基于博弈論-可拓云模型的隧道圍巖穩定性評價

王建宗,鄭志學,李長明,蘇 超,徐翠云

(1.中國礦業大學(北京)資源與安全工程學院,北京 100083； 2.北京大學工學院,北京 100871； 3.中國石油華北油田分公司勘探開發研究院,河北任丘 062552)

1 概述

隧道圍巖是指受隧道工程開挖影響范圍內的巖體，是圍巖穩定性評價的研究對象，對隧道工程的安全性起著重要作用。隨著我國社會經濟的迅速發展，隧道工程的建設越來越傾向規模化，各種地質災害、安全隱患也隨之發生，嚴重影響著國民經濟的發展。在這種背景下，對隧道圍巖穩定性進行評價就顯得尤為重要。

目前在實際工程中用于隧道圍巖穩定性評價的方法主要分為3類：理論解析法、數值模擬法和非線性理論應用分析。朱大勇、錢七虎[1]應用復變函數進行圍巖應力與位移計算，得到彈性力學解析逼近解；羅偉[2]通過構建斜坡地段淺埋隧道典型破壞模式，采用極限分析上限法，結合切線法非線形破壞準則，推導得出隧道圍巖壓力計算公式，對隧道圍巖穩定性進行了分析。閆春嶺等[3]，薛光橋[4]運用ANSYS和FLAC等多種數值模擬軟件，分析隧道圍巖的穩定性并取得較好的成果。隨著現代數學的不斷發展，近年來非線性理論逐漸引起國內外學者的高度重視，模糊層次分析法[5]、神經網絡模型[6]、灰色歸類模型[7，8]、云模型[9]、高斯過程機器學習法[10]、突變理論[11]、集對分析理論[12]、未確知測度理論[13]等取得一定進展。在若干種現代應用數學計算方法中，可拓學是一種能夠綜合考慮圍巖總體質量多指標體系的方法，該方法可以將圍巖穩定性評價的不確定信息考慮在內，將巖體的力學、結構、地質等相關參數結合起來，建立定性與定量評價模型，進行隧道圍巖穩定性評價[14]。

可拓學雖能綜合考慮多指標與不相容性信息，但在處理過程中存在兩個較為突出的問題。一是基于物元理論的可拓評價方法將圍巖穩定性作為一個確定的數學模型進行處理，沒有考慮分類界限值的模糊性與隨機性，使得評價結果存在一定偏差。李德毅院士提出的云模型是一種能夠兼顧指標的模糊性與隨機性的集成評價方法，為可拓理論的改進與完善提供了良好的思路。二是如何合理確定各評價指標權重。目前，國內外確定指標權重的方法有很多，主要歸納為主觀賦權法和客觀賦權法，如德爾菲法、G1法、層次分析法、專家調查法、功效系數法、熵權法、變權理論、標準離差法、變異系數法等。這些方法在指標權重計算過程中發揮著重要作用，但仍然存在一些不足，如：主觀賦權法權重系數的準確性主觀隨意性較強，完全依賴于專家知識和經驗的積累；而客觀賦權法切斷了權重系數的主觀性來源，完全根據評價指標原始數據，指標權重系數具有絕對的客觀性。本文運用博弈理論將主觀賦權法中的G1法和客觀賦權法中的變權理論相結合進行組合賦權，克服了單一賦權法結果容易失真的缺點，在一定程度上既反映決策者主觀信息，又依據原始數據使權重系數具有客觀性，能夠使圍巖穩定性評價中的指標權重確定更加合理，并將可拓理論與云理論相結合，建立了隧道圍巖穩定性評價的博弈論—可拓云模型。

2 云模型與可拓理論基本原理

2.1 云模型

云模型[15]是由我國學者李德毅院士在研究概念的模糊性與隨機性問題時提出的一種進行定性定量轉換的不確定性數學模型，其核心是構建云發生器來實現定性與定量之間的映射，通過期望(Ex)、熵(En)和超熵(He)等數字特征來表示定量概念。

