一種剔除測量異常點的循環(huán)逼近算法的設(shè)計技術(shù)及其工程應(yīng)用

王玉梅，于劍斌

（天津中德應(yīng)用技術(shù)大學，天津300350）

逆向工程技術(shù)在工程實踐中的應(yīng)用越來越多，比如：損壞或磨損零件的還原、無設(shè)計圖紙的情況下對現(xiàn)有零件的復制、改進和創(chuàng)新設(shè)計等。用一定的測量手段對實物或模型進行測量，采集測量數(shù)據(jù)點，通過計算機輔助設(shè)計的方法重構(gòu)實物CAD模型。在此過程中，有兩個關(guān)鍵問題需要解決，一是采用什么樣的測量方法，能夠得到準確的測量數(shù)據(jù)，二是如何對測量數(shù)據(jù)進行處理，剔除影響測量精密度的異常點。

基于“裹圓”結(jié)構(gòu)的少半圓類零件進行反求設(shè)計，三點定圓法會使測量誤差放大，圓心角越小，放大系數(shù)增長越劇烈[1]，需要在圓弧上密集采點[2]；采集數(shù)據(jù)點后，常采用最小二乘法來評價圓或圓弧，當圓弧段比較短時，若用常規(guī)的最小二乘法來擬合，會產(chǎn)生較大的誤差。對于此方面的理論研究很多，文獻[1，3，5]均對常規(guī)的最小二乘法擬合短圓弧或少半圓做了分析。文獻[3，4]對圓心固定的最小二乘法做了理論分析。測量得到的數(shù)據(jù)，往往存在影響測量精密度的異常點，如何剔除這些異常點，目前常用的方法為拉依達準則[6，7]，用該法則每剔除一個異常點，就要重新計算一次n-1個數(shù)據(jù)的平均值，殘余誤差和標準偏差，若測量列中有幾個異常值需要剔除時，這樣顯然是非常繁瑣的。

從實踐的角度出發(fā)，將設(shè)計基準、工藝基準及檢測基準統(tǒng)一，避免繁瑣的數(shù)據(jù)處理消除基準不統(tǒng)一產(chǎn)生的誤差。本文提出一種新的逐步逼近算法剔除異常點，假設(shè)每一個測量值均為測量真值，得到一個標準公差數(shù)列，根據(jù)剔除測量點前后的標準公差最大值的相對誤差判別該點是否剔除，逐步逼近設(shè)定的相對誤差值，直至剔除前后標準公差數(shù)列基本無變化。

1 測量數(shù)據(jù)的獲取

對于曲線或曲面的測量，誤差產(chǎn)生的原因之一在于設(shè)計基準和測量基準不統(tǒng)一的問題，測量得到的數(shù)據(jù)還需進行數(shù)據(jù)處理消除基準不統(tǒng)一產(chǎn)生的誤差，數(shù)據(jù)處理過程復雜且工程應(yīng)用性較差。本文在檢測過程中，綜合考慮設(shè)計基準、工藝基準及檢測基準，將測量基準建立在設(shè)計基準上，從而消除了由于兩基準不統(tǒng)一產(chǎn)生的誤差。

如圖1所示，大圓弧和中間孔同心，因此大圓弧的圓心通過中間孔的軸線確定，中間孔的軸線是設(shè)計基準，這樣就實現(xiàn)了設(shè)計基準和測量基準的統(tǒng)一，并將圓弧的圓心固定在測量基準上，因此將工件坐標系的原點定義在中間孔的軸線上。

圖1 測量基準位置標識

基準確定后，使用的是蔡司MC550型號的三坐標測量機，此機器通過探針的紅寶石和工件進行接觸得到接觸點在探測方向上的矢量坐標，要想求出探針的紅寶石與測量面的實際接觸點三個方向的坐標是極其復雜的，但是求取紅寶石球心的位置相對比較簡單，即得到紅寶石球心在測量過程中的軌跡，從而可以間接得到紅寶石與測量面實際接觸點的軌跡。

在探測點的過程中，為了保證紅寶石球心通過圓弧的圓心，避免出現(xiàn)測頭半徑補償誤差，在獲取紅寶石球心點的坐標時，要盡量保證探測方向沿圓弧的法線方向。

2 異常點剔除算法

2.1 常用異常點判別方法

在測量過程中，經(jīng)常會存在異常點，異常點是不可取的。最常用的異常點判別法則為拉依達準則[7]，應(yīng)用此準則應(yīng)先算出等精度獨立測量列Li（i＝1，2，…，n）的平均值lˉ及殘余誤差vi=li-lˉ，并按貝塞爾公式算出該測量列的標準偏差σb.

