基于數(shù)形結(jié)合的乘法分配律錯(cuò)例分析

安徽馬鞍山市四村小學(xué)教育集團(tuán)（243000）

教材四年級(jí)下冊(cè)“運(yùn)算定律”這一單元，總能聽到很多教師抱怨：“學(xué)生怎么就找不到乘法分配律中的公因數(shù)呢？”“三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)連乘，肯定是用乘法交換律或是結(jié)合律，這些孩子怎么會(huì)用上乘法分配律呢？”“學(xué)完整個(gè)單元后，學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤簡(jiǎn)直五花八門，一片混亂。”……

除了五條基本運(yùn)算定律外，連減、連除的簡(jiǎn)便計(jì)算以及加減、乘除的靈活應(yīng)用等相關(guān)內(nèi)容也被編排在“運(yùn)算定律”這一單元。整個(gè)單元知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)全面，但對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，卻具有一定難度，其中的乘法分配律似乎成了學(xué)生很難跨越的“坎”。

運(yùn)算定律 運(yùn)算性_質(zhì)___________________________________________名稱___加法_______________________交換律___加法__________________結(jié)合律___乘法_______________________交換律乘法結(jié)合律____________乘法分配律_____________減法的運(yùn)算性質(zhì)字母表達(dá)式____________a+b=b+a_____________（a+b）+c=a+（b+c）________a×b=b×a_____________（a×b）×c=a×（b×c）_________（a+b）×c=a×c+b×c__________a-b-c=a-（b+c）除法的運(yùn)算性質(zhì)a÷b÷c=a÷（b×c）（b≠0 ，c≠0）

從上表可以看出，與其他只包含單一運(yùn)算的運(yùn)算定律和性質(zhì)相比，乘法分配律含有乘法與加法兩種運(yùn)算，思維含量較高。同時(shí)，乘法分配律與乘法結(jié)合律在形式上最為相似，也給學(xué)生造成一定的干擾。如果只重視乘法分配律外在形式的識(shí)記與模仿，忽略對(duì)其本質(zhì)意義的理解，學(xué)生自然會(huì)出現(xiàn)（a×b）×c=（a+b）×c、（a+b）×c=a×c+b之類的錯(cuò)誤。

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果能結(jié)合具體的情境，將直觀的形與抽象的數(shù)一一對(duì)應(yīng)，將有助于學(xué)生深刻理解乘法分配律的內(nèi)在本質(zhì)，從而有效建構(gòu)抽象的運(yùn)算律。

【錯(cuò)例一】（提取練習(xí)）38×36+64×38

圖1

分析：從乘法分配律的字母表達(dá)式來(lái)看，其應(yīng)用是雙向的。從左往右看，從（a+b）×c到a×c+b×c是分解式思維；從右往左看，a×c+b×c到（a+b）×c是提取式思維。“從左往右”的應(yīng)用符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，“從右往左”則讓一些學(xué)生如同霧里看花。

對(duì)策：

師（出示：401班為38名女生統(tǒng)一購(gòu)買表演服裝，其中上衣36元，裙子64元，一共花了多少錢？）：你能列出算式嗎？

生1：38×36+38×64，38×36表示38件上衣的總價(jià)，64×38表示38條裙子的總價(jià)，再把它們加起來(lái)，就是一共花的錢數(shù)。

生2：我覺得這樣計(jì)算比較麻煩。上衣和裙子都要買38件，可以先算“一套衣服的價(jià)格”，再乘38。列式為（36+64）×38。

師：這是生活中常見的購(gòu)物問(wèn)題，雖然兩個(gè)算式“長(zhǎng)”得不一樣，但都能解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

生3：38×36+38×64=（36+64）×38，這就是運(yùn)用了乘法分配律。

師：用不同顏色的筆在圖（如圖2）上圈一圈，表示這兩種算法。

圖2

生4：虛線框表示分別算出上衣和裙子的總價(jià)，再相加。實(shí)線框表示先把每套衣服算出來(lái)，36+64正好等于100元，一共38套，再用100乘38就行了，計(jì)算很方便。

圖3

師（出示圖1）：有位同學(xué)計(jì)算38×36+64×38時(shí)遇上了麻煩，雖然也想到了乘法分配律，卻越做越覺得不對(duì)勁。你有什么看法？

生5：我覺得36和38很接近，他是不是搞不清哪個(gè)才是公因數(shù)？

生6：這可以和剛才的買衣服問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，只不過(guò)64和38調(diào)換了位置，相當(dāng)于運(yùn)用了乘法交換律。

生7：我建議在觀察算式后，把38圈起來(lái)，這樣就不會(huì)錯(cuò)了。

生8：38×36可以理解為36個(gè)38，64×38可以理解為64個(gè)38，這樣一共是（36+64）=100個(gè)38，怎么可能是102個(gè)36呢？

【錯(cuò)例二】（對(duì)比練習(xí)）25×44

圖4

分析：簡(jiǎn)便計(jì)算本身就是一個(gè)開放的思維過(guò)程。25×44，既可以把44拆成40和4的和，運(yùn)用乘法分配律，也可以把44看作4和11的積，運(yùn)用乘法結(jié)合律。正因?yàn)榉椒ǖ牟晃ㄒ唬行W(xué)生就會(huì)張冠李戴、混淆不清。

對(duì)策：

師（出示圖4）：這樣計(jì)算對(duì)嗎？

生1：44應(yīng)該是40和4相加，不是相乘。

生2：如果將兩個(gè)數(shù)相乘，變成三個(gè)數(shù)連乘，應(yīng)該把44看成4和11相乘，見25“想”4,25×4的積再乘11，結(jié)果應(yīng)該是1100。

