單自由度平面六桿手指機構解域綜合方法

韓建友 蔡營疆

(北京科技大學機械工程學院， 北京 100083)

0 引言

仿生手的發展給殘疾人的生活帶來極大的便利。為實現人手指的功能，許多手指被發明出來，比如采用記憶合金的手指[1-3]具有無噪聲的特點。POTRATZ等[4]采用彈簧來減輕手指的質量，但其具有5個自由度，需要較多的驅動電機。LOTTI等[5]采用由彈性鉸鏈構成的連桿機構，其自由度為4，成本較高。還有采用單晶硅的手指[6]和欠驅動多自由度手指，比如Belgrade/USC手指[7]、TBM手指[8]和SPRING手指[9]，這些手指采用腱驅動其中的幾個關節即可實現運動，沒有被驅動的關節的運動則取決于抓取物體的外形。除此之外，欠驅動手指理論也有一定的發展[10-12]。欠驅動手指分為兩類，一種是采用肌腱驅動的手指，一種是采用連桿驅動的手指，如文獻[13]中的手指同時采用平面五桿機構和平面四桿機構，其成本較低。也有根據人手骨骼結構設計的手指[14]，然而這種手指結構比較復雜，加工較難。另外，也有采用氣動柔性驅動器進行驅動的手指[15-16]，但其仿生程度不高。連桿機構可以應用于康復手指的設計，但是在已有的康復手指中，文獻[17-18]根據初始的條件只得到一個確定的機構。本文采用單自由度平面六桿機構設計手指機構，其控制簡單，采用1個電機即可實現控制，易加工，且通過解域法得到滿足初始條件的無窮多機構，每個機構都可以應用于手指的設計，因此可達到機器人手指多用途、多尺寸、易控制的要求。同時為得到較好的力學性能，引入力傳遞性能指標K[19]。本文在文獻[20-21]的基礎上進行改進和擴展，對解域的形成給出不同的生成方法，該方法能更明確地表示出解域上連續變化的性能，從而形成所需要的各種曲線，并引入力傳遞性能指標。

1 手指機構綜合

本文首先給出手指機構的3個指節的4個運動位置，并給定手指關節的坐標限制范圍，據此得到鉸鏈點的可行曲線段，對可行曲線段進行分段，形成解域，然后引入力傳遞性能指標K，對解域進行篩選，得到可行解域，最后在解域中選擇一個平面六桿機構，得到手指機構的全部參數，并根據選擇的機構給出手指的設計示例，整個過程如圖1所示。

圖2 連桿平面運動示意圖Fig.2 Diagram of links planar motion

1.1 運動生成綜合理論

(1)

(2)

根據桿長不變原理，連桿BM的長度不變，即

[Bi-Mi]T[Bi-Mi]=[B1-M1]T[B1-M1]

(3)

將式(1)、(2)代入式(3)，整理可得

CixB1+EiyB1+Fi=0 (i=2,3,4)

(4)

把xB1和yB1看作未知數，則式(4)有解的條件為

(5)

整理可得鉸鏈點M滿足的三次曲線方程[22-24]

(6)

曲線(6)為廣義布爾梅斯特曲線，在曲線(6)上取得一點，可得鉸鏈點M在運動位置1的坐標，代入式(4)即可得到對應的鉸鏈點B在運動位置1的坐標。若其中一個連桿平面為固定平面，則對應的位移矩陣為單位矩陣，此時曲線(6)為布爾梅斯特曲線。利用本節求曲線方程的方法，可對平面六桿機構進行綜合。

1.2 解曲線及解域生成

本文采用Watt-I型平面六桿機構設計手指。平面六桿機構需要實現人手指彎曲的動作，同時，當有外力施加到機構上時，機構需要具有良好的力學傳遞性能。文獻[20]根據Watt-I型平面六桿機構4位置運動生成理論得到解域，其表達了所有Watt-I型平面六桿機構在解域中的位置，但未能表達機構的力學性能和鉸鏈點的實際坐標，本文在此基礎上，給出新的解域生成方法，對曲線分段，按鉸鏈點的實際坐標生成3部分解域，將鉸鏈點坐標直接表達在解域上，除此之外，引入力傳遞性能指標K，得到K在解域上的分布規律，使得解域中機構的力學性能更加直觀。

圖3 單自由度平面六桿機構Fig.3 Planar six-bar mechanism with one DOF

圖3為單自由度平面六桿機構，其通過4個預定的運動位置(位置1、2、3、4)。鉸鏈點a0和鉸鏈點d0為固定鉸鏈點，其他鉸鏈點為動鉸鏈點，且鉸鏈點a0位于所選坐標系的原點，鉸鏈點d、e、f、d0為待求鉸鏈點。θ1、θ2、θ3分別為a0a、ab、bc與x軸的夾角(按右手法則，逆時針為正)。L1、L2、L3分別為a0a、ab、bc的長度。F為施加在連桿bce上的外力(為簡化受力狀態，將外力施加在1個連桿上)，T為施加在連架桿a0ad上的力矩。在運動過程中F的大小不變(為方便計算，示例中設置為1 N)，驅動力矩T為待求量。