期望(Ex)，是最能代表概念的點，也是量化的最佳樣本點。

熵(En)，是對概念的不確定性上的量度，以及能被定性概念認可的取值區間。

超熵(He)，是熵的熵，體現了云滴厚度的大小。

2.2 可拓理論

可拓理論是由我國學者蔡文教授于1983年創立，用形式化方法處理矛盾問題的研究方法，其目標是利用計算機幫助人類處理各行各業的矛盾問題[16]。該方法以物元理論和可拓集合理論為框架，采用形式化工具，從定性和定量兩方面處理多指標綜合性評價的不相容問題[17]。

在解決矛盾問題中，可拓理論引入物元的概念，將對象、特征和量值三者有機結合，記作

R=(M，C，V)

(1)

式中，M為研究對象；C為特征名；V為M關于C的量值。

同時設U為論域，u為U中任一元素，即u∈U。若對元素u總有一實數K(u)∈(-∞，+∞)與之相對應，則稱A為U上的一個可拓集合。

A={(u，y)|u∈U，y=K(u)}

(2)

式中，y=K(u)為A的關聯函數；K(u)為u關于A的關聯度。

3 博弈論-可拓云模型計算理論

根據上述云模型與可拓理論的基本原理，結合博弈理論，建立基于博弈論組合賦權的隧道圍巖分級可拓云評價模型，基本流程如圖1所示。

圖1 基于博弈論組合賦權的隧道圍巖分級可拓云評價的流程

3.1 確定經典域、節域和待評物元

經典域的實質是由研究對象的特征和量值組成的物元矩陣，記為Rj，在傳統的經典域v表示各項指標的界限值或測量值，并將其視為確定值，并未考慮其模糊性和隨機性。

本文結合云理論[15]處理不確定性問題的優越性，將v用正態云(Ex，En，He)代替，則可拓云模型表示為

(3)

式中，Rj為一個物元；Mj為對象的第j個評價類別；Cj為第j個評價指標；(Ex，En，He)表示M關于Cj所規定的量值區間。

節域指評價指標的取值范圍，記為Rp，可表示為

(4)

式中，P為各個評價類別的全體；(Ex，En，He)為P關于Ci的量值區間，亦即P的節域。

對待評事物P，即隧道圍巖，將隧道圍巖的數據用物元R表示，即可得到待評物元，記為R，可表示為

(5)

式中，(Ex，En，He)為p關于Ci的量值。

3.2 各評價指標關于各類別等級的正態云關聯度

將隧道圍巖的穩定性分級界定為雙約束空間，再通過區間值與云模型的轉換關系，計算出隧道圍巖穩定性的等級云模型的期望(Ex)、熵(En)、超熵(He)

(6)

(7)

(8)

隧道圍巖穩定性分級的正態云關聯度為

u=exp(-(xi-Ex)2/2(Eni′)2)

(9)

3.3 博弈論組合賦權方法

3.3.1 G1法主觀賦權

G1法[18]是由我國學者郭亞軍提出的通過對各指標間的重要程度進行排序來確定權重的一種主觀賦權法，此方法是對層次分析法(AHP)的改進，無需構造判斷矩陣，無需進行一致性檢驗。具體計算步驟參見文獻[18]。

本文確定的各個相鄰指標間的權重標度由表1中比例標度及含義與評價標度ri的對應關系得到。

表1 比例標度及含義

3.3.2 變權理論賦權

變權理論[19-20]遵循在決策過程中對每一個因素指標權衡都要隨具體情況不同而不斷進行修改調整的思想原則，權重向量隨著因素向量的變化而變化，體現了各評價指標的平等均衡性，即

(10)

式中，dimax=max{|vi-aip|，|bip-vi|}；

dimin=min{|vi-aip|，|bip-vi|}。

變權理論具體計算過程參見文獻[19-20]。

3.3.3 博弈論組合賦權

權重確定是決策者綜合主觀判斷和客觀信息的綜合考量，博弈論組合賦權法將主、客觀賦權法得到的權重進行優化、融合，從而得到隧道圍巖穩定性評價指標的綜合權重，其基本原理為：對于多指標評價系統，假設采用L種方法求得指標的權重，記權重向量為

wk=(wk1，wk2，…，wkn)， (k=1，2，…，L)

(11)

由此可以得到一個權重集w，L種權重向量線性組合為

(12)

為了選擇出最滿意的權重向量w*，對線性組合系數αk進行優化，同時w與每個wK的離差極小化，由此可得對策模型

(13)

