基于Dual-Tree CWT和自適應雙邊濾波器的圖像去噪算法

崔金鴿，陳炳權，2，徐 慶

1.吉首大學 物理與機電工程學院，湖南 吉首 416000

2.湖南大學 電氣與信息工程學院，長沙 410082

1 引言

采集圖像時，往往因為客觀因素（如光照）或者主觀因素（如人）會給圖像添加部分噪聲，使得原始圖像的細節和邊緣信息不能完整保留，嚴重影響圖像的使用價值及后續處理的可行性。目前圖像去噪方法主要包括空域濾波法和頻域濾波法，中值濾波器[1]、維納濾波器[2]、雙邊濾波器[3]等是空域濾波的常見算法，其中中值濾波對于乘性噪聲有較好的濾除效果，尤其是椒鹽噪聲；后者主要常見算法有小波離散變換（DWT）[4]、雙樹復小波變換（Dual-Tree CWT）[5-8]和Contourlet變換[9]等，該類方法往往先對圖像進行多尺度和不同方向上的分解，然后根據建立的模型對頻域的系數進行處理來去除噪聲。其中DWT具有自身的局限性，缺乏平移不變性和方向選擇性，在奇點附近容易出現震蕩，相比后兩者在去噪性能上有較大的提高。在實際應用中，頻域濾波相比于空域濾波能獲得更好的去噪效果，但計算復雜度增加。

基于對空域濾波局限性和頻域濾波復雜度高的不足，文獻[3]提出了一種多分辨率雙邊濾波圖像去噪算法。將DWT與雙邊濾波相結合，不僅對分解后小波系數的細節部分進行閾值量化，還對每一尺度上的近似部分通過雙邊濾波進行模糊去噪。但文獻[3]不具有平移不變性，多方向性，且雙邊濾波沒有自適應控制，可能出現平滑過度現象。考慮到雙樹復小波變換[7-8]具有近似平移不變性、低冗余度和能夠提取圖像在6個頻率方向上信息的優點，本文提出了一種基于Dual-Tree CWT和自適應雙邊濾波器的圖像去噪算法。使用改進閾值收縮算法對雙樹復小波分解后的高頻子帶系數進行閾值量化處理；同時采用自適應雙邊濾波器對重構得到的圖像進一步去噪。仿真結果表明，本文的去噪效果有了明顯的改善，結合自適應雙邊濾波器，去噪的同時能夠增強了低頻部分圖像的能量，保護好邊緣細節信息，且算法復雜度低耗時短，通過調節參數能夠實時有效剔除混合噪聲。

2 去噪理論分析

2.1 噪聲分析

根據統計學理論統計特性可知，平穩噪聲的統計特性不隨時間變化，非平穩噪聲卻隨時間變化，正常采集的圖像都混有各種噪聲，但根據圖像噪聲污染程度及成因等特性分析，主要表現為高斯噪聲和脈沖噪聲[10]。

（1）高斯噪聲（Gaussian Noise）。其隨機變量 z的概率密度分布函數為：

其中，z表示灰度值，μ表示z的平均值，σ表示z的標準差。

（2）脈沖噪聲（又稱為椒鹽噪聲，Impulse Noise）。其變量z的概率密度分布函數為：

其中，當b＞a，則灰度值b在圖像中顯示為一個亮點，反之則為一個暗點。若Pa或Pb為零，則脈沖噪聲稱為單極脈沖。若Pa與Pb均不為零，脈沖噪聲在圖像分布表現為胡椒和鹽粉等微粒。

2.2 傳統雙邊濾波器原理

雙邊濾波器是一種非線性及非迭代的濾波算法。該濾波器在處理鄰域內的像素灰度值時，綜合考慮了空間距離關系和相鄰像素灰度值之間的關系，通過兩者非線性組合，有效地保護圖像邊緣信息，具有較好的去噪增強能力。其定義為[3]：

其中FB(I)為雙邊濾波處理后輸出圖像，I(k-n)為噪聲圖像；W(k,n)為雙邊濾波權重函數，即空間權系數與灰度權系數的乘積；Ω為第k個像素的鄰域范圍，n∈Ω。