根據人手指3個指節的長度，給定L1、L2、L3的值，如表1所示。給定θ1、θ2、θ3在4個運動位置的值，如表2所示，給定鉸鏈點d0、d、e、f的坐標限制范圍，如表3所示。通過連架桿a0a的4個位置和連桿bc的4個位置，即2個連桿平面，采用1.1節求鉸鏈點曲線的方法，得到在運動位置1處鉸鏈點d的解曲線(Cd)及可行段，也可得到鉸鏈點e的解曲線(Ce)和可行段，此時a0、a分別對應圖2中的b、m。θ1、θ2分別對應圖2中的α、β。d、e分別對應圖2中的B、M，通過計算整理得Cd和Ce，其與式(6)具有相同的形式。圖4顯示了解曲線Cd和可行段。由于Cd可行段上的點和Ce可行段上的點需同時滿足各自的坐標限制范圍，Cd可行段并不連續。

表1 L1、L2、L3的值Tab.1 Values of L1, L2 and L3 mm

表2 θ1、θ2、θ3在4個運動位置的值Tab.2 Values of θ1, θ2 and θ3 in four moving positions (°)

表3 待求鉸鏈點坐標限制范圍Tab.3 Limited ranges of coordinates of unknown joints mm

Cd可行段上的點和Ce可行段上的點有一一對應的關系。在Cd可行段上選擇一點后，與該點對應的鉸鏈點e也確定，即確定連桿de在運動位置1處的位置，通過鉸鏈點d和鉸鏈點e可得到連桿a0ad和連桿bce的尺寸，基于此，得到鉸鏈點d和鉸鏈點e在其他運動位置的坐標，通過連桿de的4個位置和機架，采用1.1節求鉸鏈點曲線的方法，得到鉸鏈點d0在運動位置1處的解曲線(Cd0)和可行段，也可得到鉸鏈點f的解曲線(Cf)和可行段。此時原點O、d分別對應圖2中的b、m。de為圖2中的lm1且α為0°。d0、f分別對應圖2中的B、M，通過計算整理得到Cd0和Cf，其與式(6)具有相同的形式。

在Cd可行段上選擇不同的點會得到不同的解曲線Cd0和可行段，圖5和圖6分別為當選擇圖4中點A和點B后得到的鉸鏈點d0的解曲線和可行段。Cd0可行段上的點和Cf可行段上的點也有一一對應的關系。在Cd0上選擇一點后，就確定了連桿d0f在運動位置1的位置，結合連桿de在運動位置1處的位置，就確定了1個平面六桿機構。

圖4 鉸鏈點d解曲線和可行段Fig.4 Solution curve and feasible curves of joint d

圖5 圖4中取A點得到的鉸鏈點d0解曲線及可行段Fig.5 Solution curve and feasible segments for joint d0 corresponding to point A in Fig.4

圖6 圖4中取B點得到的鉸鏈點d0解曲線及可行段Fig.6 Solution curve and feasible segments for joint d0 corresponding to point B in Fig.4

連桿de和連桿d0f的位置分別由4個坐標分量(dx,dy,ex,ey)之一和4個坐標分量(d0x,d0y,fx,fy)之一決定，因此，可采用dx和d0x分別為橫坐標和縱坐標生成解域。當x為一定值時，三次曲線方程變為關于y的一元三次方程，其可能有1個或3個實根。因此，對曲線按如下規則進行分段：當只有1個實根時，點(x,y)分入第1段曲線；當有3個實根時，按照y從小到大的順序把點(x,y)分別分入第1、第2、第3段曲線。根據此分段規則，Cd可行段被分為3段，其橫坐標范圍分別為41.2～61.6、49.6～56.4、49.6～52.0，如圖4所示。Cd0被分為1段或者3段。在Cd可行段上選擇一點，得到點(dx,dy)，并在得到的Cd0可行段上選擇一點，得到點(d0x,d0y)，則解域點為(dx,d0x)，令m(m=1, 2, 3)和n(n=1, 2, 3)分別表示點(dx,dy)和點(d0x,d0y)所在的曲線段標號，則解域點(dx,d0x)在圖7中的區域(m,n)(即圖7中圓圈中的數字)。從橫坐標41.2到56.4按照步長0.2選擇Cd可行段上的每一點，并選擇得到的Cd0可行段上的每一點，得到如圖7所示的解域。解域中的A1(一條實線)對應圖5可行段A1。B1、B3組成圖6可行段的第1段，B2為圖6可行段的第2段。

