一種玻璃搬運機器人軌跡規劃和優化研究

胡 蓉

（宜賓職業技術學院，四川 宜賓 644003）

1 引言

工業機器人由于其高效、高可靠性及重復精準高等特點，被廣泛應用各行各業。但由于搬運目標的差異性，對軌跡規劃的具體要求千差萬別。將工業機器人應用于玻璃搬運，考慮玻璃尺寸較大且易破碎的特點，能夠保證效率的前提下降低抖振來減小破碎尤為重要。

關于軌跡規劃的問題，文獻[1]對六自由度機械臂軌跡規劃與仿真研究；文獻[2]對關節空間進行了差值軌跡規劃研究；文獻[3-5]研究了基于速度和加速度約束的軌跡規劃，關于軌跡規劃的問題前人也通過其他方式進行了軌跡規劃。關于抖動問題，文獻[6]分析了對無碰撞-時間最優軌跡規劃的影響。文獻[7]采用運動學進行軌跡規劃并采用進化策略優化。文獻[8]利用高階函數逼近的方法規劃來降低抖動。文獻[9]提出了一種間隔分析計算的方法，來減小機器人的運動軌跡中的抖動。關于軌跡規劃和降低抖動問題前人做了大量研究，有效的從規劃算法和優化算法上面解決上述問題，但都存一些缺陷：未將時間和抖動因素綜合考慮。為此，將時間和抖動因素綜合考慮值得進一步研究。

在前人研究的基礎之上，以搬運玻璃的機器人為研究對象，提出采用B樣條曲線進行軌跡規劃；基于多目標遺傳算法以減少單次工序工作時間和降抖動的目標軌跡優化，找到以時間和抖動為最優目標的優化方案，經過遺傳算法的優化，使得玻璃搬運機器人的時間和抖動綜合達到最優，為實際的搬運作業提供參考。

2 軌跡規劃與優化模型

圖1 玻璃搬運機器人三維模型及軌跡規劃曲線Fig.1 The 3D Model of Glass Handling Robot and its Trajectory Planning Curve

采用六自由度的玻璃搬運機器人為研究對象，其三維模型及軌跡行走的曲線，如圖1所示。

六自由度搬運機器人的數學模型構建在文獻[10]中已完成，同時通過文獻[11]的數學推導，則可得到機器人第j個開關的運動軌跡：

式中：t∈［0，hi］，i=1，2，…，n-1qj，i—關節 j的第 i個插值點的位移；vj，i—qj，i處瞬時速度；aj，i—qj，i處瞬時加速度；aj，i—qj，i處瞬時加速度；hi—兩插值點的運動時間。下面進行B樣條曲線軌跡規劃分析。

由于B樣條曲線具有諸多優良性質，如局部支撐性、幾何不變性、保凸性、變差減小性等，為此借助該函數的這些特點，采用B樣條函數模型表達其工作空間的軌跡規劃數學模型可表示為下式：

式中：Qj—控制點—度的基本函數。

確定采用三次B樣條曲線，由于B樣條曲線在插值點處速度連續的特點，則有：

向量；H—（n-2）×（n-2）矩陣，其具體表達式為：

由于函數連續可導，則可以推導出：

將式（4）代入到式（6），消元 qj，2，qj，n-1后可以得到 n-3 個線性無關的；aj，i—變量的方程，表達成矩陣的形式為H′A=Q。其中：

進一步求解式（7），并將結果帶入式（4），則可以得到式（1）中的未知量。那么就可以求得機器人三次樣條曲線的軌跡。

3 機器人軌跡的優化模型

3.1 最優時間軌跡規劃數學模型

機器人的運動時間即為每個關節做完規定動作后所需要的時間，那么玻璃搬運機器人目標軌跡最優總時間的數學模型就可以表達為：

式中：T—目標軌跡總時間；hi—機器人走完第i段軌跡所需要的時間。

3.2 最小抖動數學模型

3.3 多目標遺傳算法搬運機器人最優軌跡規劃

同時將機器人搬運時間和單次搬運過程中的抖動量兩個因素作為優化對象，并采用權重系數法對時間和抖動進行賦權，數學模型表達為：

式中：F—考慮搬運時間和抖動量后的軌跡規劃參量表達；kT，kJ—時間和抖動的權重值，其大小可根據實際的工程需求結合專家的指導進行設定；N—關節數量；h—時間；Q...—軌跡模型三階導數—抖動值。

