15 -8.881 78×10-16 2.5 5.663 584 263 620 385 2.649 26×10-15 -0 3.0 7.119 941 062 224 148 2.902 11×10-15 -3.552 71×10-15 t

取 t=0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0.使用式（18）～式（24）計(jì)算，結(jié)果如表2所示.由表2知，此例得到了雙精度的計(jì)算結(jié)果.

表2 例2的計(jì)算結(jié)果和誤差Tab.2 Results and errors of example 2

例1和例2的計(jì)算結(jié)果表明，使用本文給出的復(fù)合Gauss-Legendre求積算法求解Volterra積分方程（1）均得到了高精度的計(jì)算結(jié)果，且輸出誤差與真實(shí)誤差比較匹配，可以用來衡量計(jì)算精度.