基于增益調度的航空發動機分散魯棒控制

潘慕絢， 曹良進， 黃金泉

(南京航空航天大學能源與動力學院江蘇省航空動力系統重點實驗室， 南京 210016)

航空發動機是一個包含多個子系統的復雜非線性對象。這些子系統通過復雜的氣動熱力聯系相互耦合。傳統發動機控制系統通常采用集中控制。但如文獻[1]所述，由于耦合系統的物理布局限制及高維性，集中控制既不經濟，也沒有必要。文獻[2]指出集中控制系統可靠性不高，在任何工作點的任意單點故障都會導致整個系統的失效。為了提高集中控制系統的可靠性，需要采用冗余策略，這會增加控制系統部件個數從而增加整個發動機的質量。與集中式控制相比，基于分布式構架的分散控制的優勢是能夠減輕系統質量、提高系統性能和降低控制代價。此外，分散控制結構能夠容忍系統軟/硬故障并且允許每個控制回路單獨調整控制參數[3]。因此，對于復雜的航空發動機控制系統而言，分布式分散控制是一個很有潛力的控制方法。

分散控制一直是控制領域中的一個重要研究方向，在其興起早期，學者們主要關注線性定常系統分散控制[4]；此后一些學者開始關注含時滯或不確定性的線性系統分散控制[5-8]。對于控制系統的狀態不可測情況，學者提出了基于觀測器的不確定時滯大系統分散控制器[9-11]；針對非線性系統控制問題，科研人員提出了基于T-S模糊模型、神經網絡、廣義滑膜控制以及不確定參數上界的非線性分數控制方法[12-17]。

在上述文獻所公布的研究中，主要采用2種策略處理分散控制問題。第1種策略為“補償策略”。這種策略將每個子系統分為標稱子系統部分和滿足“匹配條件”的耦合項、不確定項部分；針對2部分分別設計控制器。控制器的第1部分用來穩定標稱子系統，第2部分用來抑制(或者補償)耦合項和不確定項[8，16-17]。第2種策略為“控制器參數求解策略”。這種策略中預先規定控制器的結構形式，然后構造帶未知參數的閉環控制系統，基于Lyapunov穩定性理論推導閉環系統的穩定性條件。此條件通常是以線性矩陣不等式(LMI)的形式給出，通過求解LMI可得到控制器參數[4，12]。第1種策略允許設計者調整參數從而獲得滿意的動態性能，然而對于不滿足“匹配條件”的被控系統這種策略不再適用。第2種策略避免了“匹配條件”的限制，但參數調整不夠靈活。

為了免疫第1種策略“匹配條件”限制的同時，增強第2種策略的參數調整的靈活性。本文引入動態響應指數收斂參數，用來調整跟蹤誤差收斂速率。

此外由于航空發動機工作范圍寬廣，其動態特性隨著飛行條件、功率水平呈現大范圍非線性變化特征。針對某一飛行條件某一功率水平下設計的控制器往往不能滿足航空發動機全包線大范圍跟蹤控制要求。針對航空發動機全包線控制問題，許多國內外學者廣泛開展了研究。 Lin 和Lee[18]針對J-85發動機全包線全功率水平下的50個設計點用Edmund方法設計控制器，采用2種增益調度方法(擴展卡爾曼濾波和神經網絡)得到非設計點控制器參數。李嘉等[19]提出了一種改進的Edmund方法設計單點控制器，采用直接插值的方法完成增益調度。隋巖峰等[20]建立渦扇發動機多胞線性變參數(LPV)模型，利用LMI方法，對多胞的各頂點設計具有單一Lyapunov函數滿足H∞性能且極點在給定區域的輸出反饋控制器，綜合頂點控制器得到具有同樣多胞結構的全局連續變增益控制器。姚華等[21]采用神經網絡進行航空發動機全包線PID控制器參數整定。王海泉等[22]基于二自由度H∞魯棒控制方法，結合從粗到精、反復迭代的飛行包線劃分方法完成航空發動機雙變量全包線控制。吳斌和黃金泉[23-25]針對航空發動機變增益LPV控制方法開展研究，先后提出結合多包型魯棒變增益控制綜合技術和基于系統廣義距離的調度策略的航空發動機全包線控制方法、基于多項式平方和(Sum of Squares,SOS)的增益調度控制設計方法和基于切換LPV的發動機全包線中間狀態控制方法。

