二維陣列換能器聲輻射力分布的計算分析

徐佳新，馬建敏

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二維陣列換能器聲輻射力分布的計算分析

徐佳新，馬建敏

(復旦大學航空航天系，上海 200433)

利用角譜理論得到了圓形活塞換能器陣元組陣后作用在平面懸浮物體上的聲輻射力分布公式。通過數值仿真，分析了換能器頻率、陣元間距以及陣元數目對聲輻射力分布的影響。計算結果表明，換能器組陣使得聲輻射力分布的指向性變窄，強度增強；隨著換能器頻率的提高、陣元間距的增大以及陣元數目的增多，聲輻射力分布的主瓣更尖銳，但陣元間距的增大會使聲輻射力分布的旁瓣增高。為了改善聲輻射力的空間分布，采用偽逆矩陣算法，以能量增益為目標函數，通過調節換能器陣元表面振動速度的幅值和相位來形成多焦點的聲輻射力分布，為陣列換能器聲輻射力分布的調控和聲懸浮穩定性的研究提供幫助。

陣列換能器；角譜理論；聲輻射力分布；空間調控；

0 引言

聲懸浮較于磁懸浮，最大的優點就是不受懸浮物材料限制，因此具有廣闊的應用前景。國內外學者在聲懸浮方面也頗有研究。文獻[1]中通過駐波懸浮實現了無容器條件下Ni-Sn合金的共晶生長。駐波比行波能產生更大的聲輻射力，讓物體穩定在波節點處，但要求懸浮物體要遠小于半波長。對于大物體，可以采用近場懸浮，Su Zhao等[2]激勵直徑為120 mm的鋁圓盤，成功地將16 g的光碟懸浮了半波長高度。

為了獲得更強的聲輻射力，可采用換能器組陣的方式，經過實驗發現換能器組陣的確可以把物體懸浮到更高位置，遠遠不只是近場懸浮所說的半個波長高度；不過換能器組陣以后會使得聲場的指向性增強，并且懸浮物體受到的聲輻射力分布也變得很復雜。為了提高聲懸浮的穩定性，可以調節二維換能器陣元表面振動速度的幅值和相位來調控聲場，使得聲輻射力分布趨于平均。本文以圓形活塞換能器為例，采用角譜理論推導出換能器組陣后作用在遠場平面懸浮物體上聲輻射力的分布公式，分析換能器頻率、陣元數目、陣元間距對聲輻射力分布的影響，并且采用偽逆矩陣算法，以能量增益為目標函數，通過調節換能器陣元的表面振動速度的幅值和相位來形成多焦點的聲輻射力分布。

1 換能器組陣聲輻射力分布計算

對于任意聲場可以看成一系列不同振幅的平面聲波的疊加[3]：

那么，該陣元的振動速度角譜由傅里葉-貝塞爾變換可得[4]：

按照圖1排布的換能器陣的振動速度角譜可以采用陣列原理來計算。

圖 1 二維換能器陣列

將式(6)代入式(3)，再由卷積定理，求出換能器陣表面振動速度角譜為

圖 2 平面物體的聲懸浮

由角譜理論可知，任意聲場可以分解成一系列振幅不同的平面聲波[3]：

現只取其中的一束平面聲波進行分析，由圖2可以看出，該平面聲波的入射角為

假設該束平面聲波遇到上方無限大的平面物體，在物體下表面發生全反射，那么換能器陣和懸浮物之間的聲場速度可以表示為

由換能器陣表面的速度邊界條件：

將式(11)代入式(10)，可以得到聲場速度表達式：

式(12)中，下角i和r分別代表入射和反射平面波。對于平面行波，作用在物體上的聲輻射力可以由式(13)給出[6]：

由于系統的對稱性，平面懸浮物體所受到的和方向的聲輻射力合力為零，故本文只考慮豎直方向上的聲輻射力。將式(12)代入式(13)，可求出由角譜法展開的單束平面聲波作用在平面懸浮物上，聲輻射力在方向上的分量為

