全金屬螺桿泵間隙漏失模型

鄭磊 ，吳曉東 *，韓國慶 ，徐軍，史殊哲 ，李準

1 中國石油大學(北京)石油工程教育部重點實驗室，北京 102249

2 中國石油大學—鹽城世宏石油裝備有限公司采油裝備聯合研究中心，北京 102249

3 鹽城世宏石油裝備有限公司，鹽城 224500

0 引言

螺桿泵舉升技術具有成本低、結構簡單、安裝方便、適應復雜工況等諸多優點[1-2]，目前已得到廣泛的研究與應用。但由于傳統橡膠定子螺桿泵的定轉子采用過盈配合方式，定子襯套為橡膠材料制成，其在耐磨、耐溫、工作壽命等方面存在一定的不足[3-4]。新型全金屬螺桿泵應運而生[5]，其定子與轉子均由金屬材料構成，且采用合理的間隙配合。全金屬螺桿泵繼承了螺桿泵的諸多優點，同時相比傳統螺桿泵也具有更強的工作適應性：(1)耐高溫，不存在定子溫脹問題，可適用于稠油熱采；(2)耐磨性能好，工作壽命長；(3)井下二次安裝、檢泵等工序簡單，易損件為轉子，互換性強；(4)間隙配合工作狀態下可適應較高轉速，且啟動更容易，運行更節能。與此同時，全金屬螺桿泵作為一種新型舉升方式，目前也存在一定的技術難點：(1)金屬定子的成型工藝技術難度大，間隙配合方式下定轉子的整體加工精度要求高，泵產品的生產成本難以降低；(2)油井出砂時，停井后泵內可能出現砂埋、砂卡等問題，目前有待進一步研究適合全金屬螺桿泵的防砂工藝。但總體而言，全金屬螺桿泵因其突出優點仍具備巨大的發展潛力，尤其在稠油開采過程中。

目前國內外已陸續展開全金屬螺桿泵舉升技術的油田現場試驗[6-9]，但由于全金屬螺桿泵的誕生相對較晚，其理論研究仍處于初步階段。與此同時，由于定轉子配合方式的差異性，全金屬螺桿泵的漏失規律及排量特性無法沿用傳統螺桿泵的相關認識[10-11]，目前有待建立成熟的全金屬螺桿泵間隙漏失模型。不少學者[12-16]通過室內實驗與數值模擬研究了全金屬螺桿泵的排量特性，但均難以從間隙漏失機理角度對漏失量予以具體分析。Gamboa等[17-18]結合全金屬螺桿泵樣品的舉升實驗結果，提出了間隙配合方式下的漏失量計算方法，方法中阻力系數和漏失間隙結構參數的不確定性導致計算誤差較大；Paladino等[19-20]在Gamboa的基礎上建立了全金屬螺桿泵間隙漏失簡化模型，Nguyen等[21]將此模型拓展到了多頭全金屬螺桿泵，但兩者均未考慮螺桿與定子相對運動引起的剪切漏失影響。同時值得注意的是，Paladino與Nguyen模型仍未真正實現漏失間隙結構參數的嚴格計算，其中漏失間隙長度來源于數值模擬的擬合結果。國內馮兆生[22]與孟凡國[23]提出了全金屬螺桿泵漏失量計算方法，但在配合間隙結構與剪切速度的精確計算方面存在疑問。

結合螺桿泵定轉子間的嚙合理論與間隙配合特點，針對漏失間隙結構參數進行嚴格的數學計算，從漏失機理上建立了全金屬螺桿泵間隙配合方式下的漏失模型，可實現對不同結構參數與工作條件下間隙漏失量的定量計算，并有利于深入認識間隙漏失對排量特性的影響。

1 間隙配合方式

1.1 漏失機理

根據螺桿泵的運動規律及泵內嚙合理論，定轉子通過點嚙合和線嚙合形成的嚙合線將螺桿泵分為多個腔室。在定轉子的間隙配合方式下，全金屬螺桿泵各級腔室不再密封，其工作過程伴隨著漏失的發生。但由于舉升流體往往具有一定的黏度，且配合間隙很小，全金屬螺桿泵可在間隙流體黏性阻力的密封作用下保持正常的舉升能力。工作過程中各腔室間同時存在兩個方向的漏失，橫向漏失發生在相鄰的腔室i與腔室i-1之間，縱向漏失發生在相間隔的腔室i+1與腔室i-1之間，如圖1。綜合考慮腔室間的壓差及螺桿旋轉對流體的剪切作用，全金屬螺桿泵的間隙漏失屬于壓差—剪切流動。