4 玻璃搬運機器人軌跡規劃和優化分析

4.1 空間軌跡規劃仿真分析

根據六自由度機器人關節空間三次B樣條函數模型軌跡規劃，編寫機器人的matlab軌跡規劃程序，得到末端執行器x軸方向和y軸方向的運動軌跡曲線，如圖2所示。

通過對六自由度機器人關節空間三次B樣條函數模型軌跡規劃仿真分析，可以看出其位移曲線、速度曲線、加速度曲線均連續，但速度和加速度曲線不可導，其規劃軌跡存在抖動現象。同時，該軌跡規劃未直接從參量上對執行時間和抖動這兩者進行權重分配，無法在機器人單次執行時間和抖動之間建立合理的平衡。為此，需要對模型進行優化，在保證機器人搬運效率的情況下降低抖動，或者在能夠接受的抖動值內達到最優效率。

4.2 多目標遺傳算法的機器人最優軌跡規劃分析

將玻璃搬運機器人為研究對象，以建立時間-抖動最優軌跡規劃數學模型，即表達式（10），進行仿真分析。為了保證優化的效果，采用實數編碼方式，保證優化精度同時避免了海明懸崖問題。群體規模為100，初始的交叉概率為pc=0.7，初始的變異概率為pm=0.15，初始的精英保留策略率ps=0.05，編碼因子hi的取值范圍是［0.5，5］，基因的子空間為 Ω（Ω∈［0.5，5］），適應度函數，如式（11）所示。進而進行選擇復制、交叉，變異采取一定的概率，對適應度高的個體進行復制，從而提高種群中的整體適應能力。每一輪進化后都會產生新的群體，采用最大代數收斂準則來判斷是否結束循環。

由式（11）計算可知，優化軌跡隨著權重變化而變化，優化結果，如表1所示。

表1 兩種權重值對應優化結果Tab.1 Two Kinds of Weight Values Correspond to the Optimization Results

表中：hi單位為 s，Jj單位為 deg.s-3。

為更進一步分析，分別對KJ/KT=0.3和KJ/KT=0.8的優化結果進行仿真分析。限于篇幅，僅列出關節1的角位移、角速度、角加速度及抖動函數關系圖，如圖3所示。虛線代表KJ/KT=0.3的優化結果，實線代表KJ/KT=0.8的優化結果。

圖3 玻璃搬運機器人關節1軌跡優化曲線Fig.3 The Links Optimization Curve of Trajectory of Glass Handling Robot

從圖3（a）對比能發現角位移相同的情況下，KJ/KT的比值越小即時間權重KT越大時優化結果中機器人運行時間越短；從圖3（b）中能看出時間權重KT越大會造成角速度峰值偏大；從圖3（c）能看出時間權重KT越大加速度峰值越大，角加速度越不平滑，勢必會產生更大沖擊；從圖3（d）能明顯看出早考慮時間和抖動兩個因素時，抖動權重KJ越大，抖動就會越小，優化結果中關節的運動軌跡越平滑。因此，在進行軌跡規劃設定中，要根據不同玻璃的抗振動系數，設定抖動權重的前提下來對時間進行最優化設計，以滿足生產過程的效率。

5 結論

（1）對六自由度機械臂進行了關節空間運動學分析，并采用三次B樣條曲線對機器人進行空間軌跡規劃；在B樣條曲線規劃基礎上，建立了最優時間模型、抖動優化的數學模型，利用多目標遺傳算法對模型進行了軌跡優化。

（2）經仿真分析，得到了時間權重和抖動權重對優化模型的影響程度，進一步對六自由度機器人關節空間三次B樣條函數模型軌跡規劃，其結果表明加速度曲線連續但不可導，存在抖動現象，為此建立了最優執行時間（也即效率）和抖動兩者的平衡，使其在滿足效率的前提下抖動得到有效控制。

（3）進一步，實現了基于執行時間和抖動最優對機器人進行空間軌跡規劃，為玻璃搬運機器人軌跡規劃提供了參考。