多體系統動力學的案例教學研究

張青斌 葛健全 鄒 文 豐志偉

（1.國防科技大學空天科學學院，湖南 長沙 410073；2.湖南商學院，湖南 長沙 410073）

多體系統動力學主要研究若干個柔性和剛性物體相互連接所組成系統的運動規律的科學，包括多剛體和多柔體系統動力學。多體系統動力學是一般力學領域的研究熱點和難點之一，可為航空航天、機械、兵器領域中大量復雜系統的動力學分析和優化設計提供強有力的理論工具與技術支撐。

一、教學改革的迫切需求

隨著航空航天工程、機械車輛工程、數值計算技術的發展，多體系統動力學研究范疇已經從原有的多剛體有限自由度的力學系統，拓展到包含多物理場、剛-柔耦合、非光滑、多尺度的復雜力學系統，并逐步發展成為具有多學科交叉特點的應用基礎學科。多體系統中龐大的各體個數和自由度、各體之間復雜約束方式以及抽象的力學原理，導致動力學方程的推導變得極其復雜，造成很大的授課難度［1］。

多體系統動力學是一般力學與力學基礎研究生專業的核心課程，具有較深的理論性和很強的工程應用性。從教學層面來說，多體系統動力學作為一般力學與力學基礎專業的核心課程，會涉及抽象的經典力學原理和較多的現代計算技術，涉及理論力學、材料力學、彈性力學、分析力學和應用數學等多種基礎理論知識，同時也具有很強的綜合性與應用性，還存在許多有待深入研究的問題。從課程體系的角度來說，該課程既適于提高研究生的理論水平，也適于與科研前沿相結合培養研究生的綜合創新能力。從授課學生的角度來說，研究生通常來自不同的本科院校，具有不同的專業知識體系和不同的研究方向，因此授課學生不僅在性格、習慣情感和心理等個人素質方面存在一定差異，而且還在知識基礎、思維方式和學習動機等方面存在較大差異。上述三個方面的主客觀原因，就要求授課老師必須改變傳統的灌輸式教學方法，積極調動學生的興趣，充分發揮其主觀能動性，培養對多體系統動力學問題的研究興趣。為此，筆者結合我校的教學大綱要求，從“激發學生的學習熱情、設計啟發性的教學案例、制訂模擬科研過程的大作業”三個方面的進行教學改革。

二、激發學生的學習熱情

與本科生相比，研究生的世界觀和人生觀初步定型，一般都有比較清晰的人生規劃和學科專業發展目標。更為重要的是，研究生作為未來科學研究的生力軍也具有較強的求知欲、自學能力和自主意識，善于吸取新思想和新方法，而且特別希望專業教師講授最新的研究成果［2］。由于學生來源比較廣泛，選課動機差異很大，也需要考慮因材施教的客觀要求。事實上，依據學習主動性的強烈程度，可將學生大體分為三個層次：第一層次的學生十分關注自己未來的研究方向和研究興趣，學習主動性很高；第二層次的學生，主要按照導師的要求和規劃，選修了該課程；第三層次的學生則沒有太多想法，只是按學校的學分規定被迫選課。另外，從專業基礎的掌握程度上，也可把學生大體分為三個層次：第一層次的學生具有扎實的數學力學基礎以及飛行力學和控制原理等相關的專業背景知識，少數還具有較高的計算機編程能力。這層次的學生幾乎沒有學習困難情況發生。第二層次的學生僅僅具有理論力學和材料力學等必要的力學基礎知識，以及高等數學和矩陣分析等基本的數學基礎。這層次的學生通過努力也能取得較好的學習效果。第三層次的學生主要是跨專業選修，缺乏必要的基礎知識，存在較大的學習困難，也具有一定程度的“畏難情緒”。

