以數學繪本為媒介 滲透數形結合思想
——以“生活中的螺線”一課為例

浙江杭州師范大學附屬嘉興經開實驗小學（314000）

縱觀整個小學數學，數形結合思想始終貫穿其中:一年級的湊十法、破十法，二年級的有余數除法，四年級的植樹問題，六年級的分數應用題……螺線因與圓形有相似性，雖然知識的跨度比較大，但是學生已經在生活中積累了大量的感性認識，因此，六年級的“生活中的螺線”這一課，對于培養學生的數形結合思想是非常有幫助的。

一、以“數”化“形”，借助數列聯想圖形

“生活中的螺線”這一課所涉及的“數”是數列，對于六年級的學生來說，數列并不陌生，學生已經有過尋找數列的規律，并按規律填數的豐富經驗。對于“形”，學生已經掌握了圓的有關知識，雖然從未接觸過螺線這個名詞，但是在生活中能夠找到它的原型。教學時，教師只要引導有效，就能促使學生建立“數”與“形”之間的聯系（如圖1）。

圖1

課件出示數列：0 5 5 5 5···

0 1 2 3 4···

師：請比較這兩個數列，它們有什么相同點和不同點？

生1：相同點是都有0。

師：對，0通常表示起點，那不同點呢？

生2：第一個數列的每一個數字都是5，第二個數列是1，2，3，4。

師：如果讓你猜一猜每個數列后面的數，你認為會是哪些數？

生3：第一個數列后面的數都是5，第二個數列后面的數是5，6，7，8···

師：其實數和形是緊密聯系的，看到5 ，5，5，5，你想到了什么圖形呢？

生4：正方形。因為正方形每條邊都是相等的。

生5：圓。因為圓的半徑都是相等的。

師：那么看到1，2，3，4，你會想到什么圖形呢？請畫一畫。

（學生嘗試在方格紙上畫，得到圖2和圖3兩種情況）

圖2

圖3

師：剛才我們說4后面應該是5，如果把5也畫出來4應該和哪個數相連？5后面是幾？還能不能往下畫？

生6：4應該和5相連，還可以繼續往下畫。

師：這個圖形的名字叫螺線。螺線和圓有什么類似的地方？有什么不一樣的地方？

生7：圓有起點和終點，螺線只有起點，沒有終點。

生8：圓上任意一點到圓心的距離都相等，螺線上任意一點到起點的距離不相等。

生9：這條螺線之間的空隙都是相等的。

師：這條螺線被命名為“阿基米德螺線”。因為偉大的數學家阿基米德是第一個研究它的人，所以用他的名字來命名。

通過第一個常數數列中數字都相等的規律，學生結合所學圖形的特點，根據四條邊相等聯想到了正方形，但是由于數列中項的個數是無限的，學生又聯想到了有無數條半徑、每一條半徑的長度都相等的圓。顯然，學生不僅從外顯上有直觀的感受，而且也能夠從內涵上將數和形緊密聯系起來。轉化第二個等差數列對學生來說比較困難，雖然數列不陌生，圖案卻從來沒有接觸過，但這是本課的重點，所以這個環節可以先讓學生在方格紙上畫一畫，并在學生反饋時抓住關鍵問題“4應該是和哪個數連起來？”引發學生的認知沖突，引導學生把數列的特點進一步和螺線聯系起來，明確4的后面應該是5，所以4應該和5連接，并可以連續不斷地畫下去，沒有終點。教師通過設置挑戰性的任務“看到數列你會想到什么圖形呢？”，并以此作為關聯點，讓學生在觀察、想象、操作、探究、修正中經歷由數到形轉化的具體過程，進一步溝通“數”與“形”之間的聯系，從而掌握阿基米德螺線的特征。

二、以“形”變“數”，根據圖形研究數列

“形”雖然有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算。教師要引導學生充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示為“數”的形式后進行分析計算（如圖4）。

