例談初中數(shù)學概念教學

黃平

摘要：數(shù)學概念是進行推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立定理、法則、公式的基礎，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。因此，概念教學在數(shù)學教學中有著重要的地位和作用。然而，在實際教學中，概念教學并沒有引起教師的足夠重視。當然，更談不上對學生思維素質的培養(yǎng)。教師應針對不同的學習內容，巧妙地設計概念“生長”的過程，引導學生自然地構建數(shù)學概念，掌握數(shù)學概念的本質。這樣，學生才能把握數(shù)學的知識性，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象。

關鍵詞：初中數(shù)學；概念；教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）05-0100

無論采用什么方式進行概念教學，高效的數(shù)學概念教學都應該遵循“概念的引入——概念的生成——概念的表示——概念的辨析——概念的鞏固——概念的提升”這幾個基本環(huán)節(jié)，現(xiàn)結合教學案例進行說明。

一、概念的引入

《數(shù)學課程標準》要求：數(shù)學概念的教學要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械性記憶概念的學習方法。因此，概念的教學不是單純的記憶和模仿，而是在教師的引導下主動，從事觀察、實驗、猜想、驗證、交流等數(shù)學活動的過程，讓學生經(jīng)歷對概念由感性到理性的認識過程。

案例1：對于“相交線”內容

學生對相交線、平行線一定不陌生。大橋上的鋼梁和鋼索，棋盤上的橫線和豎線，筆直的高速公路……都給我們以相交線、平行線的形象。從這一章開始我們正式開始研究平面內不重合的兩條直線的位置關系。

問題1：同學們能想象出一把剪刀剪開物體的示意圖嗎？你能說清其中的道理嗎？

問題2：仔細觀察你所畫的圖形（圖1），當兩條直線相交時所形成的四個角中，∠1和∠2有怎樣的位置關系？

二、概念的生成

平行四邊形與各種特殊平行四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系是“四邊形”教學中的難點之一，解決這個難點的關鍵是搞好概念教學，幫助學生弄清這些概念之間的關系。下面是筆者在進行“矩形”的教學時，引導學生在實驗探究中生成概念的教學嘗試。

案例2：對于“矩形”的概念教學

師：請同學們拿出準備好的學具（兩長兩短的四根木條、小釘、橡皮筋等）制作一個四邊形，使等長的木條成為對邊，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上，作為四邊形的對角線（如圖2）。

師：請大家觀察，這屬于哪種四邊形。

生1：這是平行四邊形，因為它的兩組對邊分別相等

師：改變這個平行四邊形的形狀。在圖形變化的過程中，它一直是一個平行四邊形嗎？這些圖形具有哪些相同的性質？（學生動手操作改變平行四邊形的形狀，教師演示教具）

生2：無論怎么改變這個四邊形的形狀，它一直是一個平行四邊形。因為這個四邊形的兩組對邊始終分別相等。（如圖3）

生3：由平行四邊形的性質可以知道，這些平行四邊形的對邊平行、對角相等、對角線互相平分、鄰角互補，都是中心對稱圖形……

師：想一想，在改變圖形形狀的過程中，有哪些量發(fā)生了變化？

生4：平行四邊形內角的大小、對角線的長度都發(fā)生了變化。

生5：平行四邊形的面積也發(fā)生了變化。

師：很好！同學們觀察得很仔細，思考得很認真。你們能具體說一說在改變平行四邊形形狀的過程中，它的四個內角的變化嗎？

生6：在上面圖3中，在改變平行四邊形形狀的過程中∠A和∠C的度數(shù)逐漸增大，先由銳角變成了直角，再由直角變成了鈍角。∠B和∠D的度數(shù)逐漸減小，先由鈍角變成了直角，再由直角變成了銳角。

師：請大家繼續(xù)思考以下三個問題：

1. 當∠A是直角時，平行四邊形的其他三個內角的度數(shù)分別是多少？

2. 當∠A是直角時，兩條對角線的長度關系如何？

3. 隨著∠A的變化，平行四邊形的面積發(fā)生了怎樣的變化？

生7：當∠A是直角時，平行四邊形的其他三個內角都是90°，也就是說，平行四邊形的四個內角均為直角。

生8：當∠A是直角時，平行四邊形的兩條對角線不僅互相平分，而且相等。

生9：在圖3中，隨著∠A的變化，平行四邊形的面積先由小變大，再由大變小。當平行四邊形的兩鄰邊互相垂直時，其面積最大。因為當平行四邊形的底邊固定時，面積的大小取決于高的大小……

