數學復習課中開放型問題的設計思考

朱建明

摘 要：在數學復習教學中設計開放型問題，可以著力于知識鞏固、技能強化、方法感悟、示錯糾錯、數學能力提升諸方面.設計好數學復習課中的開放型問題，對提高學生復習課參與度，增強復習課效益具有重要作用.

關鍵詞：數學復習課；開放型問題；問題設計

復習是一種常見的教學活動，貫穿于教學的全過程.數學復習課首先是以系統復習所學知識為主要任務，加深學生對知識的理解與掌握，使之系統化、結構化，同時，數學復習課還要落實基本技能的訓練，并在其中滲透基本的數學思想方法，提升數學能力，具有總結與回顧、沉淀與生長的獨特教學功能.在數學復習課中，設置開放型問題，不僅可以充分利用開放型問題固有特性幫助學生梳理學過的知識，訓練應有技能，彌補過失缺漏，還能綜合提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.下面就以蘇科版初中數學教材中的內容為例，談談數學復習課中開放型問題的設計.

一、梳理基礎知識 突出具體化

梳理基礎知識是對已經學過的知識進行系統整理，這是復習課教學中不可或缺的重要環節，也能幫助學生進一步理解和掌握知識，提高知識系統化、網絡化和結構化.在梳理基礎知識時設計使用的開放型問題，要突出知識的附著點，使知識梳理更加直觀和具體，也更容易促進學生理解和掌握.

例1 九年級下冊的“二次函數復習課”

在本節課的導入階段，教師出示問題：

寫出一個形如y=ax2+bx+c的二次函數，畫出它的圖象，并說出它的性質.

教師根據學生所完成任務中的典型例子，概括梳理二次函數的圖象和性質.

本例中的開放型問題，正是從學生提供的具體化的二次函數出發，學生可以看到自己舉的例子，也可以與別人的例子進行比較，最后概括為二次項系數為正數和負數兩類情況，這樣的知識梳理直觀具體，學生的參與性較強.

例2 九年級上冊的“等可能條件下的概率復習課”

在本節課的導入階段，教師出示問題：

（1）如何設計一個轉盤，使得任意轉動轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針落在紅色區域的概率為[38]？

（2）請你再舉出一些例子，它們發生的概率也為[38].

本例中的開放型問題，正是要求學生梳理等可能條件下概率為[38]的各種事件，回顧本章學習內容，進一步加深對概率知識的理解.本例也具有具體化的特點，學生的參與度也較強.

二、訓練基本技能 強調個性化

數學復習課的教學要充分調動學生的學習主動性和積極性，要保證學生基本技能訓練的數量與質量，這是培養數學能力的基礎.利用開放型問題訓練學生的技能，要因人而異，強調個性化，這也是開放性問題中不確定因素帶來的有利條件.

例3 七年級下冊的“因式分解復習課”

在本節課的例題教學階段，教師出示問題：

請寫出一個單項式，使得多項式4a2b2+1加上這個單項式后，能成為一個多項式的完全平方.

本例主要訓練運用公式法進行因式分解的技能，由于4a2b2+1加上一個單項式后，可以成為一個多項式的完全平方，因此可以有多種情況：（4a2b2+1）+4ab=（2ab+1）2；（4a2b2+1）+（-4ab）=（2ab-1）2；（4a2b2+1）+4a4b4=（2a2b2+1）2.所以加上的單項式可以是4ab，-4ab， 4a4b4.

例4 九年級下冊的“圖形的相似復習課”

在本節課的例題教學階段，教師出示問題：

如圖1，10×10的正方形方格中，△ABC的三個頂點都在單位小正方形的頂點上.請在圖中畫出一個頂點都在小正方形頂點上的△DEF，使得△DEF∽△ABC，它們的相似比不為1，并請說明你這樣畫的理由.

作為開放型例題，本例中的△DEF的大小不確定，位置也不確定，都需要學生自己確定.因為AB=2，BC=2[2]，AC=2[5]，所以根據“三邊對應成比例，兩三角形相似”的判定定理，只要DE=4，EF=4[2]，DF=4[5]，就可以畫出△DEF了，這里的相似比為2.當然，也可以畫相似比為[2]，3等的相似三角形.另外，由于∠ABC=135°，本題還可以利用“兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”的判定定理求解.因此展示學生的不同畫法，讓全班學生一起說明理由，這樣可以在體現個性化的基礎上，訓練學生判定相似三角形的方法和技能.

三、掌握思想方法 注重普適化

初中數學包含豐富的數學思想方法，掌握這些思想方法，不僅能夠增進數學知識的理解，也能強化數學技能，還能培養學生舉一反三、觸類旁通的能力.利用開放型問題滲透數學思想方法，注重普適化，能夠拓展學生思考問題的廣度和深度，有效提高數學復習課的效益.

