平行板和圓柱形電容器電容表達式推導及應用

陳樂坤

1.研究背景

電容器是一種容納電荷的器件，它可以由兩個彼此絕緣且相隔很近的導體構成，是電子設備中大量使用的電子元件之一[1]。隨著電子信息技術的日新月異，數碼電子產品的更新換代速度越來越快，帶動了電容器產業增長。當前，電容器最前沿的研究對象為超級電容器[2]。本文基于高斯定律，利用微積分知識，重點針對圓柱形電容器的電容公式推導及應用展開了研究，為電容器的發展起到了積極的推動作用。

2.電通量及計算

電通量（符號：ΦE）是電場的通量，與穿過一個曲面的電場線的數目成正比，是表征電場分布情況的物理量。電通量它是標量。

2.1 勻強電場中平面的電通量

勻強電場下平面的電通量計算是復雜電場下曲面電通量計算的基礎，因此我們首先來討論勻強電場下平面電通量的計算。考慮如下物理模型：一個大小為S的長方形放置在一個電場強度大小為E的電場中，且長方形與電場強度（電力線）相垂直。根據電通量定義可得：

當電場強度的方向與平面的法向量方向呈夾角θ時，將電場強度進行正交分解，分解成與平面垂直的矢量分量和與平面平行的矢量分量。由電通量定義可知，與平面平行的電場強度矢量分量在S平面上的電通量為0，則有：

2.2 非勻強電場中曲面的電通量

對于非勻強電場下曲面電通量的計算，采用的是微積分的思想，將計算區域劃分成無限多個微元面，首先計算每個微元面的電通量，然后進行疊加得到整個區域的電通量，其具體過程為：首先將曲面S劃分為若干個微小的面元dS，在每個面元區間內，電場可近似為勻強電場，即電場強度E的大小和方向基本不變，且微元面可近似為一個多邊形（小平面）。此時，對于每個微面元，它的電通量計算就等效為勻強電場下平面電通量的計算，可根據公式(2)計算得到公式(3)，其中θ為微元面的法向量與穿過它的電場線的夾角。

由于整個曲面S的電通量就近似等于所有微面元電通量之和，用公式表示為：

當對曲面劃分的微元面無限小的時候，公式(4)即為該曲面電通量的準確表達式，用微積分形式表達可得：

公式(5)即為求解任意曲面電通量的一般表達式。

3.高斯定理

高斯定理表述為：在靜電場中，穿過任一封閉曲面的電場強度通量只與封閉曲面內的電荷的代數和有關，且等于封閉曲面的電荷的代數和除以真空中的電容率。下面以點電荷激發的電場為例，對高斯定理進行證明。

圖1 高斯定理證明過程

如圖1所示，在空間中存在任意形狀的閉合曲面S，閉合曲面內包含了一個點電荷Q，此時以點電荷Q為球心做一個半徑為r的閉合球面S2，且球面完全包含曲面S。根據電力線的連續性定理，穿過曲面S的電力線數目與穿過球面S2的電力線數目相等。由電通量的定義可知：電通量與穿過一個曲面的電場線的數目成正比，因此，曲面S的電通量與球面S2的電通量相等。則求解包含點電荷的任意曲面s的電通量就轉換為求解以該點電荷為球心的球面的電通量。

根據公式(5)可知，穿過閉合球面的電通量為：

已知電場強度計算公式(7)如下所示：

由此可知，電場強度的大小由電荷量和距點電荷的距離決定，由于閉合球面上的點到點電荷（球心）的距離處處相等，因此球面上的電場強度大小處處相等，將公式(6)和(7)聯立可得：

結合球表面積計算公式，最終可得：

由此可知，任意一個包含點電荷的閉合曲面，它的電通量就等于該點電荷所帶電量除以真空電導率。

當點電荷在任意閉合曲面（高斯面）之外時，證明的原理仍然基于電力線的連續性定理。其基本過程為：以點電荷為球心，以高斯面所覆蓋的立體角φ為區域，繪制規則的閉合面，它由兩個規則的球面（立體角均為φ）圍成，且兩球面之間的距離dr無限接近于零，則穿過這兩個規則球面相同位置的電通量大小相等方向相反，疊加之后為零，因此點電荷在高斯面之外時，穿過該高斯面的電通量為零。

