求解相對(duì)位移的三種方法比較

■重慶市第三十七中學(xué)校 楊天才(特級(jí)教師)

兩個(gè)物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式,如追及問(wèn)題、傳送帶問(wèn)題、滑塊—木板問(wèn)題、碰撞問(wèn)題等。求解這類問(wèn)題中的相對(duì)位移時(shí),可以采用解析法、相對(duì)位移公式法和圖像法,這三種方法各有各的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn),表1是這三種方法的比較:

表1

例1甲火車正以速率v1向前行駛,司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)正前方同一軌道上距離為x處有另一火車乙,正以較小的速率v2沿同方向做勻速運(yùn)動(dòng),甲車司機(jī)由發(fā)現(xiàn)情況到開(kāi)始剎車所用時(shí)間(反應(yīng)時(shí)間)為Δt,甲車在剎車過(guò)程中做勻減速運(yùn)動(dòng)。要使兩列火車不相撞,甲車剎車時(shí)的加速度a至少應(yīng)是多少?

解析法:兩列火車恰好不相撞時(shí),二者的速度相同,均為v2,設(shè)甲車由剎車到獲得共同速度所用時(shí)間為t,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得x甲=解 得 a=

相對(duì)位移法:反應(yīng)時(shí)間內(nèi)兩車均做勻速運(yùn)動(dòng),由x相=v相t可得,甲車相對(duì)乙車的位移x1=(v1-v2)Δt。兩列火車恰好不相撞時(shí),二者的速度相同,均為v2,由2a相x相可得,甲車相對(duì)乙車的運(yùn)動(dòng)滿足(v2-v2)2-(v1-v2)2=2(-a-0)(xx1),解得

圖1

圖像法:設(shè)甲車由剎車到獲得共同速度所用時(shí)間為t,在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出甲、乙兩車運(yùn)動(dòng)的v-t圖像,如圖1所示。由題意知陰影部分的面積在數(shù)值上等于兩車的相對(duì)位 移,即又 有,解得

例2一水平的淺色足夠長(zhǎng)傳送帶上放置一煤塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),煤塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。初始時(shí),傳送帶與煤塊都是靜止的。現(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a0開(kāi)始運(yùn)動(dòng),當(dāng)其速度達(dá)到v0后,便以此速度做勻速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后,煤塊相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng),求此黑色痕跡的長(zhǎng)度。

解析法:根據(jù)“傳送帶上有黑色痕跡”可知,煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對(duì)滑動(dòng),煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0。根據(jù)牛頓第二定律得a=μg。設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t,傳送帶由靜止開(kāi)始加速到速度等于v0,煤塊由靜止開(kāi)始加速到v,則v0=a0t,v=at。因?yàn)閍＜a0,所以v＜v0,煤塊繼續(xù)受到滑動(dòng)摩擦力的作用。再經(jīng)過(guò)時(shí)間t',煤塊的速度由v增加到v0,有v0=v+at'。此后,煤塊與傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度相同,相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng),不再產(chǎn)生新的痕跡。設(shè)在煤塊的速度從0增加到v0的整個(gè)過(guò)程中,傳送帶和煤塊移動(dòng)的距離分別為x0和x,則傳送帶上留下的黑色痕跡的長(zhǎng)度l=x0-x。聯(lián)立以上各式解得

相對(duì)位移法:同理得煤塊的加速度a=μg。設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t1,傳送帶由靜止開(kāi)始加速到速度等于v0。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得此時(shí)煤塊的速度設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t2,煤塊由靜止開(kāi)始加速到速度等于v0,此后煤塊與傳送帶相對(duì)靜止,不再產(chǎn)生新的黑色痕跡。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得由得傳送帶相對(duì)煤塊的第一段位移第二段位移因此傳送帶上留下的黑色痕跡的長(zhǎng)度l=x1+x2=

圖2

圖像法:同理得煤塊的加速度a=μg。設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t1,傳送帶由靜止開(kāi)始加速到速度等于v0,設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t2,煤塊由靜止開(kāi)始加速到速度等于v0,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出傳送帶和煤塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖像,如圖2所示,則黑色痕跡的長(zhǎng)度l=

圖3

例3如圖3所示,在一光滑的水平面上有兩塊相同的木板B和C。重物A(視為質(zhì)點(diǎn))位于木板B的右端,A、B、C三者的質(zhì)量相等。現(xiàn)重物A和木板B以同一速度滑向靜止的木板C,木板B與C發(fā)生正碰。碰后木板B和C粘在一起運(yùn)動(dòng),重物A在木板C上滑行,重物A與木板C間有摩擦力。已知重物A滑到木板C的右端而未掉下。問(wèn):從木板B、C發(fā)生正碰到重物A剛移到木板C右端的過(guò)程中,木板C所經(jīng)過(guò)的距離是木板C長(zhǎng)度的多少倍?