雙邊濾波權重函數定義為：

其中Wσd為空間權系數，Wσr為灰度權系數，σd為空間幾何分布因子標準差，σr為灰度分布因子標準差。雙邊濾波的權重系數是由空間幾何分布因子和灰度因子共同決定，σd的大小決定高斯函數含有的像素個數，當σd變大時，則σr對其進行補償，一定程度上保證了高頻邊緣的亮度信息不與非邊緣亮度作運算，實現降噪的目的。

3 本文去噪算法

設某一個二維圖像信號 f(n)被噪聲e(n)污染后為s(n)，本文構建的噪聲模型為：

其中，e1(n)為高斯噪聲，e2(n)為脈沖噪聲，δ，σ分別表示脈沖噪聲密度，高斯噪聲標準差。該模型充分考慮了加性和乘性兩大噪聲類型，這也是實際圖像采集中主要的噪聲類型，為研究混合噪聲去噪問題提供重要的參考依據。

去噪的目的是抑制噪聲恢復 f(n)，當 f(n)的分解系數越稀疏，去噪效率越好。本文構建的去噪算法流程如圖1所示。

圖1 本文去噪算法流程圖

圖1中Hw代表高頻子帶，Lw代表低頻子帶。為了表示方便，文中對含噪圖像進行兩層雙樹復小波分解，得到一個最低頻子帶和若干高頻子帶，由于大部分噪聲主要能量分布在高頻子帶，只有局部殘留的低頻子帶上。因此，大部分變換域圖像去噪主要集中在高頻子帶系數的濾波處理。文中通過采用改進小波閾值收縮法（Wave Threshold Shrinkage，WTS）對子帶上的高頻系數進行閾值量化處理，同時采用自適應雙邊濾波（Adaptive Bilateral Filtering，ABF）對于低頻系數進行濾波處理，剔除低頻子帶上殘余的噪聲系數，最終將重構得到的圖像進一步進行ABF濾波處理，就可得到去噪后的圖像。

Dual-Tree是由kingsbury[11]于1998年提出，該理論在圖像處理上已有廣泛的應用，因其平移不變性和方向選擇性，使其在圖像去噪方面具有較好的優越性。離散小波變換[4]采用單個雙值濾波器產生一組實小波系數，雙樹復小波變換并行使用一對雙值濾波器，產生一組復小波系數的實部、虛部及其他冗余系數。雙樹復小波變換模型可表示為[10]：

其中，ψr(t)，ψi(t)分別表示復小波的實部和虛部，均為實函數，表示2個獨立的實小波變換。為了完整表示一個實的二維信號，還要采用行或列濾波器的復共軛來濾波，這樣在第1、2象限分別產生3個子帶，對應空間的6個方向：±15° ,±45 °,±75 °，如圖2所示。圖中最下端分別是Lena圖像在6個方向的分解子帶。

圖2 雙樹復小波分解的二維脈沖響應

含噪圖像經過Dual-Tree CWT分解后，在每個方向的子帶上會分布著不同頻率的小波系數，其中高頻部分主要是噪聲信息和部分圖像邊緣信息，低頻部分主要為圖像的能量分布區域。針對高頻部分系數，文獻[12]提出了改進閾值收縮法，由于噪聲圖像分解后對應的小波系數往往偏低，利用這一特性通過計算出相應子帶的方差選定判斷閾值，采用閾值對高頻子帶進行閾值量化處理。但這樣會忽略混合噪聲中非加性噪聲的特性，在較小尺度下已具有系數的較大值。為此，引入考慮像素的空間距離和亮度信息的雙邊濾波器，在去噪完成后會對重構圖像進行二次濾波，剔除非加性噪聲。

根據DT-CWT分解后的小波系數都具有稀疏集簇和鄰域相關的特性，通用的閾值估計方法很難估計子帶內系數的局部性和鄰域相關性，在鄰域重疊區域，單個小波系數可以同屬多個鄰域。為此，文中基于文獻[13]思路運用貝葉斯求解閾值最優解。

