否定非對合剩余格的IV-模糊理想

劉春輝

赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000

1 引言

剩余格是由Ward和Dilworth于20世紀30年代在文獻[1]中首次提出的一類重要且應用廣泛的代數系統，它是Heyting代數的合理推廣。目前，這一代數系統已經被學者們公認為模糊邏輯研究中理想的代數框架之一，相關研究成果頗為豐富[2-8]。1965年，Zadeh創立了模糊集理論[9]。Rosenfeld提出了模糊子群的概念[10]，標志著模糊代數研究工作的開始。隨后模糊集理論被廣泛應用于各類代數系統的研究，并取得了豐富的研究成果[11-20]。其中，文獻[21]將模糊集思想應用于否定非對合剩余格，給出了否定非對合剩余格的模糊理想和模糊素理想的概念，獲得了否定非對合剩余格的模糊理想和模糊素理想的若干性質和等價刻畫。作為對模糊集概念的推廣，1975年，Zadeh在文獻[22]又提出了區間值模糊集（Interval Valued fuzzy set，簡記為IV-模糊集），文獻[23]討論了半群的IV-模糊理想，文獻[24]研究了R0-代數的IV-模糊子代數，文獻[25]研究了Fuzzy蘊涵代數的IV-模糊濾子。本文將IV-模糊集思想應用于否定非對合剩余格的理想問題的研究，給出了否定非對合剩余格的IV-模糊理想的概念，討論了其相關性質，為進一步深入研究否定非對合剩余格的結構創造了條件。

定義1[1]設L是一個集合，稱(2,2,2,2,0,0)型代數是一個剩余格，簡稱L是一個剩余格，若對任意x,y,z∈L下列各條件成立：

引理1[1-8，21]設L是一個否定非對合剩余格，則下列各結論成立，其中?x,y,z∈L

引理2[8，21]設L是一個否定非對合剩余格，在L上定義二元運算滿足：

則下列各結論成立，其中?x,y,z∈L

定義2[7]設L和M是兩個否定非對合剩余格，f:L→M為映射。若對任意x1,x2∈L有：

定義3[9]設L是一個否定非對合剩余格，則L上的一個模糊集A指的是映射A:L→[0,1]。

定義4[21]設L是一個否定非對合剩余格，A是L上的模糊集，若對任意的x,y∈L滿足：

則稱A是L的模糊理想。

并且規定D[0,1]中元素的大小關系為：

設X是非空集合，X上的一個區間值模糊集（簡記為IV-模糊集）定義為：

2 否定非對合剩余格的IV-模糊理想

定義5設L是一個否定非對合剩余格是L上的IV-模糊集，若對任意的x,y∈L滿足：

例1設L={0,a,b,c,d,e,f,1}滿足且b

表1 L上二元運算的定義

表1 L上二元運算的定義

0abcdef 1 000000000 a0aaa0aaa b0aab0aab c0abc0abc d0000dddd e0aaadeee f 0aabdeef 10abcdef 1

表2 L上二元運算→的定義

命題1設L是一個否定非對合剩余格，如果IVFI(L)，則對任意x,y∈L，下列等式成立：

證明設因為故由（I1）得又因為且所以又得命題得證。

定理1設L是一個否定非對合剩余格，是L上的IV-模糊集，則當且僅當對任意的 x,y∈L，滿足：

證明設對任意的x,y∈L,因為0≤x,所以由（I1）得，即（I3）成立。又因為由的定義和（P4）得，所以由（P1）得從而由（I1）和（I2）得，即（I4）亦成立。

反之，設（I3）和（I4）成立且 x,y∈L。若 x≤y，則由（P5）得 y′≤x′，從而，所以，故滿足（I1）。 又 因 為，所 以，故由（I4）得，故亦ˉ滿足（I2）。因此，由定義5得

定理2設L是一個否定非對合剩余格，是L上的IV-模糊集，則當且僅當對任意的 x,y∈L，滿足：

證明設，則由定理1得（I3）成立。任取 x,y∈L,由（P6）和（P9）得故由（I1）得所以由（I4）得，因此，Aˉ亦滿足（I5）。

反之，假設（I3）和（I5）成立，則在（I5）中取 y=x″得。任取 x,y∈L ，因為由（P9）得′，所以由（I5）便得

命題2設L是一個否定非對合剩余格，如果IVFI(L)，則對任意

證明設，任取 x∈L，則由（P6）和（I1）得，而由定理2的證明又得因此

定理3設L是一個否定非對合剩余格，是L上的IV-模糊集，則當且僅當和都是L的模糊理想。

證明設是 L 的IV-模糊理想，且任取x,y∈L。一方面，若 x≤y，則由（I1）得從而且

另一方面，由（I2）得

所以由區間數的大小關系定義得

故由區間數的大小關系定義得

另一方面，由定義4（2）得

故由區間數的大小關系定義又得

定義6設X是非空集合，設和是X上的兩個IV-模糊集，定義IV-模糊集為：

稱之為IV-模糊集Aˉ和Bˉ的交。

定理4設L是一個否定非對合剩余格，和Bˉ是L 上的兩個IV-模糊集。若，則IVFI(L)。

證明設且 ?x,y∈L 。一方面，若x≤y ，則由（I1）得且，從而由定義6得

于是，再由定義6得

3 IV-模糊理想的直積和同態性質

定義7設X和Y是兩非空集合，分別是X和Y 上的IV-模糊集，對任意(x,y)∈X×Y ，定義映射滿足：

引理3設L和M是兩個否定非對合剩余格，在L×M 上逐點定義四種運算滿足：對任意(x1,y1),(x2,y2)∈L×M ，規定

則L×M關于上述四種運算構成一個否定非對合剩余格，稱之為L和M的乘積否定非對合剩余格。

定理5設L和M是兩個否定非對合剩余格，IVFI(L)且，則

證明設，則對任意(x1,y1),(x2,y2)∈L×M,若(x1,y1)≤(x2,y2),則且，并且有：

定理6設L和M是兩個否定非對合剩余格是L上的IV-模糊集，f:L→M 為同構映射。若IVFI(L)，則，其中

證明設 f是L到M的同構映射，對于任意的y1,y2∈M ，由 f是滿射知存在 x1,x2∈L使 f(x1)=y1且f(x2)=y2。

一方面，若y1≤y2,則從而由 f為單射得進而 x1≤x2，故由及（I1）得，于是

于是

定理7設L和M是兩個否定非對合剩余格，Bˉ是L上的IV-模糊集，f:L→M為單調遞增的同態映射。若，則，其中

證明設，任取 x1,x2∈L，若 x1≤x2，則由 f單調遞增得 f(x1)≤f(x2)，從而再由 f為同態映射及（I1）得

4 結束語

將IV-模糊集的思想應用于否定非對合剩余格理想問題的研究，引入了否定非對合剩余格的IV-模糊理想的概念，詳細討論了其性質特征，獲得了若干有意義的結論。值得注意的是，諸如BL代數、MTL代數、MV代數格蘊涵代數、R0代數等著名的模糊邏輯代數都是否定非對合剩余格的特例，因此，可以說上述結果是這諸多邏輯代數共同特征的體現。此外，本文工作在有效拓展IV-模糊集理論的應用領域的同時，也為進一步深入研究否定非對合剩余格的結構創造了條件。