上述航空發動機全包線控制方法中無論是基于插值的方法、離線神經網絡映射方法，還是LPV方法，都是針對航空發動機在穩態點附近做小階躍時設計跟蹤控制器。針對大范圍跟蹤控制的仿真驗證(如文獻[24])中所采用的控制方法并不是針對大范圍跟蹤問題而研究的。本文在設計單點控制器時，考慮各種不同的階躍量進行控制器設計。具體方法為：在飛行包線內取53個點，以油門桿角度(PLA)表征功率水平。在PLA為25°～65°之間每隔5°選取一個PLA 作為一個設計功率水平，將發動機從一個設計功率水平過渡到另一個設計功率水平的過程稱為一個設計階躍過程，針對每個設計階躍過程采用遞進法設計一個分散魯棒跟蹤控制器。之后采用插值的方法求取非設計階躍下的控制器參數。利用本文方法實現航空發動機PLA大范圍變化時轉速和壓比的控制。

1 問題描述

1.1 相關定義及引理

考慮如下定常系統：

(1)

式中：t∈R+表示時間；x∈Rn表示系統(1)的狀態；u(t)∈Rm表示系統(1)的控制輸入；x0為系統的初始條件；x(·):[t0,t1]→Rn表示系統(1)的解。

定義1若存在2個標量μ≥1，α>0使得

(2)

則系統(1)的解指數收斂。

引理1對于定常系統(1)，若存在函數V(x) 使得

(3)

(4)

式中：γ1、γ2和δ均為正數。則系統(1)的解指數收斂且有

(5)

證明對式(4)左右兩邊同時乘以e2δθ可得

(6)

式中：θ為待積分變量。對式(6)從0到t積分有

(7)

式(7)等價于

(8)

由式(3)和式(8)可得

(9)

證畢

由引理1可以獲得系統(1)狀態變量的指數收斂形式。參數δ表征了狀態變量收斂的快慢。

1)S<0。

引理3[27]給定具有適當維數的矩陣Q=QT、H和E，則

Q+HF(t)E+ETFT(t)HT<0

對所有滿足FT(t)F(t)≤I的F(t)都成立的充要條件是存在一正數ε>0使得Q+εHHT+ε-1ETE<0成立。

1.2 不確定性大系統

考慮不確定性大系統：

(10)

在給出控制器之前，先對被控系統參數做如下假設。

假設1系統(10)中的不確定項滿足匹配條件：

ΔAij=JF(t)Eij1

(11)

ΔBij=JF(t)Eij2

(12)

ΔCij=JF(t)Eij3

(13)

ΔDij=JF(t)Eij4

(14)

FT(t)F(t)≤I

(15)

式中：J、Eij1、Eij2、Eij3和Eij4為適維矩陣。

2 分散魯棒跟蹤控制器設計

定義第i個子系統的跟蹤誤差為

ei(t)=si-yi(t)

(16)

式中：si和yi分別為第i個子系統的常值參考輸入和輸出。

令

(17)

(18)

則可將系統(10)化成

i=1,2,…,N

(19)

系統(19)中的不確定項參數滿足匹配條件：

(20)

(21)

F*T(t)F*(t)≤I

(22)

(23)

Li>0i=1,2,…,N

(24)

式中：

Ωi=2δiLi

H=diag{J*,J*,…,J*}N×N

則在分散控制器式(25)和式(26)的作用下：

(25)

(26)

系統(10)的跟蹤誤差指數收斂且有

(27)

證明將控制器(25)代入系統(19)中，得到閉環系統為

(28)

選取Lyapunov函數：

(29)

則Lyapunov函數沿著閉環系統(28)的解對時間求導得

(30)

