線性二自由度車輛模型橫擺角速度和轉彎半徑的計算方法改進

黃新，丁志中

(1. 蕪湖技師學院，安徽蕪湖 241000；2.合肥工業大學計算機與信息學院，安徽合肥 230009)

0 引言

汽車穩態轉向特性的研究對于提高行駛安全性十分重要，穩態轉向是指一種穩定的轉彎狀態，該狀態下車輛的速度和轉向角是定值，從而以固定的轉彎半徑轉彎行駛[1]。一方面，這個固定的轉彎半徑越逼近實際的彎道半徑，汽車的操縱穩定性越高，因此如何計算轉彎半徑，令其最大限度地接近實際彎道的半徑尤其重要。另一方面，在自動駕駛技術中，車輛行車軌跡的準確預測是事關行車安全的重要問題，它可為自動駕駛決策系統提供重要的參考數據。直行車道上的行車軌跡可以由速度、加速度等參數給出較為準確的短時預測。由于彎道的場景相對復雜，行車軌跡預測需要探索更好的方法。

二自由度車輛模型作為汽車的基本轉向操縱模型，雖然相對簡單，但已能體現車輛操縱動力學的基本特征，構成了復雜操縱模型的基礎。很多學者提出了利用二自由度車輛模型對穩態轉向特性進行分析和研究[2-7]，其中文獻[4-7]中利用二自由度車輛模型給出了穩態轉向特性下橫擺角速度和轉彎半徑的計算公式，但都是在假設前輪轉角比較小的情況下通過近似處理得到的。當前輪轉角較大時，按照上述文獻所給公式計算得到的轉彎半徑過大，與實際車輛轉彎的經驗值偏差較大。

文中對經典文獻中基于二自由度基本操縱動力學模型求出的穩態轉向特性下橫擺角速度和轉彎半徑的計算公式進行了修正，以使修正后轉彎半徑的計算結果更接近真實的彎道半徑。

1 穩態轉向橫擺角速度計算修正

由文獻[6]中可知在汽車參數已知的情況下，當車輛以一恒定速度進行穩態轉向時，車輛的穩態轉彎半徑與橫擺角速度有關，因此在對車輛的穩態轉彎半徑進行求解前，應首先求出橫擺角速度。在二自由度模型建立的運動方程中，二自由度指側向速度和橫擺角速度，因此利用二自由度車輛模型求解橫擺角速度，既可以簡化計算又可以得到橫擺角速度。

二自由度車輛模型是在相對合理的近似和假設條件下簡化的，此時車輛只具有側向運動和橫擺運動兩個自由度[8]。這些近似和假設包括：車輛行駛于平坦路面、忽略與行駛動力學相關的垂向影響及耦合作用、車輛結構是剛性的等。

圖1是簡化的汽車二自由度模型，其中點O′是汽車轉彎中心，R是轉彎半徑，點O是汽車的運動質心，β是汽車質心側偏角，δ是汽車前輪轉角，ωr是汽車橫擺角速度，v是汽車質心行駛速度，vO是汽車質心處的縱向速度分量，uO是汽車質心處的橫向速度分量，u1、u2分別是汽車前、后輪中心的速度，α1、α2分別是前、后輪的側偏角，Fy1、Fy2分別是前后輪所受的側向力，a、b分別是質心到前后輪軸心的距離，L是汽車軸距。

圖1 二自由度車輛模型

由牛頓第二定律和轉動定律可得：

(1)

當前輪轉角比較小時，側向力與側偏角呈線性關系[9]：

Fyi=ki·αi(i=1,2)

(2)

其中：ki是側偏剛度，在兩輪模型下分別為一個前輪或后輪側偏剛度的兩倍。

結合圖1的角度關系以及利用近似分析法，可得到側偏角與橫擺角速度以及質心側偏角的關系式(詳細推導過程見文獻[10])：

(3)

(4)

因此，式(1)可化為：

(5)

