二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)約束條件分析

杜幸運(yùn)，趙 慧，徐鵬成

（武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢 430081）

1 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，人們希望能夠用最少的輸入來(lái)產(chǎn)生較多維數(shù)空間運(yùn)動(dòng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)，使機(jī)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造容易、高效可靠、維修方便、節(jié)能減排的目的[1]，因此研究新型機(jī)構(gòu)將成為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的良好途徑。二元驅(qū)動(dòng)器（binary actuators）是驅(qū)動(dòng)器中的特殊一類，只具有兩個(gè)離散的穩(wěn)定狀態(tài)，標(biāo)記為0和1，分別對(duì)應(yīng)于驅(qū)動(dòng)器的兩個(gè)極限位置。和傳統(tǒng)的機(jī)器人系統(tǒng)相比，二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人不需要反饋控制、成本低、且具有高負(fù)載能力、定位和重復(fù)定位精度高、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但其缺點(diǎn)是工作空間不連續(xù)，很難求逆解。

國(guó)際上對(duì)二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人離散系統(tǒng)研究較為有影響力的團(tuán)隊(duì)分別是JHUChirikjian團(tuán)隊(duì)和MITDubowsky團(tuán)隊(duì)。文獻(xiàn)[2]提出了一種基于齊次變換的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解計(jì)算方法，研究了二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人平面變幾何珩架機(jī)構(gòu)（VGT）正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法并驗(yàn)證了算法的有效性。同時(shí)，文獻(xiàn)[3]通過(guò)改變二元驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)腿變化量，研究了其對(duì)工作空間的影響，并提出了用于二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人拾取任務(wù)的優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[4]研究二元驅(qū)動(dòng)串-并聯(lián)機(jī)器人離散系統(tǒng)參數(shù)綜合問(wèn)題。提出了二元機(jī)器人驅(qū)動(dòng)智能裝置BRAID（Binary Robotic Articulated Intelligent Device）的概念，并進(jìn)行了大量相關(guān)理論和實(shí)驗(yàn)技術(shù)研究，文獻(xiàn)[5]對(duì)基于BRAID的二元驅(qū)動(dòng)串-并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、驅(qū)動(dòng)器及控制、運(yùn)動(dòng)學(xué)等做了研究。文獻(xiàn)[6-7]研究了使用介質(zhì)聚合物二元驅(qū)動(dòng)器的BRAID的運(yùn)動(dòng)學(xué)以及驅(qū)動(dòng)器優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]分別研究二元驅(qū)動(dòng)串-并聯(lián)機(jī)器人平面（2-D）和空間（3-D）的正運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題并提出基于連續(xù)變量?jī)?yōu)化方法的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解方法。JHU Chirikjian團(tuán)隊(duì)和MIT Dubowsky團(tuán)隊(duì)的研究工作重點(diǎn)放在對(duì)其末端位置空間的研究，其姿態(tài)問(wèn)題很少考慮，尤其是二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人末端姿態(tài)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系更未考慮。文獻(xiàn)[9]研究了空間并聯(lián)機(jī)器人末端動(dòng)平臺(tái)位置空間和姿態(tài)歐拉角，但并沒(méi)有定量的給出驅(qū)動(dòng)腿變化量與結(jié)構(gòu)參數(shù)變化關(guān)系，因?yàn)榇岁P(guān)系對(duì)機(jī)器人末端姿態(tài)歐拉角存在與否有重要的影響。在一個(gè)二元驅(qū)動(dòng)的離散系統(tǒng)中，工作空間由一系列離散點(diǎn)組成，因此分析離散系統(tǒng)的工作空間即為分析空間內(nèi)工作點(diǎn)的分布云圖，文獻(xiàn)[10]分析得出結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)工作空間點(diǎn)分布范圍及系統(tǒng)的精度具有明顯的影響，但是并沒(méi)有考慮驅(qū)動(dòng)腿與結(jié)構(gòu)參數(shù)取值關(guān)系影響末端姿態(tài)歐拉角的存在，也未考慮驅(qū)動(dòng)腿變化量與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的定量關(guān)系。

