經歷公式推導過程聚焦核心素養培養

黃寶珍

[摘 要]在“平行四邊形的面積”的教學中，首先應讓學生驗證等底等高的平行四邊形的面積大小一樣，積累割補法活動經驗；然后利用直觀操作解決平行四邊形面積大小與斜邊長度無關，與底和高有關的問題；接著利用方格紙引導學生觀察：底邊、斜邊長度不變，隨著高的變化，平行四邊形的面積也隨之變化；最后，引導學生探究平行四邊形面積的計算方法。這樣實施教學，可讓學生經歷公式的推導過程，實現由數學直觀認識到幾何思維的空間發展，在圖形轉化中體會等積變換思想，培養核心素養。

[關鍵詞]公式推導； 核心素養；平行四邊形的面積

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）26-0035-02

圖形面積公式的推導是“圖形與幾何”領域中的重點內容之一。公式是刻板的，而公式的再創造過程卻是鮮活、生動、有趣的。怎樣讓學生理解平行四邊形的面積與底和高有關，與斜邊無關，是“平行四邊形的面積”一課的教學難點。探究平行四邊形的面積計算公式是本節課的教學重點。初次教學，筆者這樣進行教學設計。

【教學片段一】

師（出示鋪平行四邊形草坪的情境圖，引導學生解讀信息）：怎么求這個平行四邊形草坪的面積？

生1：底乘高。（因為設置了預習環節，所以學生能輕易回答）

師：是嗎？那為什么平行四邊形的面積大小與斜邊無關呢？

生1：……（看來生1是知其然而不知所以然）

師（出示可活動的平行四邊形）：拉動平行四邊形的對角，大家仔細觀察，什么不變，什么變了。（讓學生直觀認識到底不變，斜邊不變，可高變了，面積的大小也隨之改變）

【反思】鋪草坪的情境雖來源于生活，卻不是源于學生的內心需求。上課伊始就提出用“底乘高”計算平行四邊形面積，雖然學生已了解平行四邊形的面積計算公式，但他們還處于懵懂的記憶狀態，當面對“平行四邊形的面積大小為什么與斜邊無關”的問題時就會手足無措，不知從何入手。接著借助可活動的平行四邊形，拉動平行四邊形的對角，讓學生觀察什么不變，什么變了的學習過程，從表面上看，學生似乎掌握了平行四邊形的面積與底和高有關，與斜邊無關，然而這樣的設計卻無法將學生的想法展現出來。仔細分析，上述教學應做如下改進。

