同課異構下的數學美學分析
——以蘇教版教材五年級上冊“梯形面積的計算”的教學為例

江蘇蘇州高新區實驗小學校（215011）

在學生心目中，好看即美。這個概念可以泛化為一切能夠引起視聽感官舒適愉悅的材料和信息都是美的。這也映射出對數學美的一個認識誤區：狹義地將數學美局限在一些圖形對稱和數據簡潔上，而忽視了廣義上的規則美和整齊美，認為只有具備觀賞價值的材料才具有美感，其他知識則與美絕緣，于是，枯燥與乏味成了數學學習的代名詞，數學美被稀釋和沖淡。事實上，數學的規則定律都具有理性美和邏輯美。數學教學中，只有充分挖掘出隱藏在數學“礦藏”中的美元素，讓數學美體現在每一節課中，數學學習才能有滋有味，美妙無窮。本文將通過對“梯形面積的計算”的同課異構，論證數學美的教學吸引力，以及給出挖掘數學美的具體策略。

一、以美引學，重新回歸數學美

在數學課堂的導入環節，許多教師只關注學生的興趣點，而輕視美學的感染力，事實上數學美有很強的渲染力。下面是“梯形面積的計算”教學中的兩類導入情境。

【導入片段一】

教師提問：（1）你可否計算平行四邊形的面積？（2）回顧平行四邊形和三角形面積公式的來歷，其中三角形面積公式中的“÷2”有何來歷？（3）根據以上提示，你能否求解圖1和圖2中梯形的面積？

圖1

圖2

【導入片段二】

師（出示圖3）：這幅圖案美嗎？它的基本構成圖形是什么？

生1：美。基本構成圖形是平行四邊形。（這只是感性美，而非理性美）

師：平行四邊形對邊平行且相等，對角相等，因其形態美而常被用于圖案設計。如圖4，已知平行四邊形的一些數據時，其他未知量都可以求出，由此所有參數全可知。（已初步產生理性美）

師：沿著虛線剪開平行四邊形（如圖5），截取一部分，剩下的梯形ABCE美嗎？

圖3

圖4

圖5

生2：變丑了，面積也難求了。（產生了缺失感）

師：剩余的圖形殘缺不全，形態變丑，周長和面積也無從求證。（學生回味原圖之美，感受到美圖的一些參數都可求證的舒心）

【思考】“導入片段一”的設計指明了探究方向，但忽視了美學因素。而“導入片段二”一開始就呈現出幾何圖案奪人眼球的美，這貌似偏離主題，實則不然，這是以學生的審美本能為杠桿，撬動學生對幾何美的捕獲能力，讓學生在數學美的牽引下一步步走向理性認知。

二、順美導學，在教學“肌體”中滲透數學美

數學教學中的引導，第一個容易犯錯的地方是只關注直覺而忽視規律；第二個容易犯錯的地方是只關注邏輯經過而忽視邏輯美。下面是“梯形面積的計算”教學中的兩類探究環節。

【探究片段一】

1.各小組拿出梯形紙片，通過割補法推導梯形面積公式。

2.各小組合作探究得出：兩個全等的梯形可拼接成平行四邊形（如圖6）；上、下底移位拼接組成新底，高不變；梯形面積只占平行四邊形面積的一半，即梯形面積為“（上底+下底）×高÷2”。

圖6

【探究片段二】

師：圖7由若干個小方塊組成，形似梯形，你能速算出小方塊的個數嗎？

生3：6+7+8+9+10=40。

師：這樣逐行相加，不覺得程序煩瑣嗎？

圖7

（在教師的啟迪下，學生追索簡潔美）

師：計算煩瑣，是因為每行方塊數不一致，無法采用乘法，這就是殘缺造成的遺憾。

（學生積極探索，通過移位換型得到如圖8所示的美工圖，求得方塊數為（10+6）×5÷2=40）

圖8

師：一個便于計算的圖案，不可能殘缺不全，我們要向畫師學習，將古畫還原，將不完美的圖形變為完美。只有外觀完美的圖形才能算法簡潔，追溯復原過程，解題思路就會閃現。下面我們學習計算梯形面積的公式。

師：求如圖9-1所示的梯形的面積。

（之前做好了美學暖場，學生漸入佳境。在美學氛圍的熏陶下，學生激情迸發，自覺復原圖形（如圖9-2），在自主探索中求得梯形面積）

師（出示問題（略））：再次求梯形面積，并總結公式。（抽離美的外在線條，提煉出理性的美學公式）

圖9-1

圖9-2

師：梯形面積公式已經出爐，已經“美化”。在數學中，有這樣一個規律：一個完美的圖形，不僅形狀好看，而且蘊含的推算公式也簡潔美觀。反之，一個圖形蘊含的推導公式看起來別扭，那么它十有八九是一個殘圖，這時不妨將其“美化”后再求解。

[課后反思]“探究片段一”的設計只拘泥于學生的實操經過，重在激起學生的探究欲望，培養他們的數學學習興趣。而“探究片段二”，將數學的形態美和理性美展露無遺，在推出梯形面積計算公式時毋庸贅言，美感爆棚，撬動整個連環推理。由于前面美感已經入腦入心，學生在潛意識中已將轉化、類比思想融入美學，思路被徹底打開。

通過同課異構的對比，數學美學效應的威力巨大，可謂“化腐朽為神奇”。先哲說過：“一杯苦澀的咖啡，哪怕是拿鐵，也難以下咽，但是如果加入一定的砂糖，口感就大不一樣，原先的咖啡味也被釋放出來?！睌祵W美對常規教學來說，好比砂糖對原味咖啡，只有讓學生感知、感受數學美，引導學生思考數學美的所在，才能促使學生形成固定的審美情緒，從而不再感到數學學習枯燥乏味，進而學得津津有味，甘之如飴。