生3：這是把乘法分配律和乘法結(jié)合律混在一起了。

師（出示：在廣場(chǎng)表演中，有44支隊(duì)伍，每支隊(duì)伍25人，一共有多少人？）：這道題可以列式為“25×44”嗎？

生4：列式正確。“一共有多少人”就是求44個(gè)25是多少，所以用乘法計(jì)算。

師：在三年級(jí)學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，我們借助點(diǎn)子圖來(lái)理解算理。今天計(jì)算“25×44”，我們也在點(diǎn)子圖上圈一圈、分一分，感受不同的算法。

學(xué)生獨(dú)立完成，展示：

圖5

師：對(duì)比圖5中的兩種算法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：如果想把44分成40和4兩部分，那只能運(yùn)用乘法分配律，25要和40相乘，也要和4相乘，最后把兩個(gè)積相加。

生6:25和4相乘是100,44里面有11個(gè)4，所以這實(shí)際上是乘法結(jié)合律，本來(lái)是4先和11相乘，現(xiàn)在是25先和4相乘，然后再乘11。

生7：這兩種方法都很方便，就看是想拆成和還是積。

生8：25×44=25×40+25×4，其實(shí)就是44個(gè)25等于40個(gè)25加上4個(gè)25,25×44=25×4×11，表示44個(gè)25等于11個(gè)25×4。

【錯(cuò)例三】（變式練習(xí)）99×99

圖6

分析：一些本身不具備乘法分配律特征的習(xí)題，通過(guò)變式，可以還原成基本模型題。大多數(shù)學(xué)生簡(jiǎn)算99×99時(shí)會(huì)想到99×（100-1），個(gè)別學(xué)生反而“想多了”，變式為（100-1）×（100-1），說(shuō)明這些學(xué)生并沒有將乘法分配律的本質(zhì)納入自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

對(duì)策：

師：看到99×99，能讓你聯(lián)想到我們學(xué)過(guò)的平面圖形嗎？

生1：我想到正方形，正方形的面積就是“邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”。

師：想象一個(gè)邊長(zhǎng)是99米的正方形果園，果園的面積就是99×99。怎樣計(jì)算呢？

生2：99×99表示99個(gè)99，可以用100個(gè)99減去1個(gè)99，也就是99×100-99。

師（出示圖7）：想象一下，這個(gè)果園的一條邊長(zhǎng)增加1米，就是100米。現(xiàn)在果園是什么形狀的？增加的部分又是什么形狀呢？

圖7

生3：現(xiàn)在的果園是一個(gè)長(zhǎng)100米、寬99米的長(zhǎng)方形，增加部分也是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)99米、寬1米。

師：99×99=99×100-99×1，誰(shuí)能結(jié)合圖7說(shuō)說(shuō)每一步的含義？

生4：99×99是原來(lái)正方形的面積，99×100-99×1是增加后的長(zhǎng)方形面積減去增加的長(zhǎng)方形面積。

師：從乘法的意義和面積圖的含義兩方面來(lái)看，這種算法能說(shuō)得通。

師（出示圖6）：有位同學(xué)想到99接近100，所以他把99×99轉(zhuǎn)化成（100-1）×（100-1），這樣行嗎？

生5：不行。乘法分配律不論是兩個(gè)數(shù)相加的和還是兩個(gè)數(shù)相減的差，都要乘一個(gè)相同的數(shù)。他這樣做，括號(hào)里都是兩個(gè)數(shù)的差，變成了四個(gè)數(shù)，這怎么乘呢？

師：如果覺得不好理解，試著發(fā)揮你們的聯(lián)想功能。把正方形果園的邊長(zhǎng)從99米增加到100米，變成一個(gè)更大的正方形。那100×100、100×2分別表示什么?

生6：100×100表示增加后的正方形面積，100×2其實(shí)是兩個(gè)長(zhǎng)100米、寬1米的長(zhǎng)方形面積之和。

師：看上去似乎也能說(shuō)得通，是不是還有什么被我們忽略了？

生6：我知道他出錯(cuò)的原因了。這兩個(gè)長(zhǎng)100米、寬1米的長(zhǎng)方形里，重疊了一個(gè)邊長(zhǎng)是1米的小正方形。如果從100×100里減去2個(gè)100×1的話，等于減去了2次小正方形面積，所以還要加上1×1。

師（出示圖8）：從算式的角度觀察只知其錯(cuò)，和圖形結(jié)合起來(lái)，我們才能知其錯(cuò)因。

圖8

反思：

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，運(yùn)算定律的提煉與概括具有高度的抽象性。但學(xué)生不是一張白紙，他們?cè)趯W(xué)習(xí)乘法分配律之前已經(jīng)積累了大量的知識(shí)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如學(xué)習(xí)乘法口訣（如圖9-1）、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法（如圖9-2）、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法（如圖9-3）時(shí)，都在不知不覺中運(yùn)用了乘法分配律。教師要引導(dǎo)學(xué)生用好這些經(jīng)驗(yàn)，完成知識(shí)學(xué)習(xí)的遷移過(guò)程，從而幫助學(xué)生將原來(lái)零散的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生能夠在回憶中逐步建立數(shù)形模型。

圖9-1

圖9-2

圖9-3

學(xué)生出錯(cuò)在所難免，但即使出現(xiàn)錯(cuò)誤，也要錯(cuò)得明明白白。教師要在生活中尋找與運(yùn)算定律相關(guān)的素材，從圖形出發(fā)，以圖形為載體，注重?cái)?shù)形結(jié)合，在數(shù)形中加深學(xué)生對(duì)意義的理解，多維度促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法分配律意義的建構(gòu)，從而幫助學(xué)生理解并靈活應(yīng)用運(yùn)算定律。