角譜法表示的積分即式(15)一般情況下很少有精確解，一般都采用數值算法進行計算，但是當聲波頻率比較高時，被積函數震蕩劇烈，積分步長不合適會引入很大的誤差，故本文采用最快速下降法[7]來進行計算，積分漸近公式為

比較式(15)和式(16)可知，

將式(17)～(20)代入式(16)中并化簡，可近似求出換能器組陣以后作用在平面懸浮物上的聲輻射力分布：

2 聲輻射力分布的計算與分析

通過以上對換能器組陣以后作用在平面懸浮物上聲輻射力分布公式的推導，本文以MATLAB為編程工具，對作用在平面懸浮物上聲輻射力分布進行計算仿真，分析換能器頻率、陣元間距、陣元數目對聲輻射力分布的影響。在仿真過程中，假設空氣為理想介質，并取圓形活塞換能器半徑=0.008 m，懸浮物體懸浮高度=0.01 m，陣列排列形式如圖1所示。為了方便觀察，聲輻射力分布皆取在平面(見圖2)上進行分析。

2.1 頻率對聲輻射力分布的影響

由式(21)可知，考慮不同頻率的換能器組陣對聲輻射力分布的影響。在矩形3×3排列、陣元間距=0.020 m的換能器陣情況下，分別取換能器頻率為5 kHz、10 kHz、20 kHz經過仿真得到的聲輻射力分布如圖3所示。

圖3 聲輻射力分布與頻率的變化關系

通過圖3顯然可以看出，提高換能器的頻率，作用在平面懸浮物體上的聲輻射力分布指向性變強，主瓣越來越尖銳。

2.2 陣元間距對聲輻射力分布的影響

保持換能器陣元頻率為20 kHz且換能器陣為矩形3×3排列不變，由式(21)分別計算矩形換能器陣列的陣元間距=0.020，0.024，0.028時，聲輻射力分布情況如圖4所示。可以看出，隨著陣元間距的增加，換能器陣總體尺寸變大，聲輻射力分布的主瓣變得尖銳，指向性增強。但是陣元間距的增加會導致整個換能器陣列的單位面積的有效振動面積減小，旁瓣不能得到有效抑制。

圖4 聲輻射力分布與陣元間距的變化關系

此外，由于圓形換能器的頻率固定，聲波在特定的介質中傳播的波長也是一定的，所以通常把/作為整體變量來研究陣元間距對指向性的影響。

當換能器的頻率為20 kHz時，對應的波長為0.017 m，考慮到圓形換能器尺寸的影響，本文接下來分別取/=1.5，2.5，3.5，來考慮/與聲輻射力分布旁瓣的關系，如圖5所示。

圖 5 聲輻射力分布與d/λ的關系

2.3 陣元數目對聲輻射力分布的影響

同樣保持換能器陣元的頻率為20 kHz，陣元間距0.020 m，換能器陣列分別為3×3，5×5，7×7排列，用式(21)仿真分析陣元數目對聲輻射力分布的影響。通過仿真分析得到作用在平面懸浮物體上聲輻射力分布隨陣元數目的變化規律，如圖6所示。

從圖6中可以看出，隨著換能器數目的增加，聲輻射力的分布的指向性越來越尖銳而且旁瓣也得到了有效地抑制。所以，應在條件允許的情況下盡可能地增加換能器陣元的數目。

圖 6 聲輻射力分布與陣元數目的變化關系

3 聲輻射力分布的空間調控

由以上對換能器組陣以后作用在平面懸浮物上聲輻射力分布的分析可知，換能器數目越多，輻射的聲能量越大，能夠產生的聲輻射力也越大。但是隨著換能器陣列陣元數目的增加，聲場的指向性增強，聲輻射力也會向中間聚集，導致聲懸浮不穩定。為了提高聲懸浮的穩定性，本文用偽逆矩陣算法合成多焦點聲場的相關理論[8]來調節換能器陣元表面振動速度的幅值和相位，從而調控聲輻射力的空間分布。

