混合指數分布的矩估計

王秋爽，徐圣楠

（吉林師范大學 數學學院，吉林 四平 136000）

1 引言

混合指數分布是壽命分析中的重要統計模型.混合指數分布模型，廣泛應用于生存分析、生物醫學統計、故障診斷、金融、可靠性分析等領域，受到統計學家和實際工作者的廣泛研究.關于混合指數模型國內外已有很多研究，如Mc-Clean針對分組數據的混合指數分布的參數進行估計.Jones等研究了截尾數據下混合指數分布的貝葉斯估計.朱利平等基于EM算法討論了完全數據和截尾數據下混合指數模型的參數估計.趙亞林對單參數混合指數分布的參數估計方法進行了相關探討.田玉柱等基于EM算法，利用極大似然估計方法，對混合刪失樣本下的參數進行估計.韓靜針對利用EM算法進行參數估計的缺陷，提出了采用退火遺傳算法（SAGA）對雙參數混合指數分布模型的參數進行優化估計.雷慶祝等利用貝葉斯（EB）估計,研究強混合樣本下刻度指數分布族的參數.經過對上述文獻的研究，得出如下結論：EM算法雖然可以對混合分布在正常工作條件下的參數進行估計，卻可能會收斂到局部最優值.針對混合分布的參數估計，直接利用極大似然估計方法進行研究，在求最大似然估計量時，往往要解一個似然方程（方程組），計算量較大，同時結果又不是很理想，有的時候比較難解，甚至根本就解不出有限形式的解.退火遺傳算法容易過早收斂，產生早熟現象.為了克服以上算法的不足之處，尋求一種新的估計方法來實現混合指數分布模型參數的最優估計顯得尤為重要.

矩估計作為常見的參數估計方法，其思想是利用樣本矩去替換相應的總體矩.只要總體相應的矩存在，矩估計方法對任何總體都可以進行估計，并且不需要知道總體具體分布的數學形式.部分文獻已經開始嘗試利用矩估計法來估計混合分布的參數：如尹劍等研究了二元極值分布混合模型的矩估計及漸近方差，并將其與極大似然估計的漸近方差進行比較,結果表明，矩估計是一個較好的估計.李建麗等研究了混合幾何分布的矩估計.矩估計作為重要的估計方法，利用矩估計來研究混合指數分布參數的文獻卻并不多見，鑒于此，本文基于矩估計方法，對混合指數分布進行參數研究，極大地簡化了計算過程.

2 混合指數分布的矩

設隨機變量X服從如下概率密度函數

其中，λ1＞0，i=1,2 是未知參數，α∈(0,1)表示第 1 個成分在該混合分布中的比重，此概率密度函數是兩個指數分布的加權平均，本文即對該分布進行研究.

定理1設X服從概率密度函數為式（1）的混合指數分布，則有：

證明設X～Exp(λ)，可知指數分布的期望、二階矩，E，根據 Var(X)=E(X2)-(E(X))2，利用期望、方差的性質10可得混合指數分布的期望、二階矩、方差為：

定理2設X服從參數為λ的混合指數分布，則X的k階矩為：

證明利用數學歸納法證明11.

假設對于k-1(k≥2,k∈Z)定理成立，即

E(Xk-1)=，則：X的k階原點矩：

由此，可得混合指數分布的多階矩為：

3 混合分布的矩估計

3.1 具有一個未知參數

定理 3若 λ1和 λ2已知，α 的矩估計為且是α的無偏估計.

證明用替換式（2）中的 E(X)，則有

定理 4若 α 和 λ1已知，λ2的矩估計為

定理5若 α 和 λ2已知，λ1的矩估計為

定理3和定理4的證明方法，同定理2，此處省略.

3.2 具有兩個未知參數

定理6如果λ1已知，參數α、λ2的矩估計分別為：

證明用分別替換（2）、（4）中的 E(X)、Var(X)，聯立方程組：

借助MATLAB軟件，求解該方程組，解得α、λ2的矩估計分別為：

定理7如果λ2已知，參數α、λ1的矩估計分別為：

證明過程同定理6，此處省略.

3.3 具有三個未知參數

當α、λ1、λ2三個參數均未知時，可以將樣本均值、樣本方差、樣本多階矩分別替換定理1中對應的期望、方差、二階矩，定理2中的多階矩來進行估計，經過嘗試發現，將聯立的方程進行直接求解并不容易，很難得出可行解，建議在三個參數均未知時，多種方法結合求未知參數.

4 總結

本文構造了混合指數分布這一數學模型，利用矩估計法，首先對混合指數分布的均值、方差、多階矩進行求解，再利用這些結果建立參數估計方程（方程組），在計算具有一個未知參數的混合指數模型時，利用概率論的基礎知識，進行了詳細的推導，并針對估計出的參數進行了無偏性檢驗，驗證了參數的有效性.在兩個參數未知的情況下，聯立方程組對未知參數進行估計，并借助MATLAB軟件求解，省去了繁瑣的求解過程.該方法既可以彌補傳統優化模型容易陷入局部最優解的局限性，又可以改善退火遺傳算法容易早熟的不足之處.文章中提出的方法具有普遍的適用性，適用于各種儀器、電工電子元件的可靠性壽命分布的參數估計.