談培養(yǎng)數(shù)學(xué)教師解題能力的建議

高寧

摘要：“題”是中學(xué)階段“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的主要形式，會(huì)解題是數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)之一，怎樣培養(yǎng)教師的解題能力呢？本文從數(shù)學(xué)閱讀能力、題目變式、一題多解、回顧解題過(guò)程、與學(xué)生同步解題這五個(gè)角度來(lái)闡述，結(jié)合具體的實(shí)例，建設(shè)數(shù)學(xué)老師從以上角度來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：閱讀能力；變式；一題多解

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)“題”，會(huì)解題的數(shù)學(xué)老師才是一位合格的數(shù)學(xué)教師。美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞這樣說(shuō)：“數(shù)學(xué)技能就是解題能力——不僅能解決一般的問(wèn)題，而且能解決需要某種程度的獨(dú)立思考、判斷力、獨(dú)創(chuàng)性和想象力的問(wèn)題。所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練。”平時(shí)，我們?cè)诮忸}中發(fā)生錯(cuò)誤緣于對(duì)題意的理解出現(xiàn)了偏差，筆者認(rèn)為培養(yǎng)解題能力，建議嘗試以下策略：

策略一、嘗試變式題目。

通過(guò)題目變式，對(duì)提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，尤其是教師解決問(wèn)題的能力大有好處，因?yàn)橥ㄟ^(guò)對(duì)原題目的變式，可以多角度、全方位挖掘概念的內(nèi)涵，達(dá)到創(chuàng)新意識(shí)，改善思維品質(zhì)的目的。下面我已一高考題及其變式題目說(shuō)明這一點(diǎn)。

（2013年高考江西卷）設(shè)f（x）=3sin3x+cos3x，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有f（x）≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：根據(jù)題意，只需a≥f（x）max即可。f（x）=2sin（3x+π6），其最大值為2，最小值為-2，所以f（x）max=2，所以a≥2

考慮1改變?yōu)檫\(yùn)算的角度

變式1已知向量a=（3，1），b=（sin3x，cos3x），設(shè)函數(shù)f（x）=a·b，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有f（x）≤a則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

考慮2變化為兩個(gè)變量變化的角度

變式2設(shè)f（x）=3sin3x+cos3x，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，都有f（x1）-f（x2）≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：因?yàn)閒（x）=3sin3x+cos3x，x∈R，所以f（x）min=-2，fxmax=2，所以f（x1）-f（x2）max=4

考慮3變成存在問(wèn)題的角度

變式3已知函數(shù) f（x）=3sin3x+cos3x，若存在實(shí)數(shù)θ，使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≤f（θ），則θ的取值集合是.

解析：因?yàn)閒（x）=3sin3x+cos3x，由題意f（θ）=f（x）max，所求集合為θθ=23kπ+π9，k∈Z

變式4變成二次函數(shù)型的題型

變式4設(shè)f（x）=3sin3x+2cos23x2-1，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有f（x）≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：因?yàn)閒（x）=-2sin23x2+3sin3x2+1，

令t=sin3x2，則f（x）=-2t2+3t+1，t∈-1，1，易知當(dāng)t=34時(shí)，fxmax=118，當(dāng)t=-1時(shí)，f（x）min=-1-3，所以f（x）max=1+3，所以a≥1+3

考慮5變成含參數(shù)問(wèn)題的角度

變式5設(shè)函數(shù)f（x）=3sinωx+cosωx（ω>0），若y=f（x）的圖像與直線(xiàn)y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的最小距離等于2π3，則ω的值是.

解析：因?yàn)閒（x）=2sin（ωx+π6），T=2πω=2π3，ω=3

編題是數(shù)學(xué)知識(shí)在較高層次的運(yùn)用，會(huì)做題不一定會(huì)編題，編題有利于培養(yǎng)教師的學(xué)科素養(yǎng)。

策略二、一題多解

要培養(yǎng)教師的解題能力，可以嘗試一題多解，既是對(duì)于每一個(gè)題目盡量考慮多種方法求解。

（《高中數(shù)學(xué)同步作業(yè)》思考題）已知a>b>0，求證aabb>abba。

分析1證明不等式常用的方法也是最重要的方法就是比較法，包括作差比較法和作商比較法，通過(guò)作差或者作商，然后變形對(duì)的到值同0或者1比較即證。（證法1略）

分析2作差比較法需要因式分解，但是有時(shí)很難或者不方便直接因式分解，于是設(shè)一個(gè)變量，通過(guò)變量作橋梁，就容易分解或者提取公因式。