以平面變幾何桁架機(jī)構(gòu)（VGT）作為二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人基本模塊，研究其正運(yùn)動(dòng)學(xué)并分析其不同驅(qū)動(dòng)腿變化量對(duì)末端位置空間的影響。進(jìn)一步的研究了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)末端姿態(tài)的影響，根據(jù)上、下平臺(tái)之間相對(duì)姿態(tài)轉(zhuǎn)角為實(shí)數(shù)的約束條件，用MATLAB語(yǔ)言編寫正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算公式，求出末端動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)轉(zhuǎn)角，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)和驅(qū)動(dòng)腿變化量進(jìn)行大量的取值計(jì)算，得出不同驅(qū)動(dòng)腿變化量對(duì)應(yīng)不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍。因此得出結(jié)論：結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理取值，可以避免因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)參數(shù)的選取不當(dāng)，無(wú)法求得相應(yīng)的姿態(tài)歐拉角，另外，在執(zhí)行精度較高的任務(wù)場(chǎng)合時(shí)，不僅可以通過(guò)控制機(jī)器人驅(qū)動(dòng)腿變化量來(lái)改變末端姿態(tài)，還可以同時(shí)通過(guò)控制改變結(jié)構(gòu)參數(shù)值實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端位姿的變化。

2 VGT正向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1所示。共有5個(gè)完全相同的模塊組成，且末端執(zhí)行器位于最高一級(jí)模塊平臺(tái)中心處。其中每個(gè)單元模塊有三條腿，每條腿由氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)，只有兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)。這樣，3條驅(qū)動(dòng)腿，可以實(shí)現(xiàn)8種構(gòu)型，因此，末端執(zhí)行器所能達(dá)到的空間位置將隨模塊串聯(lián)數(shù)的增加而呈指數(shù)增長(zhǎng)。五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人可以達(dá)到的空間位置點(diǎn)數(shù)為85，如圖1所示。

圖1 五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人Pro/E三維結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Five-Stage Binary Actuators Series-Parallel Robot of Pro/E Three-Dimensional Structure Diagram

根據(jù)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)的知識(shí)，機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)表示各關(guān)節(jié)參數(shù)q和結(jié)構(gòu)參數(shù)w與機(jī)器人末端執(zhí)行器空間位置的關(guān)系[3]，因此機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)方程可以表示：

式中：x—末端的位置和姿態(tài)矢量；w—結(jié)構(gòu)參數(shù)，它是根據(jù)機(jī)器人結(jié)構(gòu)的不同而異，如圖2所示。結(jié)構(gòu)參數(shù)為除了驅(qū)動(dòng)腿之外的所有桿件的寬度為w，且w∈—關(guān)節(jié)參數(shù)。

對(duì)于N個(gè)基本模塊串聯(lián)一起構(gòu)成的二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人離散系統(tǒng)，第i級(jí)的關(guān)節(jié)參數(shù)只有兩個(gè)狀態(tài)qmin、qmax。按照逆時(shí)針?lè)较蚍謩e標(biāo)注 3 條驅(qū)動(dòng)腿為 qi，1、qi，2、qi，3，將笛卡爾坐標(biāo)系原點(diǎn)置于底部桿件中心點(diǎn)處。

圖2 VGT基本模塊Fig.2 VGT Basic Module

離散系統(tǒng)的關(guān)節(jié)參數(shù)是一組離散變量，它的取值是一定數(shù)值的集合，該集合表示為qi∈ ｛qmin，qmax｝∈R，因此，對(duì)任意關(guān)節(jié)參數(shù)可用公式表示為：

式中：B—數(shù)字‘0’和‘1’的集合，B∈｛0，1｝；bi∈B，它表示 B 的子集。

由圖 2 可知，已知每個(gè)模塊驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng) qi∈｛qi，1，qi，2，qi，3｝和結(jié)構(gòu)參數(shù)，我們的目標(biāo)是求兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn) Ai，1（xi，1，yi，1）和 Ai，2（xi，2，yi，2）與驅(qū)動(dòng)腿長(zhǎng)之間的方程關(guān)系，然后找出上平臺(tái)中心點(diǎn)相對(duì)于下平臺(tái)中心點(diǎn)之間的幾何關(guān)系方程式。通過(guò)幾何關(guān)系我們可以求得：

