基于LINDO的會議籌備問題多階段決策模型

宿 曈

（西北民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，甘肅 蘭州 730000）

1 問題的提出（2009年全國大學生數(shù)學建模競賽題D，數(shù)據(jù)從略，文字有修改）

某市一家會議服務公司負責承辦某專業(yè)領域的一屆全國性會議，會議籌備組要為與會代表預訂賓館客房，租借會議室，并租用客車接送代表.由于預計會議規(guī)模龐大，而本市適于接待這次會議的幾家賓館的客房和會議室數(shù)量均有限，所以只能讓與會代表分散到若干家賓館住宿.為了便于管理，除了盡量滿足代表在價位等方面的需求之外，所選擇的賓館數(shù)量應該盡可能少，并且距離上比較靠近.

籌備組經(jīng)過實地考察，篩選出10家賓館作為備選，它們的名稱用代號1至10表示，10家賓館有關客房和會議室的規(guī)格、間數(shù)、價格等情況及其相對位置均已知.

雖然本屆會議代表返回了會議回執(zhí)，但從以往幾屆會議情況看，有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來參會，同時也有一些與會的代表事先不提交回執(zhí)，因此籌備組面臨的第一項任務是預測參會人數(shù).

盡管客房房費由與會代表自付，但是會議籌備組要為與會代表預訂賓館客房，如果預訂客房的數(shù)量大于實際用房數(shù)量，籌備組需要支付一天的空房費，而若出現(xiàn)預訂客房數(shù)量不足，則將造成非常被動的局面，引起代表的不滿.預訂賓館客房的數(shù)量是籌備組要解決的第二項任務.

按照會議安排，會議期間有一天的上下午各安排6個分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個賓館租借會議室.這是籌備組要解決的第三項任務.由于事先無法知道哪些代表準備參加哪個分組會，籌備組還要向汽車租賃公司租用客車接送代表.現(xiàn)有45座、36座和33座三種類型的客車，租金分別是半天800元、700元和600元.如何租賃汽車是籌備組要解決的第四項任務.

本文利用本次會議與會代表的回執(zhí)信息和歷屆會議的歷史數(shù)據(jù)，就會議籌辦中諸環(huán)節(jié)的決策分四個模塊——預測參會人數(shù)、預訂賓館客房、租借會議室、租賃汽車等方面給出多階段決策模型，利用動態(tài)規(guī)劃解法，就上述問題在各階段上或用多目標規(guī)劃，或用單目標規(guī)劃，并利用優(yōu)化軟件Lindo給出各階段的最優(yōu)解，從而得到整體最優(yōu)解.

2 模型假設與簡化

1.參會人員的個人特征為性別，僅用于安排住宿，而與其他方面毫無關系.故在估計參會代表的男女比例時，以收到回執(zhí)的男女代表人數(shù)進行估算.

2.本屆會議的參會代表與歷屆參會代表可以看作是來自同一母體的不同樣本，樣本容量不同，故可考慮用往屆與會代表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)來估計本屆參會代表的情況，如發(fā)來回執(zhí)但不參加會議的代表數(shù)的概率等.

3.所討論的母體中每一個體是否參會是獨立的，設本次參會人數(shù)為ζ,它是一個服從參數(shù)為λ的Poisson分布p(λ)，其中λ是預測的參會代表的平均人數(shù).

4.為討論簡化，以點來代表賓館，以賓館7為原點，以賓館6和7所在直線為橫軸（由6指向7的方向為正方向），以賓館7和5所在直線為縱軸（由7指向5的方向為正方向）建立平面直角坐標系，則各賓館位置如下：賓館1(300,0)，賓館 2(450,0)，賓館 3(1000,-200)，賓館 4(950,0)，賓館 5(0,300),賓館 6(-300,0)，賓館 7(0,0)，賓館 8(0,-200)，賓館9(-150,-200)，賓館 10(-1000,0).

另外定義兩賓館i(xi,yi)，j(xj,yj)間距離為：

于是對于賓館之間的距離可整理出來（此處略）.