分析式(5),當整車參數m、a、b、k1、k2被給定的情況下，此時兩個方程組對應三個未知數質心側偏角β、橫擺角速度ωr、加速度ay。當未知數個數大于方程個數時，方程的解不是唯一的而是無窮解，此時加速度ay可以利用固結于汽車的車輛坐標系分析求解。

如圖2所示，將沿彎道行駛的汽車看成是質心運動，為了便于分析比較(t+t)時刻相對于t時刻y軸方向的速度增量，先將(t+t)時刻的速度按照固結于(t+t)時的車輛坐標系分解，再利用與t時刻固結于車輛的坐標系平行的坐標系進行分析(參見圖2中左上坐標系圖)。

圖2 汽車運動的坐標系

通過對圖2中汽車由t時刻到(t+t)時刻的運動進行分析，得到加速度的表達式(詳細推導過程參見文獻[10])：

(6)

其中：ωr是橫擺角速度。

將式(6)代入式(5)后整理得：

(7)

因為質心側偏角β較小，可以認為：

vO=vsinβ≈vβ；uO=vcosβ≈v

(8)

同時考慮到汽車的穩定轉向特性，可令：

(9)

因此式(7)可以進一步化簡為：

(10)

式(10)中上下兩式相減，可以解出β和ωr的關系為：

(11)

其中：L=a+b。將β代入式(10)可求得橫擺角速度ωr，詳細過程如下：

因此橫擺角速度ωr的表達式如下：

(12)

其中

同時，結合內外部因素來看，許多大型重污染企業期望通過上市實現低成本融資、提升原始投資人的價值、獲得資本市場上的強大收購能力、提升企業的知名度，在國家強制規定上市污染企業的年報必須對環境行為進行披露的情況下，為獲得投資人的認可、成為股民的選擇，企業迫于外界壓力和自身需求，往往會在環境行為方面進行合理化投資。

(13)

而K為穩定性因數[9]，定義為：

(14)

至此給出了文中推導的穩態轉向特性下的橫擺角速度計算修正公式，下節利用該橫擺角速度求穩態轉向特性下的轉彎半徑。

2 穩態轉向特性下的轉彎半徑

車輛在轉彎時，駕駛員的操控就是使得汽車的自身轉彎半徑盡可能和彎道半徑相吻合，以實現安全平穩的彎道行駛。因此，車輛轉彎半徑的計算非常重要，如果得到與實際彎道比較相符的半徑，必然會提高穩態轉向安全性。

文中對以往文獻給出的轉彎半徑的計算公式進行了修正，不同于以往前輪轉角較小的假設，求解出前輪轉角較大時對應的轉彎半徑的計算公式，下面即是轉彎半徑的求解過程。

分析圖1中角度關系以及利用三角函數的近似關系得到轉彎半徑的表達式如下(詳見文獻[10])：

(15)

而(α1-α2)是向心加速度的函數[9]，即：

α1-α2=αyLK

(16)

ay=vωr

(17)

因此，轉彎半徑為：

(18)

將ωr的表達式代入式(18)，得到轉彎半徑的最終表達式(19)，過程如下：

(19)

如果將K和K(δ)代入上式，R也可寫為：

當δ很小，cosδ≈1，K(δ)=K，此時橫擺角速度和轉彎半徑近似為：

(20)

(21)

式(20)和(21)是多數文獻資料給出的橫擺角速度和彎道半徑計算公式[1,5,8,9]。可以看出，它是假定cosδ≈1，K(δ)=K時的近似，這一近似使得它只適合于前輪轉角很小和車速較低的情形。式(12)和式(19)是本文作者在前輪轉角比較大的情況下給出的分析結果。對比于(14)，這里將式(13)中的K(δ)稱為“動態”穩定因數，它反映了前輪偏轉角對于K值的影響。

3 靜態與動態穩定因素影響下的仿真分析與比較

文中采用實車數據對橫擺角速度和轉彎半徑進行數值仿真實驗，整車參數具體數值如表1所示[11]。考慮到一些特殊場合，車速計算范圍為0～200 km/h，間隔為5 km/h。

表1 仿真所用參數[11]