師：在改變平行四邊形的形狀的過程中，我們發(fā)現(xiàn)當平行四邊形的一個內角為直角時，除了原有的性質，它還具有其他一些特殊的性質。這是一種特殊的平行四邊形，也就是小學時所認識的長方形。今天給它取一個新的名字——矩形。

三、概念的表示

概念的表示即為給概念下定義的過程。學生對概念的本質屬性理解透徹后，就需要進行整理，一般用文字語言來闡述，但為了記憶與使用方便，數(shù)學概念還要用符號語言進行表示，文字語言重在對概念的內涵進行語言方面的闡述，可盡量讓學生用自己的話小結，而符號語言則體現(xiàn)數(shù)學的簡約美，一般是約定俗成的，由教師給出。

案例3：對于“銳角三角函數(shù)”內容

問題：如圖4，當銳角A的度數(shù)確定時，∠A的對邊與斜邊的比值■確定嗎（AB=c，BC=a）

追問1：當銳角A的度數(shù)變化時■變化嗎？

追問2：銳角A與■在變化中的對應關系屬于我們所學過的什么關系？

生1：函數(shù)關系。

追問3：這種函數(shù)關系如何說明？

生2：比值■是∠A的函數(shù)。

師：（小結）這種函數(shù)關系是銳角三角函數(shù)中的一個，我們稱之為正弦函數(shù)，記作sinA.即sinA=■.（通過教師的引導，學生用自己的話小結為比值■是∠A的函數(shù)，教師再給出符號語言，直觀地說明了sinA是∠A的正弦函數(shù)）。

四、概念的辨析

在教師的引導下，學生通過對概念內涵的分析、比較、綜合理解，對概念的特點已初步理解，教師歸納后，學生也能準確地描述概念，但要達到準確地掌握概念的本質屬性，教師還要從不同的角度輔助學生對概念進行辨析。

案例4：已知關于x的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根為0，則a=____。

錯解為：0或2

原因分析：從表面上看，學生在解此類問題時，易犯錯誤的原因是對一元二次方程概念認識的模糊，忘記一元二次方程存在的基本條件是“二次項系數(shù)不能為0”，而實際上是學生對這一類問題的概念認識不清。之前在學習一元一次方程ax+b=0和一次函數(shù)y=kx+b時，學生就容易忘記“a≠0”和“k≠0”的限制條件；在學習分式時，也容易忘記“分母不為0”的限制條件。學生在此題出現(xiàn)錯解是這類錯誤的延續(xù)。如果糾錯不到位，那么在以后學習二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和反比例函數(shù)y=■（k≠0）時，學生還會出現(xiàn)同樣的錯誤。因此，必須重視這類錯誤的糾正。

五、概念的提升

概念教學的育人功能在于對核心概念的教學過程中，讓學生探索并總結數(shù)學學習的規(guī)律，歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的方法，領悟數(shù)學學習過程中所體現(xiàn)的數(shù)學思想。概念教學是很好的數(shù)學思想方法的承載體。

案例5：問題：怎樣在數(shù)軸上表示■和-■？

（1）如果在圖上畫一條數(shù)軸以小正方形的邊長為一個單位長（如圖5），那么這一正方形的對角線為■個單位長，能否將■個單位長表示在數(shù)軸上呢？

（2）用尺測量可以，但總有誤差。還有其他方法嗎？

（3）很好，我們以原點為圓心，■為半徑畫圓，與數(shù)軸相交于兩點，這兩點表示為多少呢？（這兩點表示■和-■）。

通過探索無理數(shù)在數(shù)軸上的表示，從而推理得到實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應的過程是無理數(shù)概念的深化，促進學生對無理數(shù)的進一步理解。

教無定法，但貴在得法。數(shù)學概念的教學也沒有固定的方法，但基本上遵循以上流程。筆者認為，數(shù)學概念的教學是一切數(shù)學知識教學、能力培養(yǎng)的基礎，教師一定要站在培養(yǎng)學生數(shù)學素質的高度上重視概念教學，優(yōu)化概念教學設計，確保概念教學的有效性，讓學生在經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程中，感悟其中蘊含的數(shù)學思想、掌握數(shù)學方法。

（作者單位：浙江省諸暨市陶朱初中 311800）