不妨取：

那么，式(22)可以表示為

當換能器數目大于控制點的數目時，換能器陣元的復表面振動速度向量可以用偽逆矩陣來表示，表達式為

為了調控空間聲輻射力的分布，實現穩定的聲懸浮，在懸浮物體底面設定多個幅值相同的控制點，使得聲輻射力在這些控制點處“聚焦”。因此，就要求換能器陣產生的能量主要用于在控制點處產生足夠大的聲輻射力，而在其他位置產生的聲輻射力很小。

換能器陣產生的總聲能量為

當物體穩定懸浮時，控制點處聲輻射力相對于其它位置足夠的大，可以認為懸浮物僅僅是由控制點處的聲輻射力支撐，那么懸浮物體的重力勢能可以表示為

本文引入能量增益的定義如下[9]：

此時，能量增益為

將式(31)代入(27)，即可求出每一個換能器陣元的復表面振動速度。將求出的每個陣元的復表面振動速度代入式(22)，即可得到調控以后的聲輻射力分布。

4 聲輻射力分布的空間調控算例

當然，還可以根據平面懸浮物體的尺寸，適當增加焦點的數量或者調節焦點的位置。比如可以產生如圖8所示的以邊長為0.04 m的正方形和邊長為0.12 m的正方形的頂點為控制點的8焦點聲輻射力分布，能夠實現更穩定的聲懸浮。

圖7 四個焦點的聲輻射力分布

圖 8 八個焦點的聲輻射力分布

5 結論

本文運用角譜理論對換能器組陣后作用在平面懸浮物體上的聲輻射力分布公式進行推導，并且分析了換能器頻率、陣元間距以及陣元數目對聲輻射力分布的影響，得到了以下結論：

(1)換能器頻率的提高，陣元間距以及陣元數目的增加，都會導致作用在平面懸浮物體上的聲輻射力分布的主瓣更加尖銳；但是增大陣元間距會使得對聲輻射力分布的旁瓣抑制效果減弱；

(2)通過偽逆矩陣算法，以能量增益為目標來調節換能器陣元的振幅和相位，可以形成多焦點的聲輻射力分布，為陣列換能器聲輻射力分布的空間調控和聲懸浮穩定性研究提供了新思路。

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Calculation and analysis of acoustic radiation force distribution of a two-dimensional transducer array

XU Jia-xin, MA Jian-min

(Department of Aeronautics and Astronautics, Fudan University, Shanghai 200433, China)

According to angular spectrum theory, the distribution of acoustic radiation force acting on the planar levitation object is derived. Through numerical simulation, the influence of transducer frequency, element spacing and the number of elements on the acoustic radiation force distribution is analyzed. The analysis result shows that the transducer array enhances the intensity and directivity of acoustic radiation force; with the increases of frequency, element spacing and the number of array elements, the main lobe of acoustic radiation force distribution becomes sharper. However, increasing element spacing will raise sidelobes of acoustic radiation force distribution. In order to improve space distribution of acoustic radiation force and to form multi-focus acoustic radiation force distribution, the amplitude and phase of the each element are adjusted by using the pseudo inverse matrix algorithm and choosing sound intensity gain as the objective function. It provides help for regulating the distribution of acoustic radiation force and for the study of acoustic levitation stability.

transducer array; angular spectrum theory; acoustic radiation force distribution; spatial regulation

TB559

A

1000-3630(2018)-04-0398-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2018.04.018

2017-07-13;

2017-10-18

徐佳新(1994－), 男, 江蘇南通人, 碩士研究生, 研究方向為聲波輻射及其控制。

馬建敏, E-mail: jmma@fudan.edu.cn