基于混合規避策略的期權定價及其數值分析

潘雪勤

摘要考慮現實市場中紅利的存在、波動率等參數隨時間變化以及交易時間不連續產生的對沖風險不可忽略，研究離散時間、支付紅利條件下基于混合規避策略的期權定價模型.由平均自融資-極小方差規避策略得到相應歐式看漲期權定價方程，并且分別使用偏微分方法和概率論方法得到統一的閉形解.數值分析表明，與經典的期權定價模型相比，新模型中的期權價格更接近對沖成本.

關鍵詞概率論；期權定價；規避策略；Feynman-Kac公式；蒙特卡洛模擬法

中圖分類號O213 文獻標識碼A

Option Pricing and Its Numerical Analysis

Based on Mixed Hedging Strategy

Xueqin Pan

（School of Mathematics， South China University of Technology，Guangzhou， Guangdong510640， China）

AbstractEssentially， considering the existence of dividend， the change of volatility with different time， and the fact the risk of hedging caused by a discrete time case cant be neglected in the real world， this paper studies the option pricing model based on the mixed hedging strategy in a discrete time incomplete market and dividend payout. The corresponding European call option pricing equation is obtained from an average selffinance minimal variance hedging strategy， and then the partial closedform solution is obtained from the partial differential method and the probability theory method in detail. From numerical analysis， we found that the option price in the new model is closer to the hedging cost than the BS model. It illustrates that residual risks， risk preference， the trading frequency and dividend as well as the mixed hedging strategy play an important role in option pricing and portfolio hedging in a discrete time case.

Key wordsprobability theory； option pricing； FeynmanKac formula； Monte Carlo simulation

1引言

美國經濟學家Black和Scholes（1973）[1]首先提出了BlackScholes模型（簡稱BS模型），模型在標的資產價格變化服從幾何布朗運動的假設下，利用風險中性定價和無套利原理推導出期權定價公式.隨后，學者們試著在此基礎下放寬一些現實條件，以獲取更加適合市場的模型.Merton（1073）[2]考慮了跳躍點和股票支付紅利的情況.Cox、Ross和Rubinstein（1979）[3]提出了二叉樹期權定價模型，考慮股價是服從二項分布的模型.Leland（1985）[4]首次檢驗了有交易成本且在離散場合考慮到了期權復制的問題.關于期權定價的理論研究和綜述文獻已相當豐富，Potters、Bouchaud和Sestovic（2001）[5]提出了一種新的“對沖”蒙特卡羅（HMC）方法進行定價，Mastinek（2006）[6]改進離散時間對沖套期保值，XT Wang、Z Li和L Zhuang（2017）[7]提出了一種新的方法來根據學生的噪音跳躍來定價歐式選項.而探尋更加符合市場的期權定價模型成為眾多學者關注學習的重點.

2期權定價方程的建立

Markowitz（1953）[8]提出了均值-方差（MeanVariance）規則，被廣泛應用于研究與實踐決策規則，其實它對離散時間場合的期權定價模型亦有著非常大的影響.B-S模型是建立在眾多條件（標的資產服從幾何布朗運動，無交易費，不支付紅利q=0，連續時間交易，股票期望收益率μ、股票波動率σ和無風險利率r為常數等）的理想環境下，偏離現實因素.因此，探究離散時間和支付紅利條件下，且考慮μ，σ，r，q均為時間t的函數的期權定價模型，具有重要的理論價值.

首先給出5個基本假設（以歐式看漲期權為例）：

假設1 股票價格適合離散時間隨機過程δSt=μtStδt+σtStδBt，其中，μt和σt均為t的函數，{Bt}t∈0，T為完備概率空間（Ω，Ft，P）上標準一維布朗運動，{Ft}t∈0，T為布朗濾子族；

假設2 股票紅利率為qt，無交易費用、稅收；

假設3 無風險利率rt為時間t的函數；；

假設4 在離散時間下交易，交易時間間隔為δt>0.

假設5 無賣空限制，且市場是無套利的，即便存在套利機會，也會被快速消除.

由于交易是在離散時間進行的，由股票與無風險證券構成的投資組合不可能完全規避期權的風險，現在考慮此風險對期權定價的影響.

在一個由股票St=S0exp ut-σ2t2t+σBt和債券Dt=D0ert兩類資產組成的簡單金融市場.在t，t+δt時間段內，由泰勒公式可以求得δSt和δDt的展開式，且

（δSt）2=S2t2ut-σ2t2σδtδBt++

S2tσ3t（δBt）3+S2tσ2t（δBt）2+G2（δt）（1）

其中，E（G2（δt））=o（δt）.