5.假設本市同價位的客房間服務、設備配置等無差異，不同賓館間容納人數(shù)相同的會議室間服務、設備配置等也無差異，只是租賃價格不同.

6.本次會議純屬學術會議，不涉及其他部門的其他事務，也不考慮機場、車站等與入住賓館間的遠近、便利等其他因素，只考慮入住的床位與入住后參加分組會議的便利情況.

7.本屆會議均可預定各賓館所有的客房和會議室.也假設市內(nèi)交通暢通無阻，不考慮紅綠燈等其他影響交通的因素，并且代表上下車、車輛停靠等不花費時間.

8.下文用到的一些符號及說明ti——預訂i賓館的情況，則

xij——預訂i賓館j種客房的數(shù)量，i=1，2，…，10，j=1，2，…，16，xij≥0 為整數(shù)

cj——j類客房可容納的最大人數(shù)

pj——j類客房每天的價格（單位：元/間·天）

qij——客房xij的數(shù)量，其中i=1，2，…，10，j=1，2，…，16

Q——本次會議需要預訂客房的人數(shù)

wij——i=1，2，…，10，j=1，2，…，9時j類客房可以安排一人住宿

通過前面分析，我們的任務是利用某次會議與會代表的回執(zhí)信息，預測參會人數(shù)，為與會代表預定適量的賓館客房、租借適量的便利的會議室、租賃適量的某種規(guī)格的汽車接送代表，因此我們認為這是一個多階段決策問題，構造一個多階段決策的數(shù)學模型，在各階段上或用多目標規(guī)劃，或用單目標規(guī)劃，并利用優(yōu)化軟件Lindo給出各階段的局部最優(yōu)解.

3 會議籌備的多階段決策模型及求解

根據(jù)我們的目標，要求預訂的賓館數(shù)盡可能少，有目標約束

又要求預訂的賓館在距離上盡可能靠近，有目標約束

而參會代表希望客房價位比較合理，有目標約束

于是，我們的數(shù)學模型為下列多目標規(guī)劃模型：

約束條件為

0≤xij≤qij，為整數(shù)，i=1,2,…，10，j=1,2,…,16

wij≥0，為整數(shù)，且 xij+wij≤qij，i=1，2，…，10，j=1，2，…，9，ti=0 或，i=1，2，…，10

第一階段決策——確定參會人數(shù)

求解多目標規(guī)劃模型有很多的方法，根據(jù)我們研究問題的特點，我們選用分層序列法，即將目標函數(shù)按其重要程度排成一個次序，然后在前一個目標函數(shù)最優(yōu)解的基礎上，求后一個目標函數(shù)的最優(yōu)解，每次求解一個單目標規(guī)劃模型.為解此模型，我們先來估計參會代表的人數(shù).

根據(jù)本類會議往屆參會代表的統(tǒng)計情況，我們用加權平均的方法估計本屆會議中提交回執(zhí)但不與會的人數(shù)比例r1及不提交回執(zhí)而與會的人數(shù)比例r2，從而預測參會代表的平均人數(shù).

故本屆會議中提交回執(zhí)但不與會的人數(shù)估計為755r1=227.3277476≈227，而不提交回執(zhí)而與會的人數(shù)設為x，則有

則x=130.2305504，于是估計本屆會議與會人數(shù)為755–227+131=659人.

根據(jù)假設3，預測的參會代表的平均人數(shù)λ=659，參會人數(shù)ζ服從參數(shù)λ=659的Poisson分布，由于參會人數(shù)較多，根據(jù)大數(shù)定律的極限定理，ζ近似服從均值為659，方差為659的正態(tài)分布.為了節(jié)約經(jīng)費及避免被動，于是我們想以較大的概率（如90%以上）的保證與會代表能夠住到預訂的客房內(nèi)，由于Φ(1.29)=0.90147，于是

即ζ=692.1155839.這樣需要我們按照693人來預訂客房.