圖7 平面六桿機構解域Fig.7 Solution region for planar six-bar mechanisms

1.3 力傳遞性能指標的確定和可行解域生成

為得到力學性能較好的機構，引入力傳遞性能指標。壓力角可衡量一個機構的力傳遞性能，但只有當外力施加在連架桿上時，壓力角才適用[19]。本文中外力F施加在連桿bce上，而不是連架桿d0f或者連架桿a0ad，故此時壓力角并不適用于衡量機構的力傳遞性能，故本文引入K。

如圖3所示，在運動過程中，假設外力F總是垂直于邊ec，并位于邊ec的中點。為方便計算，設外力F為1 N。在θ1從0°連續變化到-40°的過程中，令Fmax_i(i=a,b,d,e,f,a0,d0)表示鉸鏈點i的內力最大值，令Fmax表示Fmax_i(i=a,b,d,e,f,a0,d0)中的最大值，則參數K表示為[19]

(7)

根據手指的設計目的(如康復手指、仿生手指等)，限制K的大小。康復手指對力學性能要求較高，可取較小的K，而仿生手如果僅著重于外形，則可取較大的K。本文限制K≤20。利用K對圖7中的所有機構進行篩選，可得到篩選后的鉸鏈點可行段。圖8為引入K后鉸鏈點d的解曲線和可行段。當選擇圖8中可行段上的C點后，得到篩選后的鉸鏈點d0可行段，如圖9所示。根據上文提到的曲線分段規則重新對可行段進行分段，得到如圖10所示的新的可行解域。圖10中解域1和解域2為后文選擇平面六桿機構的區域，圖中點E、F、G和H坐標分別為(48,-4)、(50, 0)、(54,-10)和(57,-2)。

圖8 引入K后的鉸鏈點d解曲線及可行段Fig.8 Solution curve and feasible segments for joint d with parameter K

圖9 圖8中取C點得到的鉸鏈d0解曲線及可行段Fig.9 Solution curve and feasible segments for joint d0 corresponding to point C in Fig.8

圖10 引入K后的解域Fig.10 Solution region with parameter K

2 機構選擇和設計示例

采用單自由度平面六桿機構進行手指的設計，機構鉸鏈點間的距離可影響手指的外形，因此，K較低的平面六桿機構由于其力學性能較好，可用來設計對力學性能要求高的手指，如康復手指，而鉸鏈間距離較小的平面六桿機構其結構更加緊湊，可用來設計仿生手指等對外形要求高而對力學性能要求較低的手指，但也要考慮結構上能否實現。圖11為3個具有不同外形和K的平面六桿機構。

圖11 3個具有不同形狀和K的平面六桿機構Fig.11 Three planar six-bar mechanisms with different shapes and K values

將圖10中的解域1和解域2進行放大，更清楚地顯示機構在解域中的位置，如圖12和圖13分別顯示機構1和機構2在解域中的位置。機構3的鉸鏈d和鉸鏈d0在曲線上的位置分別如圖8和圖9所示。由于機構3的鉸鏈d0在限制范圍外面，因此解域不包含機構3。

圖12 機構1在圖10解域1中的位置Fig.12 Location of mechanism 1 in solution region 1 shown in Fig.10

圖13 機構2在圖10解域2中的位置Fig.13 Location of mechanism 2 in solution region 2 shown in Fig.10

機構2和機構3的K小于機構1的K，而機構1的結構更加緊湊，故機構2和機構3具有較好的力傳遞性能，用于康復手指的設計可更好地幫助人手指的運動康復，而機構1用于設計仿生手指可得到更好的手指外形。本文利用機構1給出仿生手指設計示例，機構1的鉸鏈點坐標如表4所示。

設計出的仿生手指包含3個指節和2個隱藏在內部的連桿。如圖14所示，圖14a為手指外形示意圖，圖14b為手指內部結構。圖15為3D打印樣機示例。圖中手指依次通過4個預定的運動位置，采用1個驅動電機即可驅動該手指。

表4 機構1的鉸鏈點坐標Tab.4 Coordinates of mechanism 1 mm

圖14 仿生手指結構Fig.14 Structure of anthropomorphic finger

圖15 仿生手指3D打印樣機Fig.15 Prototype of anthropomorphic finger

3 結論

(1)手指虛擬樣機的運動過程能通過給定的4個運動位置，證明設計理論和設計方法是正確有效的。手指樣機能實現預期目標，證明了結構上也是可行的，且能滿足各種性能要求。

(2)采用單個驅動電機即可驅動手指，證明力傳遞性能指標的引入有利于得到具備較好力學性能的機構，并有利于手指功能的實現。解域能給出所有滿足要求的機構解，可根據不同的設計目的選擇合適的結構，滿足機器人手指多尺寸、多用途的設計要求，同時，也為進一步優化手指結構提供了可能。