定義鄰域窗口N×N濾波窗口，以當前系數為中心位置，其鄰域系數位于該鄰域內的其他位置，則在大小為m×n的子帶中。窗口內含噪圖像的方差為：

其中，Ai,j為窗口內所有小波系數，則在大小m×n子帶內噪聲圖像的方差為：

這樣就可以根據鄰域系數的局部特性，計算出含噪圖像的鄰域方差。由于DT-CWT是基于DWT線性變換，滿足下面關系：

噪聲方差采用中值估計器估計為[13]：

在閾值函數的選取上，文中采用一種基于折中閾值和半軟閾值的改進閾值函數，不僅克服了軟硬閾值的不足，同時具備了新的優點。通過上下限閾值細化對有用小波系數的處理，使得處理后的圖像細節和邊緣信息保留更加完整。具體表達式如下：

式（12）中a為調節參數，可根據圖像的去噪效果合理調節其取值。當a=0時，上分段函數成為硬閾值函數；當a=1時，位于區間的系數全部置零，上分段函數類似半軟閾值函數。在閾值點T,T0均保持連續，且當時，有效防止圖像重構后出現邊緣震蕩、過于平滑等現象。經過仿真實驗可得，當a=0.4,k=0.6時，去噪效果最佳；當a=1,k=0.1時，去噪效果最不理想（見圖3）。

圖3 a值和k值對去噪結果的影響

針對低頻子帶部分，在采用雙邊濾波去噪實驗中，筆者發現，當σr較小時，處理后的圖像會出現較多的奇點；當σr較大時，會造成圖像過度平滑。為了克服這些不足，基于文獻[15-16]的思路，提出了一種新自適應雙邊濾波器的設計方法，重新定義權重函數：

其中自適應參數θ值是反映自適應程度，其取值大小直接影響去噪的效果，分別定義滑動窗口內最大像素值max,最小像素值min，中間像素值avg，同時令Δ=I0-avg。I0為選定像素的值。

（1）當θ=0時，仍為傳統雙邊濾波器。

（2）當θ=avg時，向平均值方向變化。

（3）當θ=max-I0，Δ＞0時，向max方向變化。

（4）當θ=min-I0，Δ<0時，向min方向變化。

通過選定像素的值與中心像素的值的關系判斷θ的取值，當朝向平均值變化，圖像會模糊；當背向平均值變化，圖像會被銳化，由此就可以有效保護邊緣信息。另外，根據圖像噪聲水平與空間分布因子標準差存在線性關系，如下：

在實驗中雙邊濾波器的核長取為3，如圖4所示。單一噪聲時，當σ=0.2,δ=0.4，θ取最小值；混合噪聲時，當 σ=δ=0.3，θ取最小值；當 σ=δ=0.5時，θ取最大值；當 p=7，PSNR最佳。在不同噪聲背景下，為了保證取得最佳的效果，可根據噪聲的污染程度嚴格控制θ大小。通過自適應雙邊濾波對低頻小波系數處理，有效地保護了圖像主要信息。最終將處理后的小波系數，通過雙樹復小波逆變換進行重構，得到去噪后的圖像。

4 仿真結果及其分析

圖4 不同噪聲標準差σ（高斯）和密度δ（脈沖）對θ值的影響

為驗證本文算法的正確性，筆者在AMD A8-4500M APU with Radeon HD Graphics CPU，1.90 GHz，RAM 4.00 GB的PC上進行仿真，仿真軟件平臺選擇MATLAB 2010。實驗圖像為大小256×256的Lena圖像（其他標準圖像也適用）。為了驗證本文算法對不同噪聲污染圖像去噪效果，仿真前對Lena圖像添加了噪聲標準差σ=0.01的高斯噪聲和噪聲密度δ=0.05的脈沖噪聲，將中值濾波（MF）[1]、維納濾波（WF）[2]、小波閾值（DWT）[4]、開關中值濾波（Switching Median Filter，SMF）[17]、雙邊濾波（Bilateral Filtering，BF）[3]、自適應雙邊濾波（Adaptive Bilateral Filtering，ABF）[15]與本文去噪算法進行比較。Lena原始圖像及幅度譜如圖5所示。采用不同去噪算法分別對含有高斯噪聲、脈沖噪聲、兩者混合噪聲的Lena圖像進行降噪，結果如圖6所示。