將方程（3）通過(guò)MATLAB編寫程序求解并簡(jiǎn)化可得：

第i節(jié)機(jī)構(gòu)相對(duì)于第i-1節(jié)的姿態(tài)轉(zhuǎn)角可以表示為：

那么串聯(lián)ith平臺(tái)中心點(diǎn)相對(duì)基坐標(biāo)系中心點(diǎn)的絕對(duì)姿態(tài)轉(zhuǎn)角可表示為：

我們使用gi-1，i表示Fi相對(duì)Fi-1，i機(jī)構(gòu)的齊次變換矩陣：

最終，末端執(zhí)行器平臺(tái)中心坐標(biāo)FN相對(duì)于基坐標(biāo)系F0中心可以用gi-1，j表示為[4]：

3 二元驅(qū)動(dòng)腿變化量與結(jié)構(gòu)參數(shù)分析

根據(jù)式（6）編寫MATLAB程序求解圖2單個(gè)VGT基本模塊的姿態(tài)轉(zhuǎn)角Δθ。當(dāng)已知驅(qū)動(dòng)腿變化量Δq時(shí)，結(jié)構(gòu)參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值，根據(jù)平面變幾何桁架結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系，在工程實(shí)際中姿態(tài)轉(zhuǎn)角屬于實(shí)數(shù)，即Δθ∈R。根據(jù)這一約束條件，當(dāng)已知二元驅(qū)動(dòng)腿qmin和qmax，改變結(jié)構(gòu)參數(shù)的值，求取不同的姿態(tài)轉(zhuǎn)角，如果計(jì)算出的Δθ值屬于實(shí)數(shù)，說(shuō)明w值可取，如果計(jì)算出的值屬于復(fù)數(shù)，w則不可取。進(jìn)一步的研究驅(qū)動(dòng)腿變化量與結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍的關(guān)系，分別取不同的Δq值，通過(guò)編寫MATLAB計(jì)算并記錄結(jié)果，如表1所示。由于數(shù)據(jù)太多，只截取四組實(shí)驗(yàn)其中一部分?jǐn)?shù)據(jù)。通過(guò)表 1（單位為 Cm，i∈［1，…，n］，j=1，2，3）中四組數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍與驅(qū)動(dòng)腿變化量之間有著密切的關(guān)系，即：wmin=Δq=qmax-qmin，wmax=2×qmin。在該機(jī)構(gòu)實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)驅(qū)動(dòng)腿變化量的不同取值，確定機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍，根據(jù)這一范圍合理取值，可以避免因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)參數(shù)的選取不當(dāng)，無(wú)法求得相應(yīng)的姿態(tài)轉(zhuǎn)角。

表1 二元驅(qū)動(dòng)腿變化量與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系Tab.1 Binary Actuators Stroke of Variation Relationship with Structural Parameters

