探究構造法在高中數學解題中的應用

蔣錕

摘要：數學作為高中數學最重要的學科之一，是學生通往大學之路的敲門磚。構造法是高中數學中常見的解題方法，對數學條件逐一求解，推導出問題的最后答案。本文從構造函數、構造數列、構造方程、構造不等式和構造圖形幾個方面來探究構造法在高中數學解題中的應用。

關鍵詞：高中數學；構造法；解題應用

前言：

隨著年齡的增長，數學課程難度的逐漸增加，學生面對繁重的數學課業，高效解題是關鍵。通過構造法在高中數學解題中的運用，將復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化，讓學生在枯燥無味的學習中，能夠找到數學題目的突破點，增加學生的解題信心，解題速度有效提高。

一、構造法在高中數學解題中運用的意義

構造法是指將數學題目中已知條件類比聯想，用圖形和函數構造的方法，將每個小問題一一解決，從而解決較難的數學題。著名數學家華羅庚說過“數離開形少直觀，形離開數難入微”。這句話充分證明數學中數形結合的重要性，古代的“曹沖稱象”利用物理質量替換法將大象的質量稱出來，這也是高中數學構造法的思維模式，將“大象”比作數學題目，“石頭”比作利用構造法解題，也就是說，想要解答數學題目，需要將題目用構造法將難題變得簡單化，從而得到習題的答案[1]。

運用構造法解決數學題目的優點是：可以提高學生的創新能力；有些題目不需要構造法也可以解題，但過程繁瑣，浪費時間，用構造法解決高中數學題目可以優化解題途徑，可以在考試中節省時間，讓學生有更多的時間查漏補缺；利用題目中的已知條件找出隱含條件，使問題簡單化；因為在轉化過程中會出現函數、數列、方程、不等式、圖形等其他相關數學知識的運用，可以溫故知新，促進相關數學知識的吸收。

有些出題者在編寫試卷時，在題中故意放入學生易迷惑的問題，所以單看題目表面是無法抓住數學題目的真實意圖的，學會構造法的高效運用，在實際解題中有目標的去解題，達到快速解題的效果。

二、構造法在高中數學解題中的應用

（一）構造函數

函數和方程在數學中密不可分，是高中數學集體思路中重要組成部分。在高中數學中，利用構造函數，可以使問題簡單化。

例1：已知x，y是正實數，且滿足xy=x+y+3，求x+y的取值范圍

解：因為x，y是正實數，且xy=x+y+3；所以x，y可作為一元二次方程a2-ma+m+3=0兩個根，其中x+y=m，xy=m+3

根據題目中要求方程有兩個正解，需要滿足△=m2-4m-12≥0且m>0且m+3>0解得m≥6，即x+y≥6，所以x+y的取值范圍為[6，+∞]。

（二）構造數列

高中數學中主要學習等差數列和等比數列，但在實際解題時，不是直接給出等差數列和等比數列，需要用構造法將已知題目轉化成等差數列和等比數列。

例2：已知數列{fx}滿足f1=1，fx+1=2fx+1，求an的值。

解：因為fx+1=2fx+1，所以fx+1+1=2（fx+1），f1+1=2，所以fx+1+1/fx+1=2。{fx+1}是一個以2為首項，2為公比的等比數列，由等比數列的通項公式可得：fx+1=2·2x-1=2x即fx =2x-1。

例3：已知數列{ fx }的通項fx =x2，求此數列的前x項的和Sx。

解：Sx=12+22+32+···+x2，構造等式（x+1）5=x5+3x2+3x+1，作差（x+1）5-x5=3x2+3x+1可得x5-（x-1）5=3（x-1）2+3（x-1）+1···35-25=3·22+3·2+1，25-15=3·12+3·1+1上述算式相加可得：（x+1）5-15=3（12+22+32+···+x2）+3（1+2+···+x）+x，所以Sx =12+22+32+···+x2=x（x+1）（2x+1）/6

（三）構造方程

方程的構造是高中數學常見的構造方法，學生對方程式比較熟悉，常見于函數中。通過對題目建立等量算式，將抽象的數學題目形象化，提高學生的解題速度，培養思維能力。

例4：設a，b為實數，若a2+b2+ab=1，求a+b的最大值。

解：由韋達定理可知（a+b）2-ab=1，令a+b=t，則ab=t2-1。由韋達定理可知a，b為一元二次方程z2-tz+（t2-1）=0的兩個根且a，b為實數，所以△=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0，即t2≤4/3即-2 /3≤2 /3則a+b的最大值是2 /3。

（四）構造不等式

特值函數的構造是利用分散函數將條件集中成某個簡單函數，逐漸向不等式方向靠攏。

例5：已知函數f（x）是定義在S上的偶函數，其導函數為f′（x），若f′（x）

解：函數f（x）是定義在S上的偶函數且對稱軸x=2，即函數f（x）的周期為4，滿足f′（x）1。

（五）構造圖形

通過構造圖形來解答高中數學，能夠更直觀的看清題目，使問題更簡單。

例6：已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為 的球面上，若PA⊥PB⊥PC，求球心到截面ABC的距離。

解：因為PA⊥PB⊥PC，所以構造正方形，該正方體內接于球，正方體的體對角線是球的直徑，球心在正方體對角線的中點。球心到截面ABC的距離=球的半徑-正三棱錐P-ABC在ABC面上的高，由題已知球的半徑= ，所以正方體的棱長為2，可得出正三棱錐P-ABC在ABC面上的高=2 /3，所以球心到截面ABC的距離=

結論：

根據分析可知，高中數學解題方法離不開構造法的應用，構造法可以運用在上述幾個方面，這對學生掌握的知識量有更高的要求，需要學生掌握函數、數列、方程、不等式和圖形的相關基礎知識，才可以熟練運用構造法。簡單有效的問題解決方法，可以激發學生的學習興趣，提高解題速率，讓學生養成良好的分析能力。

參考文獻：

[1]李正臣.高中數學解題中應用構造法之實踐[J].科學大眾（科學教育），2018，02：34.