1.2 間隙嚙合運動分析

以定子中心為原點建立泵截面的二維坐標系，如圖2。螺桿泵襯套型線上任一點均為定子與螺桿的嚙合點，下面針對漏失間隙處各嚙合位置的速度進行具體求解[24]。

橫向漏失間隙處定轉子間存在點嚙合運動(如圖2(a))，各點剪切速度隨螺桿旋轉存在周期性動態變化。

圖1 全金屬螺桿泵腔室間漏失機理Fig. 1 Leakage mechanism between cavities of all metal PCP

圖2 漏失間隙的嚙合運動分析Fig. 2 Analysis of engaging movement in leakage clearance

式中，vx(t)、vy(t)分別為不同時刻螺桿與定子直線段(CD與AF段)嚙合點在x、y方向上的速度分量，m/s；vy1為截面內轉子表面嚙合點因旋轉引起的y方向速度，m/s；vy2(t)為不同時刻截面內轉子表面嚙合點上下往復運動引起的y方向速度，m/s；t為時間，s；n為轉速，r/min；D為轉子直徑，m；e為偏心距，m。

縱向漏失間隙處定轉子間存在線嚙合運動(如圖2(b))，各嚙合點均沿圓弧旋轉，因此可直接計算相應的合速度。

式中，vxy為螺桿與半圓弧段嚙合點在xy平面內的合速度，m/s。

值得注意的是，以上只是基于泵截面(xy平面)的嚙合位置速度分析。在螺桿泵定轉子螺旋結構配合的工作過程中，各腔室沿螺桿泵傳輸方向存在螺旋推移的運動趨勢，各嚙合位置沿泵體還具有軸向相對速度，即

式中，vz為各嚙合點軸向相對速度，m/s；T為導程，m。

1.3 漏失間隙結構計算

根據線接觸潤滑理論[25-26]，兩個任意截面柱體的接觸問題均可通過幾何模擬轉化為一個當量圓柱與一個平面的接觸問題，兩者構成的間隙形狀如圖3。

針對實際的不同截面結構，有

式中，R為當量圓柱曲率半徑，m；R0為接觸截面單個圓柱的半徑，m；R1、R2分別為接觸截面兩個圓柱的半徑，m。h(x)為距中心線x處的液膜厚度(即兩結構的接觸間隙)，m；h0為中心處液膜厚度(即最小間隙)，m。

根據線接觸潤滑問題中的Martin理論[26]，有

其中，x*為油膜破裂點距離最小間隙h0處的距離，對應不再存在壓力梯度的位置，m；L為油膜長度，m。

由于螺桿—襯套副的型線方程較為復雜，間隙配合方式下螺桿泵的漏失間隙結構難以精確計算，因此借鑒線接觸理論對定轉子的嚙合過程進行等效處理，嚙合位置處的流體漏失間隙結構參數可由油膜結構計算得到。

(1)橫向漏失間隙結構

橫向漏失發生在螺桿曲面與襯套型線直線段(對應CD、AF兩段)的點嚙合間隙處(如圖2(a))，可直接將其等效為圓柱與平面接觸的間隙結構處理，結合式(8)和(10)得

式中，hT(x)為沿橫向漏失間隙結構不同位置處的間隙高度，m；δ為定轉子配合間隙，m；LT為橫向間隙當量長度，m。

由于橫向漏失線表現為無數個嚙合點構成的包絡線，橫向漏失間隙寬度可通過轉子表面螺旋線方程求解[18,20]，可得轉子表面螺旋線方程[24]為

式中，α為轉子表面質點相對于襯套中心的轉角，rad；β為轉子表面質點相對于螺桿本身軸線的轉角，rad。

據此可計算橫向漏失間隙寬度為

式中，bT為橫向漏失間隙寬度，m。

(2)縱向漏失間隙結構

根據螺桿泵的基本結構關系，定子導程為轉子螺距的兩倍，圖4對應定轉子間隙配合方式下沿軸向單個螺距(0.5T)的等效結構。結合螺桿泵偏心距e與導程T的幾何關系，針對圖中紅色直角三角形計算可得

式中，R*為縱向漏失間隙處轉子表面沿軸向的等效半徑，m。

由于縱向間隙長度相對較小，可視沿間隙長度方向上間隙高度均為配合間隙δ，則縱向漏失結構處定子內表面的等效半徑為R*+δ。將定轉子間的縱向間隙結構轉化為兩圓柱內接的線接觸問題，結合式(7)、式(10)可得

