勾股數(shù)公式與費爾馬定理

楊玉玲

費爾馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術(shù)》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題——“將一個平方數(shù)分寫為兩個平方數(shù)”旁寫道：“將一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數(shù)學(xué)貢獻良多，由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對這一猜想的興趣。數(shù)學(xué)家們的有關(guān)工作豐富了數(shù)論的內(nèi)容，推動了數(shù)論的發(fā)展。這個猜想的證明數(shù)學(xué)家們絞盡腦汁未能找到這個美妙的證法，雖然日本的谷山村志給出了一個長達200頁的證明方法，得到了這個猜想的證明，但是美妙的證法如果需要200頁才能寫完，那么這種證法也太長，扉頁處確實太小太小，這種證法是否具有美妙性，讓人產(chǎn)生懷疑。

雖然費爾馬的證法非常“美妙”，至今我們沒有找到，但我們可對“將一個平方數(shù)分寫為兩個平方數(shù)”進行研究，找到其關(guān)鍵所在，看能否對“美妙”證法的思路有所發(fā)現(xiàn)。

將一個平方數(shù)分寫為兩個平方數(shù)，即求不定方程z2=x2+y2正整數(shù)解。

當(dāng)n=2，不定方程：zn=xn+yn正整數(shù)解有無數(shù)個。

證明的方法：對于不定方程：z2=x2+y2，令z=k+1，則（k+1）2=k2+2k+1，對于2k+1為平方數(shù)則結(jié)論成立，當(dāng)k=1，2，3……時，2k+1為連續(xù)奇數(shù)，9，25，49，81……所有奇平方數(shù)都包含于其中，奇平方數(shù)和奇數(shù)個數(shù)一樣多，都有無數(shù)個，若x=2k+1=m2，m=3，5，7，9，……為奇數(shù)，則k=（m2-1）÷2，令y=k，則z=k+1=（m2+1）÷2，所以當(dāng)n=2時，不定方程：zn=xn+yn正整數(shù)解有無數(shù)個成立。

同理令z=k+2，則（k+2）2=k2+（4k+4），從而4（k+1）當(dāng)k+1為平方數(shù)命題成立，則x2=4（k+1）=4m2，m=1，2，3，……為正整數(shù)，則y=k=m2-1，z=m2+1，所以當(dāng)n=2時，不定方程：zn=xn+yn正整數(shù)解有無數(shù)個成立。

…….

綜上，n=2，zn=xn+yn有正整數(shù)解，歸結(jié)為（k+r）2=k2+2rk+r2，只要關(guān)于k的一元一次方程2rk+r2=m2，（m=1，2，3，……為正整數(shù)）有正整數(shù)解，即k=（m2-r2）÷2r為正整數(shù)，則必有m=qr，k=（q2-1）r÷2，q、r同偶、同奇、q奇r偶時，k為正整數(shù)成立，所以n=2，zn=xn+yn正整數(shù)解有無數(shù)個，命題成立。

推論：勾股玄數(shù)公式：（1）勾x=m2，m=3，5，7，9，……為奇數(shù)，則股y=（m2-1）÷2，玄z=（m2+1）÷2.（2）勾x=2m，m=2，3，……為正整數(shù)，則股y=m2-1，玄z=m2+1.（3）任意一不小于3的正整數(shù)，都可找到以此數(shù)為勾或為股的一組或數(shù)組勾股玄數(shù)，其中x=m=qr，y=k=（q2-1）r÷2，z=k+r=（q2+1）r÷2.

例如，x=3=3×1=qr，y=（32-1）×1÷2=4，z=4+1=5；

x=4=2×2=qr，y=（22-1）×2÷2=3，z=3+2=5；

x=5=5×1=qr，y=（52-1）×1÷2=12，z=12+1=13；

x=6=3×2=qr，y=（32-1）×2÷2=8，z=8+2=10；

x=7=7×1=qr，y=（72-1）×1÷2=24，z=24+1=25；

x=8=4×2=qr，y=（42-1）×2÷2=15，z=15+2=17；

=2×4=qr，y=（22-1）×4÷2=6，z=6+4=10；

x=9=9×1=qr，y=（92-1）×1÷2=40，z=40+1=41；

=3×3=qr，y=（32-1）×3÷2=12，z=12+3=15；

x=12=2×6=qr，y=（22-1）×6÷2=9，z=9+6=15；

=6×2=qr，y=（62-1）×2÷2=35，z=35+2=37；

=3×4=qr，y=（32-1）×4÷2=16，z=16+4=20；

…………

“將一個平方數(shù)分寫為兩個平方數(shù)”，其關(guān)鍵在于關(guān)于k的一元一次方程2rk+r2=m2，（m=1，2，3，……為正整數(shù)）有正整數(shù)解，因此此命題成立.

當(dāng)n=3，不定方程：zn=xn+yn無正整數(shù)解.

（k+1）3=k3+3k2+3k+1，研究3k2+3k+1會發(fā)現(xiàn)，所有的立方數(shù)都不包含其中，即，k=1，3k2+3k+1=7<8=23；k=2，3k2+3k+1=17<27=33；k=3，3k2+3k+1=37>27=33；……，當(dāng)k取正整數(shù)時，其值為奇素數(shù)或不同的奇素數(shù)的積，即3k2+3k+1不能寫成x3，因此（k+1）3不能分寫成k3+x3.

（k+r）3=k3+3rk2+3r2k+r3，r為正整數(shù)，若3rk2+3r2k+r3=x3，假設(shè)x為正整數(shù)，因為r整除左邊的每一項，因此r整除x，令x=rm，則r（3k2+3rk+r2）=r3m3，等式左邊的因式3k2+3rk+r2的項3rk與r2均能被r整除，等式右邊能被r整除，則r必整除k2，從而r整除k，令k=rn，則3rk2+3r2k+r3=r3（3n2+3n+1）=r3m3，即3n2+3n+1=m3，當(dāng)r=1時上面已證m不為正整數(shù)，3rk2+3r2k+r3=x3，x為正整數(shù)，不成立。

綜上可證當(dāng)n=3時，不定方程：zn=xn+yn無正整數(shù)解.

同理可證，當(dāng)n>3時，不定方程：zn=yn+xn無正整數(shù)解.

（作者單位：陜西省咸陽市渭城區(qū)第一初級中學(xué)712000）