根據矩陣微分性質，可導出式(10)的最優化一階導數條件為

(14)

進而可以求得(α1，α2，αL)，并對其進行歸一化處理，代入式(11)便可得到綜合權重向量w*。

(15)

(16)

3.4 隧道圍巖穩定性等級的評定

Rk=w*×U

(17)

式中，Rk為圍巖穩定性評價的綜合關聯度；R′為圍巖穩定性的等級特征值；U為各指標正態云關聯度矩陣；k為隧道圍巖穩定性等級，k=1，2，3，4，5。

將R′與等級概念云模型圖對比得出評價結果，并通過云發生器計算各等級的概率。通過圍巖等級閾值及式(6)～式(8)可計算出正態云的數字特征，進而可得隧道圍巖穩定性等級概念云模型圖，如圖2所示。

圖2 隧道圍巖穩定性的等級概念云模型

4 實例驗證

4.1 圍巖穩定性評價體系構建

為驗證基于博弈論-可拓云模型評價方法的正確性和合理性，采用某隧道圍巖測量數據進行對比分析。選取實測巖體完整性、單軸抗壓強度、結構面平均間距、結構面狀態、地下水的發育程度、地應力場大小6個因素作為評價指標并采用5級分類，類別分為：極穩固Ⅰ，穩固Ⅱ，一般穩固Ⅲ，不穩固Ⅳ，極不穩固Ⅴ，并為等級賦予相應的閾值[21]。隧道圍巖評價指標的實測數據和各指標分類標準如表2和表3所示。

表2 樣本實測值

表3 隧道圍巖穩定性的評價指標分類標準

4.2 物元構造

利用式(3)、式(4)、式(5)得到經典域、節域和待評物元。

(1)圍巖經典域物元

(2)圍巖節域物元

(3)圍巖待評物元

4.3 確定權重系數

運用G1法，依據相關資料和專家意見對指標體系內各指標重要性得出關系u1>u6>u5>u2>u4>u3，進而確定出各指標間的相對重要程度r2=1，r3=1.2，r4=1.2，r5=1.4，r6=1.2，根據博弈論基本原理，可以得出各個指標的權重w1=(0.242，0.104，0.085，0.166，0.22，0.184)，運用變權理論可得，w21=(0.185，0.156，0.131，0.136，0.163，0.228)，w22=(0.113，0.156，0.197，0.241，0.197，0.095)，w23=(0.197，0.151，0.134，0.161，0.235，0.121)。基于博弈論組合賦權法，由式(11)～式(16)求得組合權重為w1*=(0.241，0.101，0.086，0.165，0.219，0.185)，w2*=(0.242，0.104，0.085，0.166，0.220，0.184)，w3*=(0.242，0.103，0.084，0.166，0.219，0.185)。

4.4 樣本各指標等級正態云關聯度

以樣本3為例，根據式(6)～式(9)計算圍巖各指標等級正態云關聯度，其結果如表4所示。

表4 樣本3各指標等級正態云關聯度

4.5 樣本圍巖等級綜合關聯度

結合待評指標組合權重可得待評圍巖等級的綜合關聯度，結果如表5所示。

表5 圍巖等級綜合關聯度計算結果

4.6 樣本隧道圍巖穩定性評價結果

根據式(17)計算樣本1～3圍巖穩定性等級特征值，通過云發生器計算樣本1～3各等級概率，可得樣本圍巖穩定性評價結果如表6所示。將本文建立的博弈論—可拓云評價模型與文獻[22]灰色歸類模型、神經網絡模型、模糊方法、Q系統法結果進行對比分析，如表6所示。由表6可知，本文方法的評價結果與其他方法所得結果一致，而且本文方法能夠計算評價等級特征值及不同等級的概率，而且還定量給出了所屬等級的概率值，避免了傳統最大隸屬度原則中圍巖始終隸屬于單一等級的弊端，實現了評價結果的定量化表征，評價結果更加科學合理，證明了模型的可靠性。

表6 樣本圍巖穩定性評價結果

5 實例應用

為進一步驗證博弈論-可拓云模型對隧道圍巖穩定性評價的可行性和合理性，將京廣鐵路衡廣雙線段大瑤山隧道滑石排二號斜井試驗洞段[23](DK1999+100～DK2000+100)作為評價對象，以各評價指標實測數據為基礎，通過博弈論—可拓云模型對其圍巖穩定性進行評價。