式中，R′為縱向間隙結構按線接觸問題等效處理的當量曲率半徑，m；LL為縱向間隙當量長度，m。

縱向漏失間隙寬度為嚙合圓弧半徑對應圓周長的一半，計算如下

式中，bL為縱向間隙寬度，m。

2 間隙漏失模型建立

2.1 模型基礎

假設全金屬螺桿泵工作過程中各級腔室內流體性質不隨溫度、壓力發生變化，且腔室結構無磨損。由于配合間隙遠小于定轉子直徑，漏失間隙水力直徑小，而原油具有一定的黏度，可將腔室間的流體漏失過程可簡化為平行平板流動。在全金屬螺桿泵舉升過程中泵內壓力沿泵入口至泵出口近似線性增加[19]，則螺桿泵單級壓差約為工作壓差與泵級數的比值，對應腔室間的漏失壓差。根據平行平板縫隙流動理論[27]，基于壓差—剪切流動的漏失模型為

圖4 定轉子線嚙合位置的軸向截面圖Fig. 4 Axial cross section of line engagement between the stator and rotor

式中，q為漏失量，m3/s；b為漏失間隙寬度，m；h為漏失間隙高度，m；Δp為螺桿泵單級壓差，Pa；μ為原油黏度，Pa·s；L為漏失間隙長度，m；v為剪切速度，m/s。右側第一項為壓差漏失量，第二項為剪切漏失量。當Δp與v的方向相同時取正號，相反時取負號。

根據壓差—剪切漏失模型基礎，可對腔室間的橫向漏失與縱向漏失進行簡化，如圖5。結合前面間隙嚙合運動及漏失間隙結構分析，(LT、bT，hT)、(LL、bL，δ)分別表示橫向漏失與縱向漏失的間隙結構參數，(vx，vy，vz)表示各漏失位置處的速度組成。

2.2 橫向漏失計算

圖5 全金屬螺桿泵漏失模型簡化Fig. 5 Leakage model simplification of all metal PCP

由于單級定子導程內對應兩個腔室，根據泵內腔室間壓力線性分布可知，相鄰腔室間的橫向漏失壓差為螺桿泵單級壓差的一半(即0.5Δp)。考慮到橫向漏失結構的變間隙高度問題，在模型基礎上對間隙長度與間隙高度進行積分處理，則兩條橫向漏失線處的壓差漏失量計算為

結合式(11)、(12)、(14)、(20)，通過數值變換處理可得

式中，qTP為橫向間隙的壓差漏失，m3/s；k為計算系數，無因次。

由于橫向漏失線上各嚙合點在x方向上無速度，而相鄰兩腔室間因轉子旋轉引起的y方向剪切漏失相互抵消，因此實際引起剪切漏失的剪切速度由y方向往復運動與z方向的速度合成，即

式中，vT(t)為任意時刻直線段AF、CD嚙合間隙處的合速度，m/s。

顯然，橫向間隙處各嚙合點的剪切速度為時間的函數，因此基于單個螺距(即半個導程，經歷時間t0.5=1/2n)，計算兩條橫向漏失線處的橫向剪切漏失量如下

結合式(13)、(23)、(24)，通過數值變換處理可得

式中，qTv為橫向間隙的剪切漏失，m3/s；為橫向漏失等效剪切速度，m/s。

以螺桿表面動邊界為參照物[28]，定子型線的運動方向與相鄰腔室間橫向漏失壓差方向相同，螺桿旋轉導致的剪切漏失項符號取正。綜合式(21)、(25)計算橫向漏失量為

2.3 縱向漏失計算

由于縱向漏失嚙合線在xy平面內的合速度vxy與壓差方向垂直，該速度分量對剪切漏失的影響可忽略，因此只需考慮嚙合點軸向相對速度對流體的剪切作用。結合公式(6)，縱向漏失線處螺桿表面的剪切速度等效于

由于泵內腔室間壓力線性分布，相間隔兩腔室的縱向漏失壓差表現為螺桿泵單級壓差Δp。考慮泵內各腔室間流體流動的連續性，同樣以螺桿表面動邊界為參照物[28]取剪切漏失項符號為正，可直接通過壓差—剪切漏失模型計算縱向漏失量

2.4 間隙漏失模型

全金屬螺桿泵間隙配合方式下的漏失量等于橫向漏失qT與縱向漏失qL之和，則

式中，q為綜合考慮不同漏失方向的壓差—剪切漏失量，m3/s。

針對間隙漏失量的計算作簡化處理，建立全金屬螺桿泵間隙漏失模型如下

其中，定義ξ、λ分別為壓差、剪切漏失流道參數，均僅取決于螺桿泵的基本結構參數，計算如下

3 模型驗證

以鹽城世宏石油裝備有限公司全金屬螺桿泵產品為例，借鑒大慶油田質檢平臺的檢測實驗結果，驗證間隙漏失模型的準確性。參與質檢的全金屬螺桿泵型號為JDGLB160-24，具體規格參數如表1。試驗溫度22 ℃，試驗介質為32號液壓油(黏度80 mPa·s)，通過質檢平臺檢測該泵在工作轉速101 r/min、151 r/min下的水力特性。理論上，特定工作條件下全金屬螺桿泵的實際排量等于其理論排量減去漏失量，即