考慮由其組成的投資組合Πt： Πt=X1（t）St+X2（t）Dt，X1（t），X2（t）為相應份額[9]，由一價定律，該復制策略的初始值將被用來作為期權的價格C=C（t，St）.

在t，t+δt時間段內，投資組合的價值變化為δΠt=X1（t）（δSt+qtStδt）+X2（t）δDt，假定C（t，St）對t連續可微，對St二階連續可微，則期權的價格變化可表示為：

δC=Ctδt+（CS+2CtSδt）δS+

122CS2（δS）2+G3（δt），

其中E（G3（δt））=O（（δt）2）=o（δt），令

A1（t）=Ct-rtX2（t）Dt-qtX1（t）St，

A2（t）=CS+2CtSδt-X1（t），

A3（t）=122CS2.

可得

δC-δΠt=A1（t）δt+A2（t）δS+

A3（t）（δS）2+G3（δt）. （2）

將δSt 和式（1）代入式（2），可得

δC-δΠt=

A1（t）+A2（t）Stut-σ2t2δt+

12！σ2tA2（t）St+σ21A3（t）S2t（δBt）2+

σA2（t）St1+ut-σ2t2（δT）+

A3（t）S2t2ut-σ2t2σ1δtδBt+

13！A2（t）St+σ3tA3（t）S2t（δBt）3+G4（δt）.

式中

G4（δt）=A2（t）G1（δt）+A3（t）G2（δt）+G3（δt），

E（G4（δt））=O（（δt）2）=o（δt）.

Giovanni、Ortobelli和Rachev（2008）[10]分析不同了的期權定價模型.可以得出離散時間下δt不趨于0，無法進行自融資復制，找不到完美的規避策略.Wang、Zhao和Fang（2015）[11]考慮了離散時間不完全市場期權定價和投資組合套期保值.受MV規則的啟發，基本思路是：投資組合Πt在平均自融資條件下復制期權，并使得該復制誤差的方差極小化，即：

MinX1（t）Var（δC-δΠt）s.t. E（δC-δΠt）=0， C（t，St）=X1（t）St+X2（t）Dt.

求得：

A1（t）=uA2（t）St+σ2tA3（t）S2t=0.

新模型相對于文獻[11]的模型，考慮了支付紅利且μ，σ，r，q均為時間t的函數，更具有參考價值.

因為所求Var（δC-δΠt）=E（δC-δΠt）2是關于X1（t）的拋物線，為了使Var（δC-δΠt）最小化，只需Var（δC-δΠt）X1（t）=0，忽略（δt）2和2CtSδt，可得

X1（t）=CS+（ut+3σ2t2）δt1+2μtδt+σ2t2δtSt2CS2t.

稱X1（t）為混合delta規避策略（收益和風險雙目標），它是對是B-S delta規避策略的某種推廣.

再由C=X1（t）St+X2（t）Dt，得到期權定價方程：

Ct+（rt-qt）SCS+σ^2t2S22CS2-rtC=0，

其中，σ^2t=σ2t+2（rt-μt）（μt+32σ2t）δt1+2μtδt+σ2t2δt ，當δt充分小時，σ^2t=σ2t.

3期權定價公式的求解

由于μ，σ，r，q，均為時間t的函數，傳統的BS模型公式求解方法已不再適用，本節中由兩種方法得出統一的期權定價公式.

3.1偏微分方法求解公式

為了得出有效期[0，T]內期權的價值，就要在Ω：{0≤S<∞，0≤t≤T}上求解定解問題：

Ct+rSCS+σ22S22CS2-rC=0，

C（T，ST）=（S-X）+=max（ST-X，0）.

作以下代換x=ln S，τ=T-t，使得變系數變成了常系數[12].為了轉化為熱傳導方程的初值問題，令函數變換C=Veατ+βx，并消去eατ+βx，得到

Vτ-σ222Vx2-（βσ2+r-σ22）Vx+

r-β（r-σ22）-σ22β2+αV=0

通過適當地選取常數α，β，這里令

β=12-rσ2，

α=-r-12σ2（r-σ22）2.

可得到方程：

Vτ-σ222Vx2=0，

V（x，0）=e-βx（ex-X）+.

由通解泊松公式得解[13]：

V（x，τ）=1σ2πτ∫

SymboleB@ lnXe-（x-ξ）22σ2e（1-β）ξ-Xe-βξdξ.

