增加Δ算子的G?del n值命題邏輯系統理論的平均真度

王勇勇，惠小靜

延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000

1 引言

眾所周知，數理邏輯一直以來都是一種極具形式化的理論，其自身最大的特點就是符號化，為了攻克這一難題，王國俊在計量邏輯學中，從對基本概念入手，給出了公式真度的定義[1-2]。為此，眾多研究人員在不同的邏輯系統中投身于真度理論的研究，并取得了豐碩的成果[3-4]。

到目前為止，在關注度高的邏輯系統中，因為在G?del命題邏輯系統和Goguen命題邏輯系統中否定性太強，因此對其進一步或深入探究遇到了巨大的障礙。為了克服這一難題，研究引入一種新的算子Δ[5-6]，此算子具有去模糊化的特性，即當a＜1時，Δa=0。當a=1時，Δa=1[15]。因此，基本邏輯系統BL在增加了Δ算子后擴張為BLΔ系統。現如今，在該系統中增加對合否定連接詞后，便可形成SBL_，因此在該系統中Δ演繹定理和強完備性定理的成立就顯而易見了，彌補了G?del系統和Goguen系統的不足，從而，使得有關研究可以成功展開。模糊推理的已知條件均可以轉化為模糊命題，最終得到的結果也是模糊命題，因此推理研究的重點內容是對命題集某個命題的蘊涵關系。與此同時，它實質上刻畫的就是模糊命題的真值。因此，時常將命題和真值同樣對待。在對其進行探究的實際過程中，事實上是對命題的真值進行研究。因此，在模糊推理中，為了實現模糊到分明的轉化，真度作為真值的另一種表現方式，引入Δ這個特殊算子在這里就顯得尤為重要。

正因為這樣，惠小靜在研究中利用Δ算子的特殊性，提出了增加Δ算子的G?deln值命題邏輯系統的概念，同時也證明，在此系統里Δ演繹定理與強完備性定理也是成立的，因此也為在此系統中研究計量邏輯理論提供了可能，而且為日后探究帶有Δ算子的G?deln值命題邏輯系統的其他性質提供了突破口[6]。李駿等在邏輯系統中提出了有限理論間的平均真度的概念[7-8]；惠小靜等討論了G?deln值命題邏輯系統的Δ真度，這將為研究增加Δ算子的平均真度奠定基礎[9]。

本文首先給出了增加Δ算子G?deln值命題邏輯系統的平均真度的定義，接著討論了在該系統下平均真度的一些并與交的相關性質，這為以后近一步在該系統中研究平均真度及建立度量空間打下了堅實基礎。

2 預備知識

定義1[5]（G?delΔn值命題邏輯系統）在值命題邏輯系統中增加了Δ連接詞，公理是在G?del原有的公理之上增加以下公式：

若L是G?del命題邏輯系統的公理化擴張，那么把LΔ稱為L的擴張，其擴張方式就如G?del擴張為G?delΔ一樣，G?delΔ系統中以下Δ演繹定理成立。

定理1[5]（Δ演繹定理）記L是G?delΔ的公理化擴張，那么對任意理論Γ，公式A和B，有：

定理2[5]（強完備性定理）令L是G?delΔ的公理化擴張，那么對理論Γ和公式A，以下條件等價：

（2）對任何一個L代數Κ和任意理論Γ的每個模型e，它們都有e()A=1。

定義3[9]設公式包括m個原子公式是公式 ΔA所誘導出的函數，令：

命題1[9]在G?del系統中，設 A,B,C∈F(S)，則有：

（1）若ΔA是重言式當且僅當τn(ΔA)=1，ΔA是矛盾式當且僅當τn(ΔA)=0；

定義4設Γ為理論，如果Γ全由重言式組成，則稱Γ是完全相容理論；若Γ全由矛盾式組成，則稱Γ是完全不相容理論。

定義5設Γ是全體理論之集，分別定義一元運算?：Γ→Γ和二元運算→：Γ×Γ→Γ如下：

注1顯然，如果定義4中的理論都只包含一個公式時，則Γ上的?運算和→運算在F(S)也同樣適用，因此Γ上的?運算和→運算與F(S)上相應運算的唯一區別就是前者范圍更廣，后者是基礎。

注2由上可知可以，在Γ上分別引進二元運算∨、∧如下：

3 有限理論的平均真度

定義6設理論 Γ={A1,A2,…,Ak}，令則稱τGn(ΔΓ) 為理論Γ的Δ平均真度。

特別的，當Γ只含一個公式 B時，τGn(ΔΓ)=

定理3在系統Gn中，設理論Γ={A1,A2,…,Ak}，則：

（2）同樣由定義6、定義4及命題1的（1）知τGn(ΔΓ)=0當且僅當，所以都是矛盾式，同理可得Γ是完全不相容理論。

推論1在系統Gn中，設理論Γ={A1,A2,…,Ak}，則：

證明很顯然由定義3和定義6得到：

例1 在系統G4中，設Γ1={A1,A2,A3}，且，求 τG4(ΔΓ)1。

解由定義3知：

因此由定義6知：

例2 在系統G4中，設Γ2={A1,A2,A3}，且 A1=p，，求

解由定義3知：

因此由定義6知：

定理4在系統Gn中，設理論Γ1={B1,B2,…,Bl}，，則：

證明由定義4、定義6及命題1的（3）可得：

定理5在系統Gn中，設理論則

證明由定義4及命題1的（4）知：

定理6在系統Gn中，設理論Γ1={B1,B2,…,Bl}，，則有：

證明（1）因為2,…,s},則由定義6及命題1的（5）得：

（2）利用定義6及命題1的（6）同理可證。

推論2 在系統 Gn中，設有 Γ1,Γ2,Γ3∈F(S),α,β∈[0,1]，則：

證明（1）由定理6的（1）可得：，因此移項可得：

定理7 在系統Gn中，設理論若則

證明因為，所以有1 ，又根據定理6（1）可得移項可得

定理8在系統Gn中，設理論Γ={A1,A2,…,Ak}，則0≤τGn(ΔΓ)≤1。

定理9在系統Gn中，設理論Γ1={B1,B2,…,Bl}，Γ2={C1,C2,…,Cs},Γ3={D1,D2,…,Dk}，則：

證明由定義6知：

因此

又因為對任意 b,c,d∈Gn,有所以，從而：

又因為

所以有：

4 結束語

本文首先引入了新的算子Δ，然后利用Δ算子運算的特殊性，在增加了Δ算子的G?delΔn值命題邏輯系統理論中，提出了平均真度的概念及一些重要性質，這也為進一步研究G?delΔn值命題邏輯系統的平均真度理論奠定了堅實基礎。