5.1 工程區段圍巖概況

DK1999+100～DK2000+100區段內圍巖屬震旦系淺變質巖系，由中薄～厚層的中、細粒石英砂巖和中薄層板巖組成，兩者常呈互層狀產出。巖體節理裂隙中等發育，巖體Jv值分別為16條/m3(砂巖為主段)、25條/m3(板巖為主段)；RDQ值50%～80%；Kv值分別為0.8～0.9(砂巖段)、0.7～0.75(板巖段)。砂巖Rc=40.0～80.0 MPa。實測地應力σ1=13.6 MPa，σ2=5.8 MPa，σ3=4.2 MPa，主應力方向基本與主結構面成大角度相交。本段主要結構面為層面節理及層間錯動或順層發育的小斷層，其方位與隧道軸線交角50°～70°，傾角55°～80°；結構面平整～波浪狀。砂巖及砂質板巖呈潮濕至滴水狀；板巖段，巖體干燥無水，對穩定有利。由此可得，各評價指標實測數據向量為D=(0.41，60.0，0.45，7.40，8.50，11.8)。

5.2 評價結果

將該工程區段各指標關聯度矩陣與各指標組合權重相結合，可得該工程區段評價的綜合關聯度R=(0.083 8，0.076 9，0.141 8，0.282 2，0.216 3)。根據式(17)可得，該工程區段圍巖穩定性的等級特征值R′=3.587，即大瑤山隧道工程DK1999+100～DK2000+100區段的圍巖穩定性介于Ⅲ～Ⅳ級之間。并通過云發生器計算可得，該工程區段圍巖穩定性屬于Ⅲ級的概率為0.38；屬于Ⅳ級的概率為0.62。故由此可得，大瑤山隧道工程DK1999+100～DK2000+100區段的圍巖穩定性介于一般穩固～不穩固之間，并傾向于不穩固。

5.3 結果分析

結合該工程區段圍巖概況及隧道圍巖等級系統特征可知，該區段圍巖的穩定性基本滿足施工要求，圍巖體較為破碎；結構面中等發育，但與隧道軸線交角較大，裂隙閉合或已充填；地應力偏高，但小于巖體抗壓強度；地下水發育一般，部分巖體濕潤或滴水。總體而言，該工程區段具有一定的自穩能力，但考慮到現場施工與管理對圍巖穩定性的影響，應按Ⅳ級標準選擇合適的支護方案，對圍巖體采取相應的支護措施。

由文獻[23]可知：“本區段圍巖施工過程中，一般除局部有小坍落外，自穩性較好。板巖段由于干燥無水，巖層陡立，擠壓緊密，所以穩定性尚好。此外，為防止陡傾斜的巖層發生傾倒，建議加強邊墻上部的錨桿支護。”并結合該工程區段隧道圍巖質量分級結果及現場圍巖穩定性監測情況，可知該模型應用于具體的隧道工程圍巖穩定性評價是可行的，評價結果客觀準確，與工程實際相符。隧道圍巖穩定性評價與比較如表7所示。

表7 隧道圍巖穩定性評價與比較

6 結論

(1)可拓評價方法中各評價指標的權重對隧道圍巖穩定性評價結果影響很大，運用博弈論組合賦權法，克服了傳統賦權過程中主觀隨意性較強及完全依賴評價指標原始數據而忽略指標本身屬性等缺點，權重確定更加合理。

(2)傳統可拓評價方法沒有考慮分類界限值的模糊性與隨機性，將云模型與可拓理論相結合，不僅改進了可拓物元結構，兼顧了指標信息的模糊性與隨機性，而且在模型建立過程中避免了觀測數據進行歸一化處理造成的信息缺失，使得評價結果更加科學合理。

(3)將博弈論、可拓學、云模型等現代應用數學理論方法應用到隧道圍巖穩定性評價中，構建了隧道圍巖穩定性評價模型，不僅得出了實際工程隧道圍巖穩定性所屬類別，而且還定量給出了所屬等級的概率值，避免了傳統最大隸屬度原則中圍巖始終隸屬于單一等級的弊端，為隧道圍巖穩定性評價提供了切實可行的參考方法。