第二階段決策——確定賓館及客房類型與數(shù)量

根據(jù)本屆會議的回執(zhí)情況估計各類客房的預訂人數(shù).由假設1，對回執(zhí)中預定各類客戶的人數(shù)乘以系數(shù)并取不小于它的整數(shù)即得，于是我們所要求解的問題是確定下列模型中的 ti，wij，xij.

約束條件為

賓館 客房類型 客房數(shù) 價格 預訂數(shù)量及計劃安排住宿人數(shù) 入住人數(shù) 合計人數(shù)普通雙標間 50 140元 50間，每間住2人 100 2商務雙標間 35 160元 26間，每間住2人 52豪華雙標間A 30 180元 30間，21間住2人，9間住1人 51豪華雙標間B 35 200元 35間，每間住2人 70 273普通雙標間A 35 140元 35間，11間住2人，24間1人 46 5普通雙標間B 35 160元 35間，每間住2人 70豪華雙標間 40 200元 40間，每間住1人 40 156普通單人間 40 160元 40間，每間住1人 40 6普通雙標間 40 170元 40間，每間住1人 40商務單人間 30 180元 30間，每間住1人 30精品雙人間 30 220元 30間，4間住2人，26間住1人 34 144普通雙標間 50 150元 50間，每間住1人 50 7商務單人間 40 160元 40間，每間住1人 40商務套房（1床） 30 300元 30間，每間住1人 30 120

0≤xij≤qij，為整數(shù)，i=1，2，…，10，j=1，2，…，16

wij≥0，為整數(shù)，且 xij+wij≤qij，i=1，2，…，10，j=1，2，…，9

ti=0 或 1，i=1，2，…，10

利用Lindo優(yōu)化軟件，可得如下結果，即賓館選擇2、5、6、7四家即可，客房類型與數(shù)量如下表：

第三階段決策——確定賓館的會議室及數(shù)量

x1≥0,為整數(shù).

利用Lindo優(yōu)化軟件，解得租用會議室的費用為5600元，結果如下：

賓館 會議室容量 會議室價格 租借數(shù)量5 150人 1000元 2 6 160人 1000元 1 7 140人 800元 2 200人 1000元 1

第四階段決策——確定租借車輛的情況

整理各賓館中的所住代表人數(shù)情況，于是可確定由賓館i→j的乘車人數(shù).為了讓每一個不在所住賓館參加分組會的人都有車乘，用xij,yij,zij分別表示租借用天賓館i到j的車型 x（45座）、y（36座）、z（33座）的數(shù)量，注意到在賓館 2沒有租用會議室，則可建立如下模型：

利用Lindo求解，可得租借車輛的費用為22000元，具體派車如下：

i→j的派車情況 5 6 7 2 45座1輛 ，33座1輛 45座1輛 45座2輛，33座1輛5 0 33座1輛 45座1輛，33座1輛6 33座2輛 0 45座2輛7 33座2輛 33座1輛 0

4 模型的說明

從模型的建立與求解的過程可知，我們在估計人數(shù)，安排住宿方面都達到了代表的要求（以90%的概率），現(xiàn)在只需改進租車方案.從生活經(jīng)驗可知，在450米距離內(nèi)租車是沒有必要的.因此通過計算，賓館2與7之間、5與7之間、6與7之間是不需用車的，這樣我們的方案就可以減少8輛車，一天的租車費用降為8800元，降幅達60%，節(jié)約的這部分費用足夠租賃本次會議所需的會議室，并且還可節(jié)余2000多元.

從所給模型的規(guī)模及可解性來看，該模型無論從理論方法上還是技術手段上，在講究決策科學化，辦公自動化的新時代，都為會議籌備人員提供了一種有效的幫助.另一方面，我們也看到：沒有高效的辦公軟件，沒有專業(yè)的工具軟件，對這種規(guī)模問題的求解是欠效率的，即使求得結果，也是讓人懷疑其正確性的.因此在未來大數(shù)據(jù)時代、云計算時代，必須具備一定的數(shù)據(jù)處理能力，所以本模型具有一定的可移植性，具有實用價值和推廣價值.