關于剪切自鎖現象在有限元分析中的探討

(寧夏大學土木與水利工程學院 寧夏 銀川 750000)

一、剪切自鎖現象

以彎曲變形的梁作為分析對象，根據材料力學中平截面假定[1]，即梁在彎矩作用下發生純彎曲變形時，變形前后平行于中截面的面仍然保持相互平行，且在變形前與中截面垂直的面在變形后仍然與中截面保持垂直。從梁中任取一微元體，其截面變形前后如圖1所示。從圖1中可以看出，在受到彎矩作用下，梁頂面受拉而伸長為水平拉應力，底面受壓而縮短為水平壓應力，在變形前后豎直方向各線段長度不變，即豎直方向就沒有應變，也就沒有應力；此外，水平線與豎直線在變形前后仍然垂直，也就沒有剪切變形，剪應力為0，這解釋了材料力學的平截面假定。其中需要注意一個重要現象是受拉壓的上下邊界在變形后是彎曲的。

圖1 連續梁微元體彎曲變形

當用有限元對連續介質進行分析時，需要把連續介質離散為很多小單元和結點，當選取單元型式為線性單元時，每個邊由兩個結點構成，單元在變形前后邊仍然保持為直線。以4結點四邊形線單元為例，受純彎荷載之后微元體截面變形如圖2所示。從圖2可以看出，變形之后水平線仍然保持平行，水平線上面受拉應力而拉伸，下面受壓應力而壓縮。由于變形之后邊界仍然要保持直線，豎直線與水平線不再保持垂直，而是有了增大或減小，這說明產生了剪切變形，而這個剪應變是不應該出現的，由于這個剪切變形要消耗一定的變形能，這就會導致梁不能再發生彎曲或者彎曲變形要小了，產生的彎曲撓度也要減小。

圖2 有限元分析中微元體彎曲變形

上述現象被稱為剪切自鎖現象[2]，簡單地說就是在理論上沒有剪切變形的單元中發生了剪切變形，該剪切變形也常稱伴生剪切(parasitic shear)。發生的條件往往是受純彎狀態的一階且全積分的梁、板、殼單元，導致產生剪切應變能過大而彎曲變形偏小，即剪切剛度太剛的虛假結果。

二、有限元分析

本題目首先是考察有限元分析中常見的剪切自鎖現象，以理論值為參考探討剪切自鎖現象對分析結果的影響。其次是討論采用縮減積分和非線性高次單元等措施對消減剪切自鎖現象的效果。

(一)有限元模型

(1)單元選擇。采用三維實體單元：8節點線性solid185六面體單元、20節點非線性solid186六面體單元。

(2)單元積分方式選取。采用完全積分和縮減積分兩種積分方式，相應設置在單元關鍵選項中進行，具體操作見文獻[3]。

(3)單元網格劃分。采用5種劃分方式，具體劃分方式如下表1所示。以方案一的單元網格劃分為例說明，如圖3所示。

圖3 方案一單元網格劃分

劃分方案X方向長度/份Y方向寬(厚度)/份Z方向寬度/份1301223022330524150525300105

(二)結果分析。

以方案一為例說明，采用Solid185單元的模型Y向(豎向)變形如下圖4所示，采用Solid186單元的模型Y向(豎向)變形如下圖5所示。各模型中梁自由端節點撓度值如下表2所示。

圖4 模型變形

圖5 模型變形

劃分方案Solid185單元Solid186單元全積分縮減積分全積分縮減積分13.05411.323.0873.08722.194.1063.0883.08832.0773.2153.0883.08843.0683.2173.0883.08853.0833.1213.0893.089

三、結論

(1)采用solid185單元的模型，采用全積分的方式其撓度結果隨著網格劃分精度的提高，呈先減小后增大的趨勢。這是由于前3種劃分情況中，沿長度(30份)和寬度(2份)方向劃分數目不變，沿厚度方向劃分數目遞增，單元形狀逐漸呈長方體狀，而劃分后的單元長邊與短邊之比越大，單元越狹長，就越可能出現剪力自鎖，從而導致撓度結果減小；在4、5兩種劃分情況下，單元形狀呈正方體狀，且網格劃分數目遞增，所以撓度結果增大且逐漸趨近于理論值。

(2)對比方案3結果可知，在選用solid185單元的模型中，采用縮減積分的方式計算得到的撓度值3.215mm比采用全積分計算得到的2.077mm更趨近于理論值3.09mm；但由方案1中結果可知，采用縮減積分的計算結果為411.32mm與理論結果相差甚遠，這是由于當沿梁厚度方向只有一層單元時，采用縮減積分計算時出現了沙漏模式，即零能模式[2]，導致計算結果與實際結果有極大偏差。

(3)采用solid186單元的模型，不論是采用全積分或是縮減積分其撓度結果基本相等；在網格較粗糙的情況下，其撓度結果已非常接近理論值，且隨著劃分精度的提高其撓度結果逐漸趨近于理論結果3.09mm；與采用solid185單元的模型相比，在相同的劃分情況下其精度更高。由此可見，采用高階單元消除剪切自鎖現象是一種高效的措施。