圖5 Lena原始像及幅度譜

由圖6可以看出，MF和WF在整體視覺效果上不如后面的新方法，細節信息缺失較多，但MF對于脈沖噪聲具有較好的去噪效果，而通過改進SMF效果又要勝過MF。相比之下DWT對于高斯噪聲比較理想，但對于脈沖噪聲效果卻不佳。在視覺效果上與其他方法相比，本文方法在上述三種不同噪聲背景下的整體去噪效果表現出了明顯的優勢，尤其是混合噪聲，圖像中的噪聲基本被剔除，更接近原始圖像。圖像的幅度信息反映圖像主要能量分布狀況，為了證明各類方法去噪處理后圖像的信息分布情況，混合噪聲下Lena圖像的幅度譜如圖7所示，圖中明亮區域顯示了邊緣信息，頻域主要能量分布在圖像四個角的低頻部分，少部分集中在高頻部分。

由圖7可知，圖像中的噪聲點會干擾灰度級的排列，然而經過去噪處理后，灰度級開始發生變化。由本文算法處理后幅度譜能量信息分布較SMF、BF、ABF更

圖6 基于不同去噪算法的Lena圖像去噪結果

（各算法中上圖為高斯噪聲σ=0.01；中圖為脈沖噪聲δ=0.05；下圖為混合噪聲σ=0.01,δ=0.05）均勻清晰，灰度無較大跳躍。

圖7 基于SMF、BF、ABF和本文去噪算法的Lena仿真圖像的幅度譜(σ=0.01,δ=0.05)

采用客觀評價指標均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）和峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）分別對圖6進行客觀評價，不同去噪算法的定量結果如表1、表2所示，其公式如下[18]：

表1 各種去噪算法的峰值信噪比（PSNR）結果及混合噪聲下運行時間(σ=0.01,δ=0.05)dB

表2 各種去噪算法的均方根誤差（RMSE）結果(σ=0.01,δ=0.05) dB

式中 f(i,j)原始位置(i,j)上無噪圖像的灰度值，h(i,j)為濾波處理后圖像位置(i,j)上的灰度值。MN為圖像的尺寸大小。

由表1、表2可知，通過對比三類噪聲的不同去噪效果。結果得出非線性濾波技術對于脈沖噪聲有較好的去噪效果，尤其是MF、SMF都具有較高的PSNR值，WF、DWT相對較差；DWT的多尺度分解又對高斯噪聲占據優勢，又比MF、SMF好；針對混合噪聲BF、ABF考慮像素的空間距離和亮度信息，能夠較徹底降噪，PSNR值高出3.145 5～4.613 2 dB；綜合對比本文算法在三種噪聲背景下均有較好的去噪效果，尤其在混合噪聲背景下PSNR最大可超出4.82 dB，RMSE最低可到達8.742 1?；旌显肼暠尘跋逻\行時間相對較低，具體如表1所示。

5 結語

針對現有圖像去噪算法對混合噪聲背景下去噪效果不理想的現狀，本文提出了一種基于Dual-Tree CWT和自適應雙邊濾波器的圖像去噪算法，保留了二維圖像小波變換的優點，同時又具備平移不變性、數據冗余有限等特性，使得處理后的圖像更加接近原始圖像。實驗仿真結果表明：本文提出的圖像去噪算法能夠有效地去除噪聲（包括高斯噪聲和脈沖噪聲），克服了以往針對混合噪聲去噪出現邊緣缺失嚴重的局限性。在混合噪聲去噪中，往往是將復雜的噪聲轉化為單一的噪聲，這樣勢必造成部分噪聲的遺漏，同時耗費時間較長。另外需指出的是，在改進閾值函數對高頻子帶量化處理中，上下限閾值的比例關系由實驗數據得到的經驗值，如何自適應選取并考慮自適應雙邊濾波器相關參數的影響，將是下一步繼續的工作。