根據以上推導過程即可得到高斯定理，推而廣之，在任意介質中，一個高斯面的電通量就等于它所包含的所有點電荷帶電量的代數和除以該高斯面所在介質的介電常量，如公式(10)所示。

4.電容器電容表達式推導

電容器表達式的推導可以遵從以下幾個步驟：（1）依據電場強度分布特點構建高斯面[3]-[4]，計算高斯面的電通量；（2）利用高斯定理得到電容器電場強度與極板電荷量之間的關系；（3）計算電場強度；（4）計算兩極板之間的電勢差U；（5）通過電容C定義式計算電容量。下面對平行板電容器和圓柱形電容器電容分別進行推導，物理模型如圖2所示。

圖2 平行板和圓柱形電容器高斯面

4.1 平行板電容器表達式推導

平行板電容器如圖2(a)所示，由于電平行板電容器極板間電場強度為勻強電場，電力線只存在與兩極板之間，由正極板出發垂直到達負極板（忽略極板的邊緣效應），因此將高斯面構建成一個閉合的長方體，如圖2(a)所示，該長方體包裹著其中一個極板，且長方體的側面與極板平行。當長方體的某一表面與電力線平行時，穿過該表面的電通量為零，則根據電通量定義及公式(5)可得：

其中E為極板間的勻強電場大小，S為兩極板的正對面積。結合高斯定理及公式(10)可得：

其中ε為極板間的材料介電常量。由于平行板電容器板間電壓與電場強度服從公式(13)，結合公式(12)和(13)，及電容C定義式最終可得公式(14)：

其中εr為材料的相對介電常數，k為靜電力常量，d為兩極板間距。

4.2 圓柱形電容器表達式推導

圓柱形電容器電容表達式的推導與平行板電容器的表達式推導方法一致，其中最關鍵的是高斯面的建立。分析圓柱形電容器電場分布特點可知：它的電場呈軸對稱型分布，電力線由正極板指向負極板，方向沿圓柱筒的徑向，而軸向上沒有電力線，因此建立圓柱形電容器的高斯面如圖2(b)所示，此時高斯面上下底面與電力線平行，它們的電通量為零，只有側面的電通量不為零。若記圓柱筒軸向上單位長度極板所帶電量為λ，則根據公式(5)和(10)可得：

根據電勢差的物理含義：AB兩點之間的電勢差等于電場中在電場力的作用下單位電荷由A點移動到B點電場力所做的功，可得：

其中r為高斯面的半徑，RB和RA為圓柱形電容器外半徑和內半徑。再由電容定義式，最終得到圓柱形電容器的電容表達式為：

其中L為圓柱形電容器長度。

5.電容特性及應用

通過分析平行板電容器與圓柱形電容器的電容表達式，可得到如下結論：

（1）電容值的大小與極板間填充材料介電常數成正比；

（2）電容值的大小隨著兩極板間距的增加而減小；

（3）電容值的大小隨著兩極板正對面積的增加而增加；

（4）電容值的大小與存儲的電量、外加電場均不相關；

（5）電容是電容器的固有屬性由此，可以利用電容器測量某些物理量，其核心思想為：將該物理量與電容的三個關鍵參量（板間距、極板正對面積和板間材料介電常量）中的某個或多個關聯起來，通過測量電容量（電容的改變量）來獲取某物理量的大小，例如：利用圓柱形電容器測量汽車油箱剩余油量，通過測量電容的改變量推導出容器液面高度，進而確定剩余的油量[5]。

6.總結

電容器是電子設備中大量使用的電子元件之一。本文針對平行板和圓柱形電容器的電容計算及應用展開了深入研究。首先研究了電通量的物理含義及計算方法，然后對高斯定理進行了理論證明和物理含義解析，在此基礎上結合微積分知識對電容器的電容表達式進行了推導，并探討了電容量作為電容器固有屬性所表現出來的特性。基于以上研究，最終給出了利用電容器測量油箱剩余油量等物理量的方法，為電容器的發展起到了積極的推動作用。