證法2因?yàn)閍>b>0，令a=b+t，t>0，則aabb-abba=ab+tbb-abbb+t

=abbb（at-bt）， 因?yàn)閍>b>0，t>0，得到aabb-abba>0，故證aabb>abba。

分析3利用分析法來(lái)考慮，更加的簡(jiǎn)捷。所謂分析法就是從求證的結(jié)論出發(fā)，分析使結(jié)論成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判斷這個(gè)充分條件是否成立的問(wèn)題，如果能肯定這個(gè)充分條件成立，那么就可以判斷原不等式成立。

證法3要證明aabb>abba，只需證明aa-b>ba-b，只需證明（ab）a-b>1，顯然成立，故證aabb>abba。

分析4利用分析法運(yùn)算過(guò)程中，我們考慮兩邊取對(duì)數(shù)，易知如下證法。

證法4要證明aabb>abba，只需證明lg（aabb）>lg（abba），只需證明

alga+blgb>blga+algb，即是證明a-blga-lgb>0，顯然成立，故證aabb>abba。

分析5既然可以利用分析法證明，當(dāng)然可以利用綜合法加以證明。

證法5因?yàn)閍>b>0，顯然得到a-b>0，lga-lgb>0，于是得到

a-blga-lgb>0，整理得alga+blgb>blga+algb，即得lg（aabb）>lg（abba），故證aabb>abba。

事實(shí)上，本題還可以推廣

推廣1：若a，b是不相等的正數(shù)，則aabb>abba。

推廣2：若a，b，c，d是不相等的正數(shù)，則abbccdda>bacbdcad。

數(shù)學(xué)是思維的體操，創(chuàng)設(shè)情境、啟迪思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。一個(gè)題目可以從多個(gè)角度入手，解題方法多種，富含數(shù)學(xué)思想，有利于啟迪思維，培養(yǎng)教師的解題能力。

策略三、回顧解題過(guò)程

波利亞的“怎樣解題表”的最后階段即回顧。他指出：“通過(guò)回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，他們能夠鞏固知識(shí)，并培養(yǎng)他們的解題能力。沒(méi)有任何一個(gè)題目徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做。”

當(dāng)我們解完一個(gè)自己感覺(jué)是全新的、與眾不同的、富有價(jià)值的題目時(shí)，要不失時(shí)機(jī)地回顧：這樣解正確嗎？我為什么這樣解？有沒(méi)有更好的解法？這種解法是普適的嗎？解題過(guò)程使用了哪些知識(shí)點(diǎn)？知識(shí)與方法是如何巧妙地融為一體的？它能引發(fā)我進(jìn)一步的思考嗎？有了這樣的回顧經(jīng)歷，在教學(xué)中會(huì)自然而然地引導(dǎo)學(xué)生深化數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的真諦，促進(jìn)思維結(jié)構(gòu)的優(yōu)化.

策略四、與學(xué)生同步解題

在一些模擬考試、綜合練習(xí)中，與學(xué)生同步考試，體驗(yàn)學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)答題的心理狀態(tài)。面臨緊張的考試，怎么才能沉著冷靜，思維快捷，思路自然，靈感勃發(fā)，產(chǎn)生原創(chuàng)性的解法，發(fā)現(xiàn)平時(shí)課堂教學(xué)中教師的解法、學(xué)生的解法與考試中答題的差異.因?yàn)闀r(shí)間限制，平時(shí)解題時(shí)遇到難題可以多想一會(huì)兒，可以討論，還有老師、同學(xué)暗示，考試時(shí)必須自己獨(dú)立完成，平時(shí)解題時(shí)推理不嚴(yán)密、書(shū)寫(xiě)不規(guī)范往往無(wú)所謂，但考試必須規(guī)范就有可能不適應(yīng)。與學(xué)生同步解題后在講評(píng)時(shí)才能想學(xué)生所想，急學(xué)生所急，解學(xué)生所惑，糾學(xué)生所誤。

這樣的研究能提高教師的解題能力，如果能夠把這種研究問(wèn)題的思想傳授給學(xué)生，無(wú)疑對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益。

參考文獻(xiàn)：

[1]《高中數(shù)學(xué)一題多解與一題多變》浙江大學(xué)出版社

[2]《高中數(shù)學(xué)同步作業(yè)》安徽教育出版社

（作者單位：安徽省阜陽(yáng)市第四中學(xué)236000）