為此，我們在緒論課中增加了較寬泛的工程應用案例，主要體現在三個方面：（1）從學科發展歷史的角度，系統地介紹相關理論研究方向、應用研究方向、研究熱點和難點以及可能的創新點，引導學生養成學習熱情。（2）具體地介紹型號研制中的趣聞軼事和重大技術突破，比如我國航空航天中衛星和載人飛船降落傘回收系統中的多體動力學問題（如圖1所示）。特別是某型號衛星帆板展開過程的機械故障與解決措施、某物-傘動力學與作戰應用（如圖2所示）等，使得學生充分認識到多體動力學具有重要的工程應用價值［3］。（3）讓學生在課堂演示打羽毛球或跳遠運動的標準動作（如圖3、圖4所示），分析其中多體動力學原理，使得學生了解到多體動力學具有廣泛的應用背景。通過課堂討論和分析，大家主動探索解決問題的方法，大大活躍了課堂氣氛?？傊ㄟ^多層次的教學案例，學生從過去被動接受知識變為主動接受知識并積極去探索，學生在學習過程中充分發揮主觀能動性，也促使不同層次的學生確定不同層次的學習空間，自主地設立學習目標，確定學習任務和選擇學習內容。

圖1 某衛星多體系統

圖2 物—傘多體動力學案例

圖3 跳遠運動的動作流程

圖4 打羽毛球的動作規范

三、設計啟發式的教學案例

多體系統力學的基礎理論十分抽象，如果過分注重數學力學方法，僅僅講授動力學公式的推導過程，學生就很難理解相關動力學原理。事實上，我國研究生教育的創新意識與創新能力不足，其中的一個重要原因就是在專業課教學環節中過分重視基礎知識傳授，輕視創新意識與創新能力的訓練［3］。客觀地說，研究生學習屬于高級、復雜的學習，是艱苦的腦力勞動，因此只有依靠對學科和專業研究的內在興趣，才能達到良好的學習目的；只有發展對專業知識學習的內在興趣，才能保證學習行為的持久性。費爾巴哈說“新知識從懷疑中產生”，古代教育家張載說“學則須疑、學貴善疑”。為此，基于“創設問題和鼓勵質疑”的原則，并吸收相關力學課程案例教學中的實踐經驗［4］，我們設計了不同層次的教學案例。具體的說，一是要求案例真實準確并能代表典型的多體動力學問題，比如，我們設計了兩連桿的簡單多體動力學算例（如圖5所示），給出了“牛頓-歐拉法”和“拉格朗日方程”等多種建模原理與數值仿真結果，使得學生直觀地理解各種動力學建模的等價性。二是針對學生未來的工作需求，突出教學案例的實用性。比如“衛星帆板展開過程”和“空間機器人操作過程”的多體動力學分析算例。三是強調案例的綜合性原則，突出本課程的多學科融合特點，可使得學生重復認識到多體動力學的學科交叉和融合特點，有利于提高學生理論聯系實際的水平。為此，我們將課題組研究的柔性繩網等新型空間結構當作教學案例，利用動畫演示了阻尼彈簧模型和絕對節點坐標法等多種力學模型的仿真結果（如圖6所示）。事實上，一個大學的導師水平和研究教學水平基本上決定了大學的研究學術能力。從宏觀上來說，研究導師在學生整個碩士（博士）學習階段，是學生最直接的指導者，也是學生活生生的榜樣，導師須通過各種途徑達到培養學生的目的。于是，我們試圖通過課題組的研究工作闡述學科前沿問題，比如考慮織物編織方式的材料本構關系研究，特別是具有接觸、碰撞與摩擦的多體系統動力學建模與相關力學機制研究；柔性織物工作過程中（如充氣、折疊展開）的非光滑、非線性等相關分析方法和算法研究；考慮幾何非線性、材料非線性以及含復合材料的柔性多體系統動力學建模與控制方法問題。在每個工程案例的具體教學過程中，不拘泥于教材和課堂教學內容，要求學生結合問題需求，大膽思考并創造新應用力學、高度數學、矩陣分析和數值方法等專業知識，以解決實際的問題。通過上述教學案例，學生深刻了解了多體系統動力學的工程背景，培養了探索和體驗解決力學問題的研究樂趣。當然，也促使學生有效避免了因不知“學為何用”和“為何而學”思想帶來的厭學情緒，提高了他們的分析、綜合、歸納、發現問題與解決問題的能力。