帶回原變量得：

C（x，τ）=Vx，τexp{-rτ-12σ2（r-σ22）2τ-

1σ2（r-σ22）x}=I1-I2.

這里I1=exN（d（x）στ） ，I2=Xe-rτN（d（x）στ）.其中，

η=x-ξ+（r-σ22）τ，

d（x）=x-lnX+（r-σ22）τ，

N（x）=12π∫x-∞e-λ22dλ，

λ=η+σ2τστ.

帶回原變量，可得歐式看漲期權的定價公式為

Ct（S，t）=StN（d1）-Xe-r（T-t）N（d2）.

其中

d1=1σT-tlnS/X+（r+σ22）（T-t） ，

d2=d1-σT-t.

3.2概率論方法求解公式

為了得出[0，T]內期權的價值，就要在Ω：{0≤S<∞，0≤t≤T}上求定解問題（3）[14]：

關于f（x，T）=g（x），對應FeynmanKac求解問題為：

ft+μ（x，t）fx+12γ（x，t）γ（x，t）2fx2-R（x，t）f（x，t）+h（x，t）=0，（x，t）∈（0，+∞）×[0，T）.

利用It公式求解ξτ：

∫Ttdlnξτ=∫Tt（r-σ22）dτ+σ（BT-Bτ）.

有ξ→S，即

ST=Stexp {（r-σ22）（T-t）+σ（BT-Bτ）}.

那么對應于FeynmanKac的解：

C（S，T）=Eφt，Tg（ST）=

e-r（T-t）E（ST-X）+

=e-r（T-t）∫

SymboleB@ y0（Ste（r-σ2/2）（T-t）+σy-X）fy（y）dy

=I1-I2，

其中y0=1σlnXSt-（r-σ22）（T-t），

I1=St2π（T-t）∫∞y0exp{-12yT-t-（T-t）σ2}dy，

f（y）=exp{-y22（T-t）2π（T-t）}.

進而可得歐式看漲期權的定價公式，同上.

4數值分析

4.1規避策略影響

在無紅利條件下，對得到的新模型（4）與B-S模型期權定價公式數值分析，由此來解釋規避策略對期權定價的影響和作用.

以下股價數據來自于參考文獻[15]中第17章.

某一金融機構賣出100000份無股息股票的歐式看漲期權，假定到期日T = 20/52，交割價格X = 50美元，股票的期望回報率μ = 0.05，無風險利率r = 0.13，波動率σ = 0.2.

通過Matlab編程，模擬對沖策略的再平衡過程，得到表1，其中對沖交易時間間隔δt =1/52年.從表1可以發現規避策略X1（t）的對沖誤差小于delta規避策略對沖誤差，因此，在混合規避策略下的期權定價更貼合實際情況.

對沖的目的是為了保證交易組合價值的穩定，可以得到結論：

（1）隨著交易頻率的加大，X1（t）和delta對沖效果都穩步上升.

（2）隨著執行價格的提高，X1（t）和delta對沖效果都穩步降低.

（3）兩種策略下的對沖表現比較逼近，其中在虛值期權且交易時間間隔比較小的狀態下，新模型較優于BS模型.

4.2模型的定價誤差分析

選取上證50ETF股票期權來分析兩種模型下的定價結果的誤差.其中選取了9月份到期的執行價格分別為2.30，2.35，2.40，2.45，2.50元的五份看漲期權，期權發行日為2017.2.23，2017.3.31標的資產價格為2.356，期初價格為2.366.

合約代碼分別為10000843，10000844，10000845，10000846，10000847.

在股票價格服從幾何布朗運動的假設下，可求得其對數收益率μ=0.164，波動率σ=0.331.下面是不同紅利率q下的結果如圖1所示.

執行價格（a） 兩模型的定價誤差比較（q = 0）

執行價格（b） 兩模型的定價誤差比較（q = 0.05）

由圖（a）和圖（b），在紅利率為零時，新模型的結果略優于BS模型；當添加紅利（q = 0.05）時，結果更加顯著，可以看出新模型在改變紅利率值的情況下可以逐漸逼近實際期權價格.

5結論

考慮離散時間和支付紅利條件下基于混合規避策略的期權定價模型，并給出解析解以及詳細求解過程.數值分析表明，新模型規避策略相對于傳統模型誤差更加小，特別是在虛值期權且交易時間間隔比較小的狀態下，可以得出風險偏好μ、交易頻率δt和紅利率對期權價格有著重要影響，新模型定價公式具有一定的參考意義.

參考文獻

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