式中：

故

x*T(t)(Σ+ΔΣ+Λ)x*(t)≤

x*T(t)(Σ+ΔΣ+Λ)x*(t)

(31)

式中：Λ=diag{2δ1P1,2δ2P2,…,2δNPN}。

當

Σ+ΔΣ+Λ<0

(32)

成立時，有

(33)

即式(4)成立，從而由引理1可知閉環系統(28)的解指數收斂。

(34)

式中：

L=diag{L1,L2,…,LN}

δmin=min{δ1,δ2,…,δN}

從而

(35)

證畢

(36)

將式(36)化成離散增量形式，有

ui(k+1)=ui(k)+Kix(x(k+1)-

x(k))+Kieei(k+1)T

(37)

式中：T為采樣周期；k為仿真步數。

3 發動機分散魯棒跟蹤控制器設計

3.1 基于遞進法的控制器增益整定

航空發動機工作范圍寬廣，其動態特性隨著飛行條件和工作狀態的變化而不斷改變。飛行包線內某一飛行條件下某一功率水平附近，小區域線化模型設計的單點控制器不可能滿足發動機全包線全功率水平下的控制要求。解決這一問題的有效途徑是將飛行包線劃分成若干個子區域，并將功率水平從慢車狀態到最大狀態劃分成若干小段，將這些分隔點作為設計點，針對這些設計點分別設計控制器，并采用插值或擬合的方法求取非設計點處的控制器。這種增益調度方法在工程上能夠取得較好的控制效果，但常規的增益調度控制只適用于穩態控制或小階躍跟蹤控制，對于大范圍跟蹤控制的控制效果不佳，其本質原因在于常規的增益調度控制中設計點控制器均是小偏差控制器。

本文擬解決航空發動機在飛行包線內任意飛行條件下從任意起始工作狀態快速平穩無穩態誤差地過渡到另一工作狀態這一控制問題。為實現上述控制目標，在飛行包線內取若干個設計點，以PLA表征功率水平，每隔5°選取一個PLA 作為一個設計功率水平，針對從一個設計功率水平過渡到另一個設計功率水平的設計階躍過程，采用遞進法設計分散魯棒跟蹤控制器，使得每個設計階躍過程滿足動態、穩態要求。對于非設計階躍過程，采用插值的方法求取控制器參數。

為實現上述增益調度控制，需解決一個關鍵問題——航空發動機“大偏離”建模問題，即如何建立發動機的特性和參數在大范圍內變化時發動機的動態模型。發動機的特性和參數在大范圍內變化時，發動機的動態特性不再能用線性關系式近似描述，而必須用非線性關系式描述。而非線性模型不僅難以建立而且難以設計控制器。故本文并不建立發動機“大偏離”模型，而是采用遞進法來解決這一問題。遞進法的具體步驟如下：

步驟1采用第2節中提出的方法設計發動機在某設計飛行條件下某設計階躍過程的分散魯棒跟蹤控制器。

步驟2根據控制器各參數對被控量動態性能的影響規律調整控制器參數使得在不降低系統動態性能的同時控制器增益盡量小(小控制器增益帶來的好處將在后文第4節詳細說明)。

步驟3將步驟2中得到的控制器作用于其相鄰的設計階躍過程，觀察系統的響應曲線，根據各參數對被控量動態性能的影響規律調整控制器參數使得此時的被控系統具有與已設計好的階躍過程相近的動態性能。

步驟4之后的每個設計階躍過程的控制器參數都是從其最相鄰的已經設計好的設計階躍過程的控制器出發通過參數調整而得到。

步驟5將所有的設計階躍過程的控制器參數按一定規律存儲于一張二維插值表中。

上述遞進法能夠有效實施的根本原因在于航空發動機在相鄰的階躍跟蹤控制過程中動態特性相差并不是很大且分散跟蹤控制器本身具有一定的魯棒性。此外，遞進法的核心思想是控制器參數調整，控制器參數調整的基礎是有一個使得控制系統穩定的初始控制器參數，其具體操作是從這組初始控制器參數出發，調整控制器參數，使得控制系統具有更好的動態、穩態性能或使得控制器參數絕對值更小從而減小噪聲存在時控制量的抖震(這點在第4節仿真實例部分將作詳細說明)。

