一類隨機四階拋物型方程的解的穩定性研究

（南京郵電大學通達學院，江蘇 揚州 225127）

近年來，隨機微分方程（SDEs）和隨機偏微分方程（SPDEs）因其在自然科學、工程控制、生物等領域的廣泛應用而受到越來越多的重視和研究.人們主要關心方程解的存在唯一性及穩定性.目前已有一些好的研究方法，如Lyapunov函數方法、逐次逼近法、大偏差理論、不動點原理等.其中，不動點原理因其在解的穩定性研究方面簡單有效而受到廣泛使用，尤其是那些帶Markov鏈和Possion跳的問題.但是，目前已出版的文獻大多是討論隨機微分方程或者隨機熱方程（二階拋物），而很少有隨機四階拋物型偏微分方程的解的穩定性結果.如文獻［1］討論了線性隨機四階拋物型方程的解的穩定性.

到目前為止，尚沒有非線性隨機四階拋物型方程的解的穩定性結果.

本文考慮一類帶Markov鏈的非線性隨機四階拋物型方程的解的穩定性問題.利用不動點原理，我們不但得到了解的存在唯一性，還得到了溫和解的p階矩指數穩定性.

一、記號、模型及定義

常用記號：本文用到的記號簡介如下：

(N5)拉普拉斯算子：，散度：

模型：本文主要考慮如下非線性隨機四階拋物型偏微分方程：

其中α,β:S→R，記αi=α(i)，βi=β(i)，Φ:[0,T]×L2(Θ)×S→L2(Θ)為Ft可測的，初值u0為F0可測隨機變量，與r(?)和B(?)相互獨立，且?p＞ 0，Ε‖u0‖p<∞.

定義1：取值于L2(Θ)的隨機過程u:={u(t,?)}t∈[0,T]稱為方程（1）的溫和解，若其滿足：

（i）u∈C([ 0 ,T] ;L2(Θ))，?t∈ [ 0 ,T]，且u(t)是Ft適應的，滿足：

（ii）u滿足隨機微分方程

定義2：方程（1）稱為是p階矩指數穩定性的，若存在常數δ＞0，C＞0使得

最后，我們給出定理證明的一些必要假設.

假設：（A1）‖etΔ‖ ≤ Me-γ t，M為常數，γ＞ 0；

（A2）Φ 是滿足以下條件的算子：?u,v∈L2(Θ)，p≥ 2，存在正常數LΦi(i∈S)使得：Φ(t,0,i)=0,‖Φ(t,u(t,x),i)-Φ(t,v(t,x),i)‖ ≤LΦi‖u(t,x)-v(t,x)‖;

（A3） sup1≤i≤N|αi|LΦi<∞，sup1≤i≤N|βi|<∞.

二、主要定理

本節我們將用不動點原理討論方程（1）的溫和解的存在唯一性及p階矩指數穩定性.

引理1［4］：設G(t,x)是ut=Δu-Δ2u的基本解，則

其中，G1(t,x)為ut-Δu=0 的基本解，滿足；G2(t,x)為ut+Δ2u=0 的基本解，滿足；“*”指卷積，“”指v的 Fourier變換.記eΔt:=G1(t,x)，e-Δ2t:=G2(t,x)，e(Δ-Δ2)t:=G(t,x).

引理2［3］：設G1(t,x)，G2(t,x)，G(t,x)如上，則：

引理3：若etΔ滿足假設（A1） ， 則

證明：由卷積的Young不等式，引理1及引理2得：

其中＞0為常數，如不特別說明，我們將不再加以區分.

特別地，若k=0，則

當p≥2時有s＞0.故由Γ-函數的特點知此時積分收斂.又

證明：設H是所有Ft適應的連續過程的Banach空間，u(t,x)∈H，滿足Ε‖u(t,x)‖p≤M*Ε‖u0‖pe-ηt,t≥ 0，M*＞0,0<η<γ.H中的范數定義為

我們定義算子φ :H→H：

由Cp不等式［2］得：

顯然φ在[0,+∞)上是p階矩連續的.以下我們分兩步證明.

步驟1：φ(H)?H.由引理3得：

由假設（A1-A3），引理3，引理4及Ho?lder不等式得：

由引理3和BDG不等式［5］得：

由此φ(H)?H得證.

步驟2：φ是壓縮映射.?u,v∈H，u(0,x)=u0(x)=v(0,x)，考慮下式：

由條件（11）∈(0,1)得：φ是壓縮映射.

由不動點定理可知φ在H中有唯一不動點u(t,x)，且由以上證明可知u(t,x)是p階矩指數穩定的.由此定理1證畢.