淺談高中數學中的例題變式教學

夏友明

摘要：課堂教學中的各環節如果能夠自然過渡，將會收到理想的教學效果。數學課堂中的例題教學是一個非常重要的環節，本文對例題的變式教學進行了闡述，旨在使一堂課前后連貫，自然順暢。

關鍵詞：數學教學；例題教學；流暢

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）06-0094

王國維先生在《人間詞話》第四十章論述了詩詞的“隔”與“不隔”之分，其大意為：在寫詩或寫詞的時候，在情與境之間、境與境之間、句與句之間，語義連接之間要過渡自然，不露痕跡，狀若行云流水是為“不隔”，反之就是“隔”。由此，筆者想到了高中數學課堂教學，如果我們在數學課堂設計中，能夠注意各個環節之間、師生之間的活動、情感交流的自然過渡，水乳交融，使整個課堂教學過程狀若行云流水，那應該是一堂“不隔”的好課。反之，可以說是一堂“隔”的課。這里，筆者只想對新課程中數學例題教學的“隔”與“不隔”發表一下自己的看法。

例題教學的“隔”與“不隔”，例題之間的關系能否設計得恰當，自然過渡關系到對于整堂課的“隔”與“不隔”的評價。如果僅僅為了強化某一知識點，而機械地堆積例題，例題之間孤獨兀立，聯系松散，自然難免有“隔”的嫌疑。那么，在例題教學中如何做到“不隔”呢？筆者認為，對例題進行巧妙的變式教學，是實現數學課堂“不隔”的基本手段。一般來講，對于一個例題進行變式主要有以下三種方式：

一、基于同一種知識背景下的變式

這是在課堂中為了強化對某一知識點的理解和應用而使用的變式。例如：在函數單調性的教學中，課本必修（1）有這樣一個例題：求證函數f（x）=-1/x-1在區間（-∞，0）上是單調增函數。要想讓學生真正理解函數單調性的定義，這一個例題顯然是不充分的，肯定還要再加上一定的例題或練習，如果拋開該例題，另起爐灶找幾個題目也未嘗不可，但筆者以為至少有兩個缺點：一是對該例題沒有研究充分，沒有達到此例的最大效果；二是其他題目不易和課本有機地聯合，稍稍有點“隔”，有脫離課本之嫌。為此，筆者做了以下變式設計：變式（1）：函數f（x）=-1/x-1在區間（0，+∞）上是單調增函數還是減函數？變式（2）：函數f（x）=-a/x-1（a>0）在區間（0，+∞）上是單調增函數還是減函數？變式（3）：函數f（x）=-a/x-1（a≠0）在區間（0，+∞）上是單調增函數還是減函數？變式（4）：討論函數f（x）=-a/x-1（a≠0）的單調性。變式（5）：函數f（x）=-a/x-1（a≠0）在區間（0，+∞）上是單調增函數，試求a的范圍。當然，在需要的情況下，我們還可以把題目的難度繼續加大，直到達到我們預期的目的。這樣做過渡自然，合情合理，讓學生在不自覺的狀態下加深了對函數單調性的理解，加深了對該例題的理解，而且自然而然在大腦中對這一類問題的規律有了清醒的認識，一氣呵成，自然順暢。

二、基于同一種思想方法背景下的變式

這是在課堂中為了強化學生對某一思想方法的理解與掌握而使用的變式。例如，在解析幾何的求曲線的方程教學中，為了使學生深刻理解“消參”思想，我們可以把參數法、動點轉移法和五式法統稱為參數法合在一起進行變式教授，從而使學生建立明確的消參思想：消一個參數，需要兩個等式，消兩個參數需要三個等式，自然地，消四個參數必須建立五個等式，即所謂的“五式法”。同時，動點轉移法可以叫做一點參數法，其意義是：所求軌跡上的動點，隨著已知曲線上的一個動點（點參數）的運動而運動。而五式法又可以叫做兩點參數法，其意義是：所求軌跡上的動點，隨著已知曲線上的兩個動點（兩點參數）的運動而運動。推而廣之，如果你設了N個參數，只要你找到N+1個等式就可以消去，加深了學生對“消參”思想的認識。這樣授課，要比把這三種方法分缽取食好得多。

三、基于同一題目結構下的變式

一般來講，一個題目的結構大致是這樣組成的：條件（1）、條件（2）、條件（3）……結論。先在所有這些條件與結論中分析可以變動的元素，然后根據需要進行變式。例如，選修2-1有這樣一道例題：求平面內到兩個定點A、B距離之比等于2的動點M的軌跡方程。通過分析，題目中可以變化的元素有：定點、距離、之比為2。于是便有了以下幾類變式：第一類，變動兩定點為一定點和一定直線。第二類，距離可以改為直線MA、MB的斜率之間的關系，或者改為∠MAB和∠MBA之間的關系。第三類，變比這種運算為和、差、積或者平方和等等更加復雜的運算。第四類，改變運算的結果2為其他數，又可以得到很多的變式。通過這樣的分析，該例題就是一個非常經典的例題，由此可見，課本的編排者在這一題上是煞費了苦心。

解決了對例題的變式，更重要的是如何處理這些變式。基于學生的認識水平，有的可以教師講解，有的可以學生練習，有的可以討論等。不管怎樣，筆者認為應該把握“引而不給”的基本原則與策略。“引而不給”的教學策略在練習中可充分使用。所謂“引而不給”指在教學過程中，重在引導，不給定論的教學策略。在練習課中，教師角色的變換更加凸現：教師是一個組織者，讓出更多的時間和空間由學生來發揮；教師是一個引導者，當學生需要時啟迪學生思考，適時適度地點撥與引導能給予學生很大的幫助。

總之，教師在深刻地研究例題及其變式以后，就可以退居幕后變成學習的組織者，可以讓出更多的時間讓學生來表現。教師應該是催化劑，只要在學生需要的時候，像春雨潤物那樣啟迪學生思考。所謂的課堂“不隔”，最重要的是讓學生的認識過程自然順暢，毫無阻塞。表面上教師在課堂中明顯地退隱了，實際上對教師的要求更高了。

（作者單位：貴州省畢節市實驗高級中學 551700）