圖4

師(出示圖5)：這是鸚鵡螺殼的橫截面，這個線條和阿基米德螺線一樣嗎？用手比畫它是怎么旋轉的。

圖5

圖6

生1：不一樣，它旋轉不均勻，離起點越來越遠。

師：把它也畫成螺線會是什么樣的呢？（出示圖6）它所對應的數列是哪個呢？

生2：看方格圖數，得到0，1，1，2，3，5，8，13，21…

師：這個數列有什么特點？

生3：前面兩個數相加得到后面那個數。

師：這個數列叫斐波那契數列，用這個數列所畫成的螺線叫斐波那契螺線。

在生活中較具代表性的斐波那契螺線的現象是各種軟體動物的殼，其中鸚鵡螺是最典型的。教師可出示螺殼橫截面，讓學生用手比畫——想象螺線圖——觀察得出數列，經歷從具體到抽象、從形到數的過程。學生在這個過程中能感受到數學與生活的聯系、圖形與數列之間的密切關系，感受數學學習的價值。

三、“數”“形”互變，溝通內在聯系

解決一些數學問題時，不僅僅是簡單的“以數變形”或“以形變數”，而是需要“形”“數”互相變換，不但要想到由“形”的直觀變為“數”的嚴密，還要由“數”的嚴密聯系到“形”的直觀（如圖7）。

圖7

師：如果把數列0，2，4，6，8，10，12…畫成螺線，會是哪種螺線？數列2，6，10，14，18…呢？

生1：都是阿基米德螺線，但是螺線之間的距離變寬了。

師：如果我把這兩個數列合并在一起呢？畫出來會是什么樣的？給大家3個選項（如圖8）。

圖8

生2：選B。

生3：選C。

……

師：為什么沒有人選A呢？

生4：兩個數列的規律是不一樣的，所以合并以后畫出來的圖形肯定不是勻稱的，但不確定是選項B還是C。

師：在方格紙上再畫一畫吧，看看到底是什么樣子。畫完后靜靜地想一想為什么。

生5：選C。畫出來就知道了。

生6：選C。因為縱軸的間距小，橫軸的間距大。

生7：選C。數列0,2,4,6,8…是畫在縱軸上的，相差2；數列2，6，10，14，18…是畫在橫軸上的，相差4，比縱軸多。因此就形成選項C的螺線。

師：如何能讓它形成選項B這樣的螺線呢？

生8：兩個數列的位置交換一下。

生9：先畫橫軸，再畫縱軸。

……

數形結合思想絕不是簡單的由形到數或者由數到形的單向轉化，更多情況下是兩者互相依存、互相聯系、共同存在。在學生學習了阿基米德和斐波那契兩種著名的螺線，并感知到了它們的特點后，筆者出示了兩個不同的等差數列，讓學生先不畫圖，而是在頭腦中想象圖像，然后直接判斷圖像屬于哪種螺線，引導學生進一步鞏固上一環節所學的知識。最后，筆者設置了挑戰性任務“把兩個數列合并，合并以后畫出來會是怎樣一個圖形呢？”，促使學生積極參與思考，并且為了能讓學生完成學習目標，設計了四個步驟：①獨立在頭腦中想象；②四人小組討論并給出選擇；③動手畫一畫；④反饋結果并探究其原因。在整個教學環節中，先由數列想象圖形，遇到阻礙再通過畫一畫跨越障礙，得到正確的螺線圖，最后通過螺線圖回頭分析成因，進一步明晰數列的特征，可謂是數中有形，形中有數，互相轉化，密不可分。通過教師有意識、分層次的引導，培養了學生的動手操作能力和分析歸納能力。

總之，數形結合是學生解題的捷徑和鑰匙，滲透數形結合的思想也是數學基礎教學中不可或缺的組成部分，它不僅能培養學生的思維能力，還能提高學生解決問題能力，促進學生數學素養的提升。