例5 七年級上冊的“有理數的加法與減法復習課”

在本節課的例題教學階段，教師出示問題：

（1）任意說出兩個數，比較它們的和與0的大小；

（2）如果x，y是兩個不等于0的有理數，請比較x+y與0的大小關系.

相對于0而言，每個學生說出的數以及x，y都是不確定的，它們可以是正數，也可以是負數，于是要分情況討論：x，y都是正數；x，y都是負數；x與y兩數符號相反，正數的絕對值大于負數的絕對值；x與y兩數符號相反，正數的絕對值小于負數的絕對值；x與y是相反數.本例既能深化學生對有理數的認識，也能強化分類討論思想方法的運用，這是學生學了負數以后的普適化要求.

例6 九年級下冊的“初三總復習課——函數”

在本節課的綜合訓練階段，教師出示問題：

寫出三個不同的函數表達式，使它們的圖象經過點M（-2，4），N（-4，2），簡要說明解答過程.

本例中的函數，可以是二次函數、反比例函數、一次函數.如果要寫的函數是一次函數或反比例函數，可以直接利用待定系數法求解；如果要寫的函數是二次函數，一是可以將點M，N中的一個點作為這個函數圖象的頂點，這個圖象又過另一點，那么用待定系數法便可求得；二是可以設所求函數的圖象再經過另外一點，也可以通過待定系數法求解.因此，本題求解的過程，是反復使用待定系數法的過程，本例可以使學生充分體會待定系數法的普適性的價值.

四、彌補薄弱環節 凸顯立體化

數學復習課一般都重視學生數學學習中的遺漏點、易錯點和盲點的補缺矯正，不管是全班學生的薄弱環節，還是個別學生存在的問題，都需要強化糾錯，明晰道理.緊扣知識的易混點、易錯點設計開放型復習問題，能夠立體式展示這些薄弱環節，做到對癥下藥，有的放矢.

例7 八年級下冊的“二次根式的復習課”

在本節課的小結階段，教師出示問題：

舉一個例子，說說二次根式運算中的常見錯誤.

根據學生舉出的例子，包括本節課產生的，也包括以前學生做練習時的錯誤，教師選擇其中的典型錯誤，師生一起討論這些錯誤以及產生錯誤的原因.

這個問題不僅主體開放，如每個學生都有自己的問題；也有典型錯誤的開放，如每個人產生錯誤還不盡相同.這些錯誤案例需要學生總結提供，涵蓋所有學生，因此具有立體化、全面性的特點.對每個學生而言，都能感悟這些典型錯誤，可以達到示錯、糾錯和防錯的效果.

五、提升專項能力 力求延展化

提升學生的數學能力，是數學復習課的教學目標之一，也是它的重要使命.利用開放型問題，延展復習內容，使得學生在新情境、新方法、寬視域中提升分析問題和解決問題的能力，發展學生數學學科素養.

例8 七年級下冊的“一元一次不等式復習課（二）”

在本節課的導入階段，教師出示問題：

一元一次不等式是揭示現實世界數量關系的一個重要的數學模型，編擬一個用一元一次不等式解決的實際問題，并列出不等式求解.

教師選擇學生編擬的典型問題，要求全班學生一起求解.

一般而言，應用問題復習教學中，都是教師給出具體問題，要求學生求解，本例卻讓學生提出問題，延展了教學內容，有利于培養學生的模型意識及應用意識.

例9 九年級下冊的“圓復習課（二）”

在本節課的思維拓展階段，教師出示問題：

如果兩個圓只有一個交點，并且一個圓在另一個圓的外部，那么我們就稱這兩個圓外切，此時，這兩個圓的圓心所連的線段長等于這兩個圓的半徑之和.過這兩個圓交點的兩圓的切線，叫作兩圓的內公切線，其他的兩圓的公切線叫作兩圓的外公切線.

如圖2，⊙O1與⊙O2外切于點C，CD為它們的內公切線，AB為它們的外公切線，且A，B為切點，CD與AB相交于點D.根據圖中給出的已知條件及線段，寫出三個正確結論，并說明理由.

這個開放型問題拓展了教學內容，豐富了探究素材.本例可以引導學生從線段關系、角的關系、三角形的關系等角度去考慮，并由此推出相關結論.這些結論包括：△ABC是直角三角形；AC2+BC2=AB2；∠BAC=∠CBO2；△O1AC∽△DBC；AB2=4O1C·O2C等.此類開放型問題能有效提高學生的探究能力和邏輯推理能力.

總之，在復習課教學中設計開放型問題，要與學生的認知水平適切相當，與復習課的目標合理匹配，與復習課的內容無縫對接，只有這樣，才能最大限度發揮開放型問題在復習課教學中的作用和價值，從而為復習課有效教學服務，為學生的可持續發展服務.