式中，σb為賽貝爾公式計算的標準差估算值；為測量數(shù)據(jù)的平均值；n為測量次數(shù)。

如果某測量值ld的殘余誤差vd=ld-滿足下式則認為ld為異常值，需要剔除。用拉依達準則每剔除一個異常點，就要重新計算一次n-1個數(shù)據(jù)的平均值，殘余誤差vi和標準偏差σb，若測量列中有幾個異常值需要剔除時，這樣顯然是非常繁瑣的。

2.2 循環(huán)逼近法剔除異常點算法

針對拉依達準則的缺陷，提出一種新的算法，該算法假設(shè)測量列中每一個測量值為真值，根據(jù)標準公差的計算公式（2）計算出標準偏差數(shù)列，標準偏差值越大，說明該點偏離整體樣本的距離，超出精密度要求的測量點即被剔除，剔除標準偏差最大的測量點后，剩余的測量點再計算標準偏差數(shù)列，如此循環(huán)逼近，最后使標準偏差最大值的相對誤差控制在一定的范圍內(nèi)，即完成異常點的剔除。

2.2.1 計算標準偏差數(shù)列

根據(jù)標準差計算公式計算標準公差數(shù)列

其中，ld為第d次測量得到的測量數(shù)據(jù)；σd為假設(shè)第d個測量數(shù)據(jù)ld為真值時的標準偏差；li為第i次測量得到的數(shù)值；n為測量次數(shù)。

σ1為假設(shè)第1個測量數(shù)據(jù)l1為真值時的標準偏差；σn為假設(shè)第n個測量數(shù)據(jù)ln為真值時的標準偏差。

2.2.2 尋找標準偏差數(shù)列中的極值

首先，將第一個點的值作為標準公差值中的極值σmax，第二點和第一點的標準公差值進行比較，較大者作為標準公差值的極值σmax，依次后一個和前一個公差值的大小，最終輸出整個數(shù)列中標準公差值中的極值σmax，尋求極值的流程圖如圖2所示。

圖2 標準公差極值計算流程圖

2.2.3 剔除使標準公差最大的測量值

剔除使標準公差最大的測量值后，重復2.2.1和

2.2.2 得到剔除后的標準公差的最大值σ剔max.

2.2.4 判別剔除點是否為異常點

此算法通過計算剔除前后標準差最大值的相對誤差來判別異常點，如果相對誤差小于β，說明剔除該點前后對精密度的影響不大，判別該點為正常測量點，不予剔除。如果相對誤差大于β，則應(yīng)剔除該點，然后重復步驟一至四，循環(huán)逼近，直到剔除前后標準差最大值的相對誤差小于β為止。

其中σmax為未剔除異常點時的標準公差最大值；σ剔max為剔除異常點后的標準公差的最大值；β為定義為剔除系數(shù)。

2.3 算法應(yīng)用

下面通過測量實例來說明上述方法的應(yīng)用，使用蔡司MC550型號的三坐標測量機，此機器通過探針的紅寶石和工件進行接觸得到接觸點在探測方向上的矢量坐標，可以很方便的得到探針紅寶石球心在測量過程中的軌跡，從而可以間接得到紅寶石與測量面實際接觸點的軌跡。表1為探針紅寶石球心的坐標值。由于測量數(shù)據(jù)較多，計算量比較大，應(yīng)用MATLAB數(shù)學軟件進行編程計算。

表1 三坐標探針紅寶石球心坐標值

本次測量采集60組數(shù)據(jù)點，通過每一個紅寶石球心點的X坐標和Y坐標可以得到紅寶石球心點到基準原點的距離值，此距離值減去紅寶石的半徑即為少半圓上該點的半徑值（n=1，2，3….60）。對此 60個半徑值應(yīng)用此循環(huán)逼近算法進行異常點的剔除。

首先計算標準偏差數(shù)列，由探測到的60組測量數(shù)據(jù)，對于一個測量數(shù)據(jù)均對應(yīng)一個標準差，60個標準差的數(shù)值如圖所示，由圖3剔除異常點前曲線可知，少數(shù)標準差數(shù)值與平均標準差的偏離比較大，影響測量的精密度，需要判別是否為異常點，采用循環(huán)逼近的算法，剔除使標準公差最大的測量值，反復多次后，直至標準差最大值的相對誤差控制在合理的范圍內(nèi)。

圖3 剔除前后標準差變化示意圖

通過圖3可知，剔除最后兩個點前后，標準公差幾乎沒有太大變化，說明標準差趨于穩(wěn)定，異常點剔除算法結(jié)束。

3 結(jié)束語

1）很多相關(guān)分析表明，針對具有少半圓零件進行數(shù)據(jù)采集時，三點定圓法誤差會放大，因此，本文采用密集采點法，并采用圓心固定的最小二乘法提高擬合精度，減少測量誤差。

2）綜合考慮設(shè)計基準、加工工藝基準和檢測基準，為了減少測量誤差和繁瑣的數(shù)據(jù)處理，將檢測基準和設(shè)計基準重合，即使工件坐標系和測量坐標系重合。

3）提出一種新的、適合工程應(yīng)用的異常點剔除算法，假設(shè)每一個測量數(shù)據(jù)均是測量真值，得到標準差數(shù)列，尋求標準差最大值對應(yīng)的測量點予以剔除，然后計算剔除前后的標準差最大值的相對誤差，控制在一定范圍內(nèi)則保留該點，否則剔除。該方法計算簡單，只須反復調(diào)用標準公差計算公式即可，實時性好。