3.2 控制器增益調度策略

本文以某型渦扇發動機為研究對象，以其部件級模型為仿真對象。研究其在全包線從慢車到中間狀態范圍內大范圍跟蹤控制問題。選擇主燃油流量Wf和尾噴口喉道面積A8作為控制輸入量，選擇高壓轉子轉速nH和發動機壓比EPR作為被控輸出量，選擇高壓轉子轉速nH和低壓轉子轉速nL作為狀態量。采用小擾動法加擬合法可建立某型渦扇發動機在某飛行條件下某功率水平附近小偏差線性化模型：

(38)

式中：x1=nH，x2=nL，u1=Wf，u2=A8，y1=nH，y2=EPR。

插值表做成之后可根據插值表插值得到飛行包線內任意一點處PLA從PLAmin到PLAmax中的任意初始位置PLAs推到PLAmin到PLAmax中的任意目標位置PLAe時分散魯棒跟蹤控制器參數。具體插值步驟為：①設計點插值，其中設計點插值又包括高度插值和馬赫數插值，高度插值和馬赫數插值都是兩設計點之間線性組合，每個設計點的控制器參數為一個M(M-1)×4的矩陣，設計點插值最終得到一個新的M(M-1)×4的矩陣；②初始油門桿角度PLAs插值，每個初始PLA對應的控制器參數是一個(M-1)×4的矩陣，初始PLA插值得到的是一個新的(M-1)×4的矩陣；③目標油門桿角度PLAe插值，每個目標油門桿角度對應的是一個1×4的數組，目標油門桿角度插值后得到最終非設計階躍的4個控制器參數。綜上所述，本文提出的航空發動機大范圍分散跟蹤控制器K的取值與H、Ma、PLAs和PLAe有關，即K=f(H,Ma,PLAs,PLAe)。

本文中調度參量是PLA，而被控變量是高壓轉子轉速nH和發動機壓比EPR。通過調節計劃確定每個PLA所對應的nH和EPR。調節計劃也是以插值表的形式給出。

航空發動機全包線增益調度控制系統框圖如圖1所示。由PLAe、H和Ma插值得到當前參考輸入r，由H、Ma、PLAs和PLAe插值得到當前控制器增益K，控制量u與跟蹤誤差e以及發動機狀態x有關。

4 仿真結果及分析

(39)

式中：nHr為高壓轉子轉速指令；EPRr為發動機壓比指令。

在高度H=0，馬赫數Ma=0處，PLA從65°拉到60°時，在控制器式(39)的作用下，發動機的被控輸出響應曲線如圖2(a)所示，控制輸入曲線如圖2(b)所示。

圖2 在H=0，Ma=0處，當PLA從65° 拉到60° 時，在控制器式(39)作用下系統仿真結果Fig.2 Simulation results under controller Eq.(39) at H=0 and Ma=0 when PLA being pulled from 65° to 60°

Wf(k+1)=Wf(k)-(nH(k+1)-nH(k))+

15(nHr-nH(k+1))

A8(k+1)=A8(k)+0.2(nL(k+1)-

nL(k))-0.3(EPRr-EPR(k+1))

(40)

同樣在高度H=0，馬赫數Ma=0處，PLA從65°拉到60°時，在控制器式(40)的作用下，發動機的被控輸出響應曲線如圖3(a)所示，控制輸入曲線如圖3(b)所示。