式中，Q為實際排量，m3/d；qr為單轉理論排量，mL/r。

結合本文提出的模型，可根據全金屬螺桿泵產品的基本結構計算相應的漏失流道參數，得ξ=49.55，λ=0.04 m2，據此可模擬計算不同轉速條件下的排量。同時參考前人Paladino與Nguyen模型進行計算，對實驗檢測結果與本文模型、前人模型的計算結果進行綜合對比，結果如圖6。經分析，本文模型計算的平均相對誤差為1.2%，誤差較小且明顯低于前人模型誤差(11.4%)，驗證了本文間隙漏失模型的準確性。

相比于國內全金屬螺桿泵產品，國外全金屬螺桿泵的配合間隙更大，且可適應的轉速更高。為進一步驗證本文提出的間隙漏失模型，選取Gamboa等人[17]針對國外全金屬螺桿泵樣品的舉升實驗數據進行分析。實驗泵樣的基本結構參數如表2，計算其單轉理論排量為77.3 mL/r。針對更高油液黏度(480 mPa·s)、更高工作轉速(200 r/min、300 r/min、400 r/min)的舉升情況，利用建立的漏失模型計算相應的排量特性曲線，并與前人模型進行對比，結果如圖7。對比模型計算結果與實驗結果可知，本文模型與前人模型誤差都較小，兩者都具有較好的準確性。

針對上述兩組實驗驗證的誤差展開綜合分析，結果如圖8。可以看出，對于全金屬螺桿泵產品JDGLB160-24的質檢實驗結果，本文模型的準確性明顯優于前人模型；但針對Gamboa全金屬螺桿泵樣品實驗結果，本文模型與前人模型的準確性較為接近。經分析，其原因主要在于，Paladino與Nguyen模型并未真正實現漏失間隙結構參數的嚴格計算，其模型中漏失間隙長度取自針對Gamboa實驗泵樣進行數值模擬得到的擬合結果[20-21]，因此難以精確代表其它規格的全金屬螺桿泵產品。相比之下，本文建立的間隙漏失模型在保證較好準確性的同時也具有更普遍的適用性，可用于預測一定工作條件下不同尺寸結構全金屬螺桿泵的間隙漏失情況，對實際應用具有重要的指導意義。

表1 質檢全金屬螺桿泵的基本結構參數Table 1 Basic structure parameters of all metal PCP in quality testing

圖6 檢測實驗與模型計算結果對比Fig. 6 Results comparison between testing experiments and model calculation

表2 Gamboa實驗所用全金屬螺桿泵樣品的基本結構參數Table 2 Basic structure parameters of all metal PCP in Gamboa’s experiments

圖7 Gamboa實驗與模型計算結果對比Fig. 7 Results comparison between Gamboa’s experiments and model calculation

4 間隙漏失影響分析

圖8 模型誤差分析Fig. 8 Modelerror analysis

針對特定的全金屬螺桿泵產品系列，導程T、偏心距e、轉子直徑D等基本尺寸規格一定，全金屬螺桿泵間隙漏失情況主要受配合間隙、泵級數等結構參數以及介質黏度、轉速、工作壓差等工作參數的影響。下面以JDGLB160系列全金屬螺桿泵為例(T=160 mm、e=5 mm、D=50 mm，對應qr=160 mL/r)，引入相對漏失量(即間隙漏失量與理論排量的比值)，利用漏失模型分析不同條件下間隙漏失對全金屬螺桿泵排量特性的影響程度。

圖9 不同結構參數下全金屬螺桿泵間隙漏失程度分析Fig. 9 Analysis of clearance leakage degree for all metal PCPs with different structural parameters

給定全金屬螺桿泵的工作參數(n=100 r/min，μ=50 mPa·s)，分析不同配合間隙、泵級數等結構參數下相對漏失量—工作壓差的關系，結果如圖9。在泵級數一定的條件下(如圖9(a))，隨配合間隙的減小，相對漏失量逐漸下降。由于全金屬螺桿泵工作過程中定轉子處于間隙配合狀態，減小配合間隙可實現更好的間隙密封效果，從而保證更強的排液能力。在配合間隙一定的條件下(如圖9(b))，隨泵級數的增加，相對漏失量迅速下降。針對特定的舉升揚程需求(對應一定工作壓差)，提高泵級數有利于減小螺桿泵各腔室間的單級承壓，由此可減小因壓差導致的漏失影響。