由前面分析可知，動態穩定因數與前輪轉角有關，圖3給出了動態穩定因數K(δ)隨前輪轉角變化的曲線，可以看出動態穩定因數隨著前輪轉角的增大而增大。

假定前輪轉角δ為15°，對靜態與動態穩定因數下的橫擺角速度進行數值仿真實驗。

圖3 動態穩定因數K(δ)的變化曲線

圖4是分別利用K和K(δ)計算出的橫擺角速度。如圖4所示，靜態和動態穩定因數下的橫擺角速度的變化趨勢是一致的，但是數值上有細微區別，動態穩定因數下的橫擺角速度總體上比靜態穩定因數下的橫擺角速度稍微偏小。不過總的來說，動態穩定因數K(δ)對于橫擺角速度的影響并不明顯。

圖4 橫擺角速度的計算對比

取前輪轉角δ=15°，假定依據式(21)(即令cosδ=1)計算的轉彎半徑如圖5所示。在車速分別為20,40,60,80,100,120 km/h時，轉彎半徑分別為23.1,68.1,143.3,248.5,383.7, 549.0 m。可以看到，所計算的轉彎半徑偏大。按照文中給出的計算方法式(19)，其結果如圖6所示。

圖5 依據式(21)計算的轉彎半徑

圖6 依據文中修正后的公式計算的轉彎半徑

在車速分別為20,40,60,80, 100,120 km/h時，轉彎半徑分別為22.1,55.2, 91.8,122.9,146.7,164.4 m，根據實際行車過程中的駕駛經驗，該計算結果與實際情況吻合度較好。圖7給出的是這兩種方法在城市道路限速值之下計算的轉彎半徑差別。可以看到，在20 km/h以下速度時兩者計算結果比較接近，速度在40 km/h以上時，修正后公式所得值更為合理一點。

圖7 中低速下轉彎半徑計算值對比

圖8是利用文中提出的轉彎半徑的計算方法計算的δ為5°、10°和15°三個前輪轉角下的轉彎半徑。

圖8 不同轉角下計算的轉彎半徑

在實際的駕駛中，當前輪轉角比較小時，說明彎道比較平緩即彎道半徑比較大，當前輪轉角相對較大時，彎道相對急即彎道半徑相對較小；當車輛以一固定前輪轉角轉動時，轉彎半徑越大即需要更高的車速才能提供足夠的向心力不至于使車輛發生離心運動從而滿足駕駛的安全性。如圖8所示，當車輛以前輪轉角δ=5°轉向時，轉彎半徑隨著車速的增大迅速增大，轉彎半徑相對較大；當車輛以前輪轉角δ=10°和δ=15°轉向時，轉彎半徑亦隨車速的增大而增大，但增大的趨勢相對較小，且轉彎半徑相對較小。由此可見仿真結果與實際駕駛情況基本一致。

圖9給出了前輪轉角為20°～45°時對應的轉彎半徑。然而如圖9所示，當前輪轉角較大且車速較高時，依據文中方法計算的轉彎半徑偏小，這是因為實際駕駛過程中，彎道比較急即轉彎半徑較小時需要較大的前輪轉角，另外文中在對橫擺角速度和轉彎半徑公式的修正中也采用了近似。

圖9 大轉角時采用K(δ)計算的轉彎半徑

4 結論

文中對多數文獻中給出的二自由度車輛模型轉向特性下的橫擺角速度和轉彎半徑的計算公式進行了修正。由仿真結果可以看到，無論是否取cosδ≈1的近似，利用此方法所計算的橫擺角速度差別并不大。動態穩定因數的引入主要改善了轉彎半徑的計算結果，使得轉彎半徑不再隨車速呈現二次曲線上升的趨勢。當車輛以固定的前輪轉角轉向時，多數文獻給出的轉彎半徑的計算偏大，而經過修正后的轉彎半徑的計算能更真實地反映彎道半徑。

需要說明的是動態穩定因數的引入雖然改善了前輪轉角較小時的轉彎半徑，但是在前輪轉角較大時反而使轉彎半徑偏小。