解析法:設(shè)A、B、C的質(zhì)量均為m,碰撞前,重物A與木板B的共同速度為v0,碰撞后木板B與C的共同速度為v1,對(duì)由木板B、C組成的系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量守恒定律得mv0=2mv1,解得設(shè)重物A滑至木板C的右端時(shí),三者的共同速度為v2,對(duì)由A、B、C三者組成的系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量守恒定律得解得設(shè)重物A與木板C間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,從發(fā)生碰撞到重物A移至木板C的右端時(shí)木板C所經(jīng)過(guò)的距離為x,對(duì)由木板B、C組成的系統(tǒng)應(yīng)用功能關(guān)系得得設(shè)木板C的長(zhǎng)度為l,對(duì)重物A應(yīng)用功能關(guān)系得解得因此

相對(duì)位移法:同理得由可知,木板C相對(duì)重物A和木板B滿足(v2-v2)2-(v0-v1)2=對(duì)木板C有μmgx=解得

圖4

圖像法:同理得v1=在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出重物A和木板B、C運(yùn)動(dòng)的v-t圖像,如圖4所示,則木板C所經(jīng)過(guò)的距離與木板C長(zhǎng)度的比值為

例4一個(gè)質(zhì)量為M的絕緣小車,靜止在光滑水平面上,在小車的光滑表面上放一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的帶電小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),小車質(zhì)量與物塊質(zhì)量之比M∶m=7∶1,物塊距小車右端擋板的距離為L(zhǎng),小車車長(zhǎng)為1.5L,如圖5所示。現(xiàn)沿平行于車身方向加一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E,物塊由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng),而后與小車右端擋板相碰,若碰后小車的速度大小為碰撞前物塊速度大小的并設(shè)在物塊滑動(dòng)過(guò)程中及其與小車相碰的過(guò)程中,物塊的帶電荷量保持不變,且碰撞時(shí)間極短,總能量不變。

圖5

(1)通過(guò)分析與計(jì)算說(shuō)明碰撞后物塊能否滑出小車車面。

(2)若能滑出,求出由物塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至滑出時(shí)靜電力對(duì)小物塊所做的功;若不能滑出,求出物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至第二次碰撞前滑塊的速度大小。

解析法:(1)帶電小物塊僅在靜電力作用下向右沿光滑表面做加速運(yùn)動(dòng),位移為L(zhǎng)時(shí)與小車右端擋板相撞,設(shè)相撞前瞬間物塊的速度為v0,由牛頓第二定律得0,解得物塊與小車碰撞時(shí)間極短,靜電力遠(yuǎn)小于撞擊力,故可認(rèn)為在水平方向上動(dòng)量守恒,則mv0=mv1+Mv2,由題意知,解得因此碰后,物塊向左以的初速度在靜電力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其對(duì)地速度減為零時(shí),又在靜電力作用下向右做勻加速運(yùn)動(dòng),直到物塊向右的速度與小車向右的速度相同時(shí),小車右端與物塊間的距離最大。設(shè)物塊此時(shí)相對(duì)碰時(shí)位置向左的位移為x1,小車向右的位移為x2,則,式中解得所用的時(shí)間故因?yàn)閤1+x2=L＜1.5L,所以物塊不會(huì)滑出小車車面。

(2)設(shè)物塊由相對(duì)小車靜止(即與小車有共同速度v2)到與小車右端擋板第二次碰撞所需時(shí)間為t',由幾何關(guān)系及勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式得式中x=v2t'為小車在t'時(shí)間內(nèi)的位移,解得t'=所以物塊與小車右端擋板第二次碰撞前物塊的速度

相對(duì)位移法:(1)同理得,即碰后物塊反彈,先向左后向右做勻變速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其速度與小車向右的速度相同(相對(duì)速度為零)時(shí),小車右端與物塊間的距離最大。由可得,解得x相=L＜1.5L。因此物塊不會(huì)滑出小車車面。

(2)之后物塊繼續(xù)加速運(yùn)動(dòng),小車勻速運(yùn)動(dòng),物塊與小車第二次碰撞前與發(fā)生第一次碰撞時(shí)二者發(fā)生的位移相等(相對(duì)位移為零),則(這是第一次碰撞后的速度,舍去)。

圖6

圖像法:(1)同理得在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出物塊與小車運(yùn)動(dòng)的v-t圖像,如圖6所示,當(dāng)物塊的速度與小車的速度相同時(shí),小車右端與物塊間的距離最大。由幾何知識(shí)得△AOB?△GDC,S△AOB=L=S△GDC,x相=L＜1.5L。因此物塊不會(huì)滑出小車車面。

(2)物塊與小車右端擋板第二次碰撞前與發(fā)生第一次碰撞時(shí)二者發(fā)生的位移相等(相對(duì)位移為零),即S△FED=L。所以△GCD?△FED,由幾何知識(shí)得v3=v2+