給定全金屬螺桿泵的結構參數(δ=0.1 mm，N=24)，分析不同轉速、介質黏度等工作參數下相對漏失量—工作壓差的關系，結果如圖10。針對特定黏度介質的舉升情況(如圖10(a))，相對漏失量隨轉速的增大而逐漸減小。提高轉速雖然會一定程度增大剪切漏失，但也可更顯著地提高理論排量。由于后者對排量特性的有利影響明顯大于前者的不利影響，提高轉速對間隙漏失具有較大的補償作用。在特定轉速條件下(如圖10(b))，相對漏失量隨舉升介質黏度的增大而迅速減小，這主要是由于高黏介質在間隙漏失過程中存在較大的黏性阻力，有利于減小漏失的發生，這也一定程度驗證了全金屬螺桿泵具有較好的抽稠能力。

結合式(31)可知，全金屬螺桿泵漏失量主要由壓差漏失、剪切漏失兩部分組成，漏失量隨工作壓差的線性增加量對應壓差漏失，零壓差時的漏失量對應剪切漏失。據此，針對上述相對漏失量—工作壓差的關系曲線展開綜合分析。結果表明，不同參數條件下零壓差時的相對漏失量都非常小，接近于0；而隨工作壓差的增大，相對漏失量線性遞增，且增加幅度受結構參數與工作參數的影響較為顯著。由此可見，全金屬螺桿泵間隙漏失對排量特性的影響主要來源于壓差漏失，而剪切漏失幾乎可忽略不計。

圖10 不同工作參數下全金屬螺桿泵間隙漏失程度分析Fig. 10 Analysis of clearance leakage degree for all metal PCPs under different working conditions

間隙漏失影響因素分析表明，配合間隙越小，泵級數越高，工作壓差越小，轉速越高，介質黏度越大，均有利于減小間隙漏失對排量特性的不利影響。但在實際應用中很難完全滿足這些條件，因此可考慮從工況選擇及工藝設計等方面采取一定的措施保證全金屬螺桿泵的舉升性能。考慮到全金屬螺桿泵的抽稠能力，全金屬螺桿泵可優先考慮應用于介質黏度較高的油井舉升；在選擇泵型時，可根據油井的舉升揚程需求確定合理的泵級數，深井條件下可適當增加泵級數；在設計工作參數時，需根據實際條件進行合理的轉速選擇，尤其在舉升介質黏度較低時可適當采取較高的工作轉速。由于最優配合間隙設計需綜合考慮實際應用條件，且對生產加工也提出了較高的精度要求，目前間隙設計問題還有存在一定的技術難點，因此實際應用中通常以成型的全金屬螺桿泵系列產品為準。

5 結論

(1)間隙配合方式下全金屬螺桿泵相鄰兩腔室間存在橫向漏失，相間兩隔腔室間存在縱向漏失，且漏失間隙處同時存在壓差與嚙合運動，其間隙漏失情況需考慮不同的漏失結構及壓差—剪切作用的綜合影響。

(2)利用線接觸潤滑理論對間隙配合方式的漏失間隙結構進行了嚴格的數學計算，建立了符合全金屬螺桿泵特殊結構與工作機理的間隙漏失模型，并通過實驗結果驗證了模型的準確性。結果表明，全金屬螺桿泵間隙配合工作過程中的漏失情況與配合間隙、泵級數等結構參數以及工作壓差、轉速、介質黏度等工作參數密切相關；間隙漏失對排量特性的影響主要來源于壓差漏失，剪切漏失影響極小。

(3)全金屬螺桿泵在間隙流阻密封作用下工作，雖然間隙漏失難以避免，但可考慮從工況選擇及工藝設計等方面采取一定的措施保證全金屬螺桿泵的舉升性能。深井舉升設計中可合理選擇較高級數的泵型，以滿足高揚程需求。全金屬螺桿泵具有較好的抽稠能力，更適用于但也不僅限于介質黏度較高的油井舉升。低黏介質舉升過程中可將采取合理的高轉速作為保證舉升能力的有效方法。在全金屬螺桿泵井的實際生產過程中，可考慮根據油井生產動態進行轉速的實時調整。如稠油熱采過程中，在介質黏度相對較低的熱采初期，可適當采用高轉速；而在介質黏度相對較高的熱采后期，可適當減小轉速以充分發揮抽稠能力。