觀察圖2可知，在控制器式(39)的作用下，被控輸出nH和EPR均在2 s左右無穩態誤差的跟上指令輸出。觀察圖3可知，在控制器式(40)的作用下，被控輸出nH和EPR也均在2 s左右無穩態誤差的跟上指令輸出。而對比控制器式(39)和控制器式(40)的控制器增益，明顯后者控制器增益較前者更小，而控制效果相同。而采用更小的控制器增益將會減小噪聲存在時控制量的抖震。為說明這個問題，引入測量噪聲，再次分別進行控制器式(39)作用下和控制器式(40)作用下的數字仿真。兩者輸出響應對比如圖4(a)所示，控制輸入量對比如圖4(b)所示。其中下標1的表示控制器式(39)，下標2的表示控制器式(40)；測量噪聲選均值為0，標準差為0.0015的隨機數序列。由圖4可知,當控制器增益較小時，系統對測量噪聲有更好的抑制效果，且控制輸入量的抖振較小，工程上更易實現。由圖4(b)可知當控制器增益較小時，測量噪聲存在時控制輸入量抖振較小，使得工程上更易實現。

圖3 在H=0，Ma=0處，當PLA從65° 拉到60°時，在控制器式(40)作用下系統仿真結果Fig.3 Simulation results under controller Eq.(40) at H=0 and Ma=0 when PLA being pulled from 65° to 60°

本文取N=53，PLAmin=25°，PLAmax=65°，從而可得M=9。調節計劃插值表中為保證插值結果盡可能準確，PLA的間隔選為1°，即PLA在25°～65°之間每隔1°計算一個對應的nH和EPR。53個設計點在飛行包線內的位置分布如圖5所示。采用第3節中遞進法逐步得53×72個設計階躍控制器參數，列于72×212的插值表中。采用第3節中介紹的插值的方法得到非設計階躍控制器參數。在飛行包線內選取3個點針對航空發動機部件級模型進行大范圍階躍跟蹤控制仿真，這3個點分別位于①(H=1 km,Ma=0.1)，②(H=15 km,Ma=1)，③(H=9 km,Ma=1.6)，仿真過程中PLA隨時間的變化關系如圖6所示。在所有仿真點均加入了均值為0，標準差為0.001 5的隨機測量噪聲。發動機在①號點處被控輸出響應曲線如圖7(a)所示，發動機在②號點處被控輸出響應曲線如圖7(b)所示，發動機③號點處被控輸出響應曲線如圖7(c)所示。觀察圖7可知本文設計的分散魯棒跟蹤控制器及增益調度方法在飛行包線內非設計點非設計階躍下也能取得令人滿意的控制效果。

圖4 存在測量噪聲時控制器式(39)與控制器式(40)作用下系統仿真結果對比Fig.4 Comparison of simulation results between controller Eq.(39) and controller Eq.(40) when measurement noise exists

圖5 飛行包線設計點位置分布圖Fig.5 Design point position distribution in flight envelope

圖6 仿真過程中PLA隨時間變化關系Fig.6 Variation of PLA with time in simulation process

圖7 發動機在不同工作點處大范圍階躍跟蹤控制仿真結果Fig.7 Simulation results in wide-range step tracking control at different operating points of engine

5 結 論

以某型雙轉子、小涵道比渦扇發動機為對象，進行了基于多變量分散跟蹤控制的全包線大范圍增益調度控制器設計與應用研究。主要結論如下：

1) 設計了具有動態響應可調的單點分散魯棒跟蹤控制器，并在此基礎上采用參數調整法減小控制器增益從而抑制噪聲存在時控制變量的抖動，同時逐步推進得到相鄰設計點分散魯棒跟蹤控制器參數。

2) 在飛行包線內取了53個設計點，每個設計點設計了72種設計階躍，采用遞進法得到所有設計點下所有設計階躍的控制器參數，并列于插值表中，利用設計好的插值表得到航空發動機在任意飛行條件下從任意工作狀態階躍到另一工作狀態時控制器參數。

3) 基于某型雙轉子、小涵道比渦扇發動機部件級模型，進行PLA大范圍變化時轉速和壓比控制仿真。通過設計點和隨機選取的非設計點仿真結果表明：所設計的基于多變量分散跟蹤控制的全包線大范圍增益調度控制器能夠保證航空發動機在飛行包線內任意飛行條件下從任意起始工作狀態都能快速平穩無穩態誤差地過渡到另一工作狀態。