三角函數法解幾何問題在中考壓軸題中的探究

荊建春

摘要：在中考壓軸題中，常常遇到一些復雜的、以幾何圖形為背景的兩個角的和、差正切值進而求解線段長度或點的坐標、位置等問題，三角函數方法是一種高效地解決此類型問題的方法，為學生提供了一種自然的解題途徑。

關鍵詞：三角函數；幾何問題；中考壓軸題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）05-0127

筆者在近些年中考中發現，直接求兩個角的和、差正切值或通過求兩個角的和、差正切值進而求解線段長度或點的坐標、位置等問題越來越多，這類題目的特征一般是以幾何圖形為背景， 常規思路是自然地當做一道幾何題目來對待，考生一般會選擇添加輔助線，構造相似，利用相似比例等解決。事實上，此類題目難度較大，解題思路的形成到實施是一件非常難完成的任務，題目的設置，正確率非常低。經過筆者認真研究，找到一種固定的三角函數法以解決此類型相似的問題，現將研究成果與同仁們分享。

一、預備知識

公式1：tan（α+β）=■； 公式2：（特別的），當α=β時，tan2α=■；

我們知道公式1是高中三角函數中的公式，在高中數學中，此公式的推導證明是由公式tan（α+β）=■得出的，是建立在公式sin（α+β）、cos（α+β）的已知基礎上的。

顯然，初中學生是無法理解此種證明方法的。筆者在課堂上引導學生通過幾何構造的方法，嘗試用tanα，tanβ表示tan（α+β），進而得出公式1。學生推理演算得到公式，比筆者直接給出結論，學生死記硬背更有效。這樣不僅可以培養學生構造或建模思維方式，提高學生的思維能力和數學素養，也真正拓寬了學生思路，豐富了學生的解題方法。

二、例題分析

例1. 已知：如圖1，在RT△ABC中，∠C=90°（為簡單起見，我們取△BAC為直角三角形），點D為BC邊上的任意一點。

求證：tan∠ADC=■

證明：如圖2，過點D作AB垂線，垂足為E。令DE=a，BE=b，AE=c，AC=d，CD=e，BD=f，由題知△BDE∽△BAC，所以■=■，即■=■，所以e+f=■。由△ABC是RT△，則d2+（e+f）2=（b+c）2，所以d2+■d2=（b+c）2，d=■。又因為a2+c2=d2+e2，所以e=■。所以tan∠ADC=tan（α+β）=■=■=■。又因為tanα=■，tanβ=■，所以兩角和的正切值可以用可以用這兩個的正切值表示：tan（α+β）=■。特別的，當α=β時，tan2α=■。同理根據這種構造方法，我們亦可以用兩個角的正切值表示兩角差的正切值，即tan（α-β）=■。

例2. （湖北·武漢卷）如圖3，PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C、D。若⊙O的半徑為r，△PCD的周長等于3r，則tan∠APB的值是 。

評析：本題的常規思路是連結圓心與一個切點，并反向延長與另外一條切線相交，構造直角三角形，且通過相似比例求得其中一條直角邊，進而求解正切值。圖形較為復雜，計算量也較大，教學中發現優秀的學生也淺嘗輒止，得分率非常低。

解：連接OA、OB、OP，因為PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，所以∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，而△PCD的周長=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，可求得PA=PB=■r，所以在RT△APO中，tan∠APO=■=■，根據∠APB=2∠APO可得，tan∠ABO=■=■。

例3. （內蒙古·呼和浩特）在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（-6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為 .

評析：本題難度較大，絕大部分考生沒有任何思路，究其原因是45°角不知如何轉化和使用。命題人給出的參考答案是構造含有90°圓心角的隱⊙P。如圖5所示，巧妙的利用圓周角的性質轉化已知條件中45°角，進而通過勾股定理解Rt△PFC，但實際教學中，筆者發現四點共圓，定直（長或角）隱圓這些拓展知識點，學生很難在緊張的考試中自然地想到。

解：設∠ACO=α，∠BCO=β，CO=h，所以由題得，tanα=■，tanβ=■，tan∠ACB=tan（α+β）=■=1，即h2-10h-24=0，解得h1=12，h2=-2（舍去）。由題知點C是y軸上的一個動點，所以的坐標為（0，12）或（0，-12）。

例4. （陜西卷）如圖7，在每一個四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此時cos∠BPC的值；若不存在，請說明理由。

評析：本題作為考卷最后一題最后一問，難度非常大。屬于存在性唯一性問題，參考答案的方法是構造隱圓，即構造△BPC的外接圓O（如圖8），進而確定點P的位置，此進而求解cos∠BPC的最小值。考生面對復雜的幾何圖形，無從下手。

解：如圖9所示，存在點P，使得cos∠BPC的值最小，根據銳角三角函數定義知，當cos∠BPC最小值時，即此時∠BPC最大，也就是tan∠BPC最大，所以考慮轉化為三角函數求解本題。過點P作BC垂線交于點Q，令∠BPQ=α，∠CPQ=β，且BQ=x，則 CQ=12-x（4≤x≤12），則tanα=■，tanβ=■，所以tan∠BPC=tan（α+β）=■=■， 事實上觀察上面這個表達式，我們發現分母是一個二次三項式，令函數y=x2-12x=48（4≤x≤12），此時問題可轉化為求二次函數在確定范圍內的最小值問題，不難得出，當x=6時函數有最小值，即此時tan∠BPC取最大值4■，則此時cos∠BPC=■。

例5. （浙江·寧波卷）如圖10，在平面直角坐標系中，點M是第一象限內一點，過M的直線分別交x軸，y軸的正半軸于A，B 兩點，且M是AB的中點，以OM為直徑的⊙P分別交x軸，y軸于C，D兩點，交直線AB于點E位于點M右下方），連結DE交OM于點K。設（0

評析：本題綜合性非常強，參考答案是設MK=t，然后運用相似三角形的性質，勾股定理用y，t的代數式分別表示OE，BE，計算量非常復雜，解題過程冗長。教學中發現，對于參考答案的方法，優秀學生迫于計算量，放棄研究者較多，更不用說考場上完成了。

解：如圖11，連接DM，過點K作DO的垂線，垂足為點P，根據題意得DM∥PK，因為■=y，所以■=y，我們不妨設ON=y，DN=1，∠OBA=α，所以∠NOK=α，∠ODK=2α，所以在Rt△NOK中，tan∠NOK=tanα，即■=x。同理在Rt△DNK中，tan∠ODK=tan2α，即■=■，消去NK得y關于x的函數解析式為y=■。

綜上所述，三角函數法為解決復雜的幾何難題提供了一種可能性，其本質是把幾何問題轉化為代數問題來解，而代數方法本身具有方法的固定性、便捷性，適合解決同類型的問題。此類方法的掌握和靈活應用，需要考生平日注重題目的總結，學會舉一反三，以不變應萬變。

參考文獻：

[1] 李宏宇.用幾何方法求15°、75°角的三角函數值[J].中學生數學，2003（6）.

（作者單位：浙江省寧波市鎮海區立人中學 315200）