淺談數學教學中實現化歸的一條有效途徑

趙志菊

摘要：針對目前化歸的教學缺乏理論深度，沒有解決如何尋求化歸途徑這一核心問題，運用“矛盾分析法”來解決這個問題，由此找到了一種不需憑借靈感和經驗，即可自學尋求化歸途徑的有效方法。

關鍵詞：化歸方法；教學思想；矛盾分析法

化歸是探索數學解題方法的一種重要思想，是利用“等效的途徑”恰當地把問題變化，使“已知的”和“所求的”也就是使問題的“初始狀態”和“目標狀態”，愈來愈接近。對于較簡單的數學問題，通過類比等手段，化歸極易實現，但對于較復雜的數學問題，要實現化歸就比較困難了。目前化歸方法的教學，一般只是停留在培養化歸意識的層次上，即是在遇到不易解決的問題時，能夠想到將其轉化為已經解決或較易的問題，至于如何實現這種轉化，卻無法告知學生。于是，學生只能憑借自己個人的經驗與靈感，在迷茫中摸索著前進，不僅耗時耗力，而且難見成效，這就在很大程度上挫傷了學生學習數學的積極性，進而影響了數學教育教學質量的提高。為了徹底改變這種狀況，我們有必要尋求一條實現化歸的途徑——用矛盾論的觀點去觀察問題、分析問題，再根據矛盾轉化的規律去解決問題。這是一種哲學方法，我們稱其為“矛盾分析法”。將矛盾分析法用于解決數學問題，首先需要揭示數學問題的差異，并在此基礎上根據矛盾轉化的規律尋求差異間的聯系，再借助這個聯系找出化歸的有效途徑。由于“逆向思維”反映了矛盾轉化的這個規律，因此，借助“逆向思維”尋求化歸途徑就能使我們有所遵循。請看下面的例子：

例1：若a3>a2>a1>0，求證：a1 a2 ·a2 a1 ·a3 a1 >a1 a3 ·a2 a1 ·a3 a2

分析：比較條件與結論，不難發現它們之間的差異是：條件式簡單而結論式復雜；條件式中不含指數冪，而結論式中含有指數冪。下面運用“逆向思維”去尋求差異間的聯系：首先由結論式入手，由于條件與結論均為不等式，而不等式的對立面是等式，因此由逆向思維可想到將不等式轉化為等式，但此舉卻一時難以實現，故先暫時擱置一下，這里的暫時擱置其實也是逆向思維的結果；再由結論式知，不等式中含有指數冪，而指數的對立面是對數，因此由逆向思維即可想到化指數式為對數式，此舉則不難做到。因為a3>a2>a1>0，所以將結論式兩邊取對數，得：lg（a1 a2 ·a2 a3 ·a3 a1 ）>lg（a1 a3 ·a2 a1 ·a3 a2 ），展開整理得：（a2-a3）lga1+（a3-a1）lga2+（a1-a2）lga3>0，由于該式中出現了較多形式相同的對數式，所以由逆向思維又可想到“化多為少”，于是可想到構造通式將3個對數式統一起來，并由此想到構造輔助函數y=lgx。此舉則為一舉兩得，既實現了“化多為少”，又實現了化指數式為對數式，但還無法實現化不等式為等式的初衷。由此可見，此舉定是解決問題的關鍵，事實上也確是如此，y=lgx即是差異間的聯系，又是聯系條件與結論的橋梁，通過它的溝通，我們即可找到化歸的有效途徑。又函數的對立面是圖像，故由逆向思維又可想到作出y=lgx的圖像，并在圖像向左向右一次取三點：A1，A21，A31，令其橫坐標分別為a，a2，a3，則其縱坐標分別為lga1，lga2，lga3，從而有Rt△A1A23A22～Rt△A1A32A31，于是由相似三角形性質即得：A23 A22 = A1 A23 A1 A32 · A32 A31 = a2 -a1 a3 -a1 （lga3 -lga1 ），因為lga2-lga1=A23A21>A23A22，所以lga2-lga1>a2-a1a3-a1（lga3-lga1），化簡整理得：lga2 a3 -a2 >lga3 a2 -a1 -lga1a2 -a1 + lga1 a3 -a1♂ =lga3 a2 -a1 + lga1a3 -a2 = lga3 a2-a1 ：a1 a3-a1去對數符號，得：a2 a3 -a2 >a3 a3 -a1 ·a1 a3 -a2 即 a1 a2 ·a2 a3 ·a3 a1 >a1 a3 ·a2 a1 ·a3 a2 ，從而證得結論成立。

有時，憑借個人的靈感，經驗和技巧，我們也能找到化歸的途徑，但那是盲目的，不自覺的，而且多少帶點偶然性，因此不足為訓，請看例2、解方程：x3+（1+2）x2-2=0

分析：這是一個關于x的一元三次方程，由于次數高，求解不便，因此應想到將其化歸為較易求解的一元一次或一元三次方程。憑借解題經驗與技巧，我們可將原方程得左邊分解因式得：

（x+2）（x2+x-2=0，從而可將原方程轉為化如下兩個方程：

x+2=0，x2+x-2=0，借助于解這兩個方程，即可較易地求出原方程的解。這種解法雖然簡便，但該法技巧性轉強，不是人人都能做得出來的。我們希望能有這樣的解題通法，它既不需要直覺和靈感，也不需要經驗與技巧，就能較易的找到化歸的途徑。矛盾分析法正是這樣的一中解題通法。下面我們用矛盾分析法來解上述方程，在原方程中，存在和高次與低次，已知與未知的差異。由高次與低次的差異應想到“化高為低”，即設法將三次方程化為一、二次方程；由已知與未知的差異則應想到“化未知為已知”或“化已知為未知”，于是可將發未知數x暫時看成已知數，而將已知數2及2暫時看成未知數，即可將原方程從形式上化為關于“2”的一元二次“方程”：（2）2-x2（2）-（x3+x3）=0，解這個方程得：2=-x或2=x2+x

從而便自然流暢地將原方程化為一元一次（二次）方程。這里基本上不需直覺與靈感，也不需經驗和技巧，只要按照矛盾分析法的操作規程去做就成。綜上所述，用矛盾分析法尋求化歸途徑的過程，乃是近乎按“章”辦事的一中操作規程，這個“章”就是矛盾轉化的規律，就是運用逆向思維去尋求差異間的聯系，并借助這個聯系將待解決的問題化為已經解決或轉易解決的問題。由于在上述轉化過程中，我們是遵循思維規律思考問題的，因此可以避免盲目的探索，使我們少走或不走彎路，這就大大提高了解題效率，降低了解題難度，從而使學生的解題能力大為提高。

參考文獻：

[1]鄭君文，張思華，數學學習論，廣西教育出版社

[2]顧越玲，數學教學中化歸方法的難點及其突破，數學教育學報，2002.2

[3]波利亞，怎樣解題[M]，北京：科學出版社，1982.15

（作者單位：云南省臨滄市第一中學677000）