1.情境創設除關注“生活味”外更應關注“數學味”，引發學生的探究欲望。

2.問題設計應講究開放且立意深遠，避免學生沿著套路走或將學生的思維逼進死胡同。

3.應處理好數學直觀與抽象思維的關系。

在一次教研活動中，富有創新精神的周老師提出了一個全新的教學設計，并與大家分享，他設計的探索活動很有創意且有研究價值，令人耳目一新。具體如下。

【教學片段二】

（課前要求學生剪一個等底等高的平行四邊形，并帶到課堂上來。課堂上，先組織學生觀察各個平行四邊形的形狀，再引導學生討論問題）

師：等底等高的平行四邊形的形狀為什么各不相同？

生1：因為斜邊傾斜度不同，所以平行四邊形有的胖，有的瘦。

師：比較“胖的”平行四邊形面積與“瘦的”的平行四邊形面積，你有什么發現？

（學生小組討論、研究，很快發現它們的面積相等）

師：你們是怎么知道它們面積相等的？

組1：我們利用剪拼法。先把1號和2號兩個平行四邊形沿底邊對齊，找出兩個圖形的重疊部分。將2號圖形與1號圖形不重疊的部分剪下，發現它與1號圖形的多出部分完全重合。

組2：我們的方法與組1類似，只是我們沒有剪拼，而是折出2號圖形的多出部分，再與1號圖形的多出部分重疊，也是完全重合。

……

師：看來不管斜邊如何變化，這些等底等高的平行四邊形面積都相等。平行四邊形的面積與斜邊無關，那與什么有關呢？

生2：底和高。

師：怎么計算平行四邊形的面積？

（學生嘗試剪拼，將平行四邊形轉化成長方形，進而求出其面積）

【反思】周老師讓學生帶來課前制作好的指定底和高的平行四邊形是點睛之筆。情境創設關注“等底等高的平行四邊形的形狀是可以不同的”。這個活動的設計比筆者的課前預習設計更有利于讓學生產生認知沖突——等底等高的平行四邊形面積一樣嗎？其次，教師通過“比較‘胖的平行四邊形面積與‘瘦的的平行四邊形的面積，你有什么發現？”這一問題引導學生利用“出入相補”原理動手操作探究，使學生在推導平行四邊形的面積公式時對其面積大小與斜邊無關這一關鍵知識點印象深刻。

【收獲】綜合上述兩個教學片段，筆者有了以下點滴收獲。

一、創設“裸情境”，引發認知沖突

對比兩個情境創設，教學片段一創設鋪草坪的生活情境，抽象出求平行四邊形的面積問題。情境立足生活問題，但缺乏學生內心需求的驅動力，無法有效激發學生探究的欲望。教學片段二創設有價值的直擊探究問題的“裸情境”：通過讓學生制作等底等高的平行四邊形，引發學生的認知沖突——等底等高的平行四邊形的形狀可能不同，這些平行四邊形的面積一樣嗎？這個有價值的“裸情境”，直逼數學本質，可有效激發學生的好奇心和探究欲望。

二、設計“大問題”，引領深度探究

眾所周知，將平行四邊形轉化為長方形，根據長方形的面積公式可有效推導出平行四邊形的面積公式。可如何設計才能引導學生深入思考核心問題，為學生繼續探究三角形、梯形、圓的面積公式奠定基礎呢？

教學片段一中，教師的問題設計牽引的痕跡太明顯，學生只能跟著教師的思維走。教學片段二圍繞“等底等高的平行四邊形的形狀為什么各不相同？”“怎么計算平行四邊形的面積？”問題安排學生的學習活動，與教學片段一的學生活動相比，顯然更重視動手實踐、自主探索和合作交流。教學片段二中兩個基于學生真實問題開展的學習活動，使學生能夠經歷觀察、比較、猜想、驗證的深度學習過程，從而積累探究經驗，發展數學思維。

三、把握核心內容，溝通整體聯系

平行四邊形的面積公式推導，緣于“怎樣將一個平行四邊形轉化為長方形？”。怎樣讓學生觀察平行四邊形底邊、斜邊、高的變與不變并與平行四邊形面積的變化關聯起來，產生將平行四邊形轉化為長方形的念頭，是本節課的重難點所在。結合兩個教學片段，筆者認為本節課的教學可這樣改進：1.制作等底等高的平行四邊形若干個，引導學生比較其面積大??；2.利用方格紙觀察可活動的平行四邊形的面積變化；3.嘗試探究計算平行四邊形的面積。

這樣的教學思路能引導學生溝通圖形面積知識（思維）的整體聯系。首先，驗證等底等高的平行四邊形面積大小一樣，積累割補法活動經驗。利用直觀操作解決平行四邊形面積大小與斜邊長度無關，與底和高有關的問題。接著，利用方格紙引導學生觀察“底邊、斜邊不變，高變化，平行四邊形的面積也隨之變化”，學生再次驗證猜想。第三，在探究平行四邊形面積的計算方法時，有了前面割補法（數方格）的經驗，學生便會產生將平行四邊形轉化為長方形的念頭。這樣改進，可讓學生利用經驗遷移，經歷平行四邊形面積計算公式的推導過程，實現學生由數學直觀認識到幾何思維發展的轉化，在圖形轉化中體會等積變換思想，從而培養學生的核心素養。

（責編 黃春香）