圖5 兩連桿多體動力學模型

圖6 繩網系統及多體動力學仿真

四、制訂模擬科研過程的大作業

與本科相比，研究生的學習與研究緊密結合在一起，他們的學習過程應該近似于真實的研究實踐活動，必須面對和解決實際問題。研究生作為國家建設和發展的主力軍和中堅力量，創新能力無疑是核心和關鍵［4］。同時，研究生“與他人協作共事、有效地表達自己的見解和觀點、批判性地接受他人的意見”也是十分重要的科研素質。因此培養學生團結、協同的群體合作精神顯得十分必要。我們開展了如下三方面的工作：首先，結合具體的工程問題，共設計了兩連桿動力學建模與仿真、空間漂浮機器人動力學建模、衛星抓捕動力學、繩網展開動力學和跳遠運動等10個沒有標準答案的大作業，并提出了類似于科研項目的研究報告要求。然后，依據學習能力和興趣等合理劃分研究小組，力爭組內成員具有一定的差異性和互補性，組內成員有分工也有合作，保證小組的競爭的公平性。最后，要求學生按照“科研項目攻關和驗收”模式完成大作業。在指導學生完成作業的過程中，一方面要求每個小組長扮演項目負責人的角色，積極思維和謀劃，規劃整個大作業的研究精度，另一方面也要求每個組員將自己的研究工作清晰明了的展示給別人，寫出邏輯清晰的學術報告，設計出簡潔漂亮的幻燈片以及提供吸引人的學術論文。盡管學生反映上述作業形式帶來較大的工作量和難度，但是最終也承認自己在學術能力和合作研究方面獲得了很大的鍛煉。

我們充分利用綜合大作業的答辯過程，培養學生的綜合創新能力。文獻［5］也指出：課程教學、論文指導的過程中，導師對學生的知識結構、創新能力、創新思維產生直接的影響。一個學校的導師學術水平、創新素質，基本上也是學生參照的對象，可為學生知識結構的完善、科學思維的形成，提供了直接的目標和有效途徑。為此，我們在學生的大作業的答辯過程中邀請了相關領域的研究生導師為評委，試圖從多個角度評價和指導學生的“研究報告”。在答辯過程中，多位老師的客觀評價和建議，使得學生深刻了解了學科間的交叉融合，開闊了視野和拓寬了思路，并有可能從中捕捉到新的創新點。

當提交大作業后，學生也大體掌握了多體動力學的基本原理。于是，筆者利用我校在物－傘多體系統動力學、衛星多體系統動力學等領域的最新研究成果，做了如下四點：（1）從學術研究的角度系統講述了航天領域中相關學科的發展趨勢、研究熱點和典型的工程應用問題。例如載人航天與探月工程中的降落傘回收系統、空間繩系衛星系統、空間繩網捕獲系統、小行星布袋捕獲系統、巨型索網天線等，已經構成了一類特殊的多體系統動力學研究領域，為學生的未來研究選題提供了廣闊的前景。（2）結合國內外相關學者的研究工作或文獻，再次闡述R∕W、牛頓-歐拉法和Kane法等建模方法的優缺點，展示不同建模原理的等效性。（3）適當補充介紹了目前國內外著名的研究機構和知名學者，為學生介紹將來的閱讀文獻范圍。（4）比較全面的介紹了我校與相關科研院所的合作情況，為學生未來的就業或工作方向提供參考。

五、總結

在傳統的多體系統動力學教學模式之中，老師通常以教材為中心，采用以講授為主的教學方式。這種模式過于強調知識系統性和完整性，忽視學生的主觀能動性，教學效果欠佳。本文從“激發學生的學習熱情、設計啟發性的教學案例、制訂模擬科研過程的大作業”三個方面進行了教改探索。筆者針對多體動力學的抽象力學原理多、涉及學科多的教學困難，考慮到授課學生的專業基礎和學習動機等客觀因素，設計了不同層次和難度的教學案例，促使學生在學習過程中充分發揮主觀能動性，激發學生的學習熱情，培養學生的學習興趣，激活學生自主探究、合作研究的科研創新能力。課后反饋表明，大部分研究生具有獨立的多體動力學建模能力，甚至還有較深入的仿真分析能力。實踐表明上述措施有效實現了教學目標。