4 工作空間分析

為了分析該五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置空間和姿態(tài)變化范圍，由式（8）編寫MATLAB程序，可求得圖1末端執(zhí)行器的位置空間，如圖3所示。以表1中的數(shù)據(jù)1為例，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù) w=50 時(shí)，取驅(qū)動(dòng)腿四組不同值（qi，j=［50，90］，qi，j=［50，80］，qi，j=［50，70］，qi，j=［50，60］），從而改變不同的驅(qū)動(dòng)腿變化量，得出五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人末端不同的離散點(diǎn)位置分布云圖。根據(jù)式（7），分析圖1末端執(zhí)行器的姿態(tài)，如圖4所示。以表1中的數(shù)據(jù)1為例，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)w=50時(shí)，取驅(qū)動(dòng)腿四組不同值（同上），從而改變不同的驅(qū)動(dòng)腿變化量，可得末端平臺(tái)相對(duì)基坐標(biāo)系的絕對(duì)姿態(tài)轉(zhuǎn)角的分布云圖。為了進(jìn)一步的說(shuō)明結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)圖1末端執(zhí)行器的姿態(tài)的影響，如圖5所示。當(dāng)驅(qū)動(dòng)腿變化量取固定值 qi，j=［50，70］時(shí)，取四組不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)（w=100，w=70，w=40，w=20），可得末端平臺(tái)相對(duì)基坐標(biāo)系的絕對(duì)姿態(tài)轉(zhuǎn)角的分布云圖。從圖3和圖4中可以得出：當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)固定時(shí)，末端執(zhí)行器的位置空間和姿態(tài)空間隨著驅(qū)動(dòng)腿變化量的減少而減少。從圖5中可以得出：當(dāng)驅(qū)動(dòng)腿變化量固定時(shí)，末端執(zhí)行器的姿態(tài)空間大小隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)的減少而增大，然而末端執(zhí)行器的姿態(tài)區(qū)間的離散點(diǎn)的密度隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)的減少而降低。如果該機(jī)構(gòu)應(yīng)用在精密儀器中，可以通過(guò)合理增加結(jié)構(gòu)參數(shù)的值使其在姿態(tài)區(qū)間的離散點(diǎn)的密度增大，從而提高五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)機(jī)器人作業(yè)任務(wù)的精度。

圖3 五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)機(jī)器人末端位置點(diǎn)分布云圖Fig.3 Five-Stage Binary Actuators Robot End Location Map

圖4 五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)機(jī)器人末端姿態(tài)分布云圖Fig.4 Five-StageBinary Actuators Robot End Posture Map

圖5 五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)機(jī)器人末端姿態(tài)分布云圖Fig.5 Five-StageBinary Actuators Robot End Posture Map

5 結(jié)論

研究平面變幾何珩架機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)及驅(qū)動(dòng)腿變化量和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其工作位置空間和末端位姿的影響，通過(guò)改變驅(qū)動(dòng)腿變化量和結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值，驗(yàn)證了不同參數(shù)對(duì)末端工作空間的影響。在工程實(shí)際中，姿態(tài)轉(zhuǎn)角屬于實(shí)數(shù)這一約束條件，研究驅(qū)動(dòng)腿變化量與結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍的關(guān)系，經(jīng)大量計(jì)算得出；（1）結(jié)構(gòu)參數(shù)最小值等于驅(qū)動(dòng)腿兩個(gè)極限位置之差的絕對(duì)值，結(jié)構(gòu)參數(shù)最大值等于驅(qū)動(dòng)腿極限最小值的兩倍。該結(jié)論解決了驅(qū)動(dòng)腿變化量與結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值問(wèn)題，定量的分析了其兩者之間的關(guān)系，從而可以避免因結(jié)構(gòu)參數(shù)盲目取值而無(wú)法求得姿態(tài)角的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)其工作空間的分析，從圖3和圖4中可以得出；（2）當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)固定時(shí)，末端執(zhí)行器的位置空間和姿態(tài)空間隨著驅(qū)動(dòng)腿變化量的減少而減少。從圖5中可以得出；（3）當(dāng)驅(qū)動(dòng)腿變化量固定時(shí)，末端執(zhí)行器的姿態(tài)空間大小隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)的減少而增大，然而末端執(zhí)行器的姿態(tài)區(qū)間的離散點(diǎn)的密度隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)的減少而降低。如果該機(jī)構(gòu)應(yīng)用在精密儀器中，可以通過(guò)合理增加結(jié)構(gòu)參數(shù)的值使其在姿態(tài)區(qū)間的離散點(diǎn)的密度增大，從而提高五級(jí)二元驅(qū)動(dòng)串并聯(lián)器人作業(yè)任務(wù)的精度。以后的研究將會(huì)考慮空間串并聯(lián)機(jī)器人，研究驅(qū)動(dòng)腿與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，平面變幾何珩架機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)腿變化量與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系是否也適用于空間并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化有待進(jìn)一步的研究，另外，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，尤其是并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和氣缸受力情況也是將來(lái)研究的一個(gè)方面。