非線性奇異攝動系統輸出跟蹤控制綜述

劉蕾，劉羽千，韓存武

（北方工業(yè)大學現場總線技術及自動化北京市重點實驗室，北京 100144）

奇異攝動系統廣泛應用于航空航天、電力、機械、流程工業(yè)、剛性機器人等許多實際工程領域。該系統的特點是在系統中某些狀態(tài)變量的導數項上乘以一個非常小的攝動參數ε（0＜ε＜＜1），因其同一系統含有多個（兩個或兩個以上）不同數量級的時間尺度，使得系統的動態(tài)變化差異太大，以至于按照慢動態(tài)的時間尺度看，快動態(tài)的變化幾乎是沒有任何過渡過程的直接跳躍，而按照快動態(tài)的時間尺度看，慢動態(tài)幾乎就是一個恒定不變的過程，猶如從人類社會的日常時間尺度去看天空中星座的幾何形狀變遷過程。這種跨尺度性，決定了所涉及的各類控制是一種跨尺度控制，而由此所引出的一些基礎研究問題，如建模、優(yōu)化、穩(wěn)定性、魯棒性、方程求解、干擾抑制等，都必須在跨尺度框架下研究。奇異攝動系統的研究是一個經典的課題。近年來，由于航空航天領域中天空對接過程中的姿態(tài)與位置跨尺度特征顯著，以及由于人工智能的興起而引起的智能機器人的研究熱潮，該問題被重新得到重視，學者們不斷提出新的研究方法，獲得新的研究成果。然而，到目前為止，奇異攝動系統的研究主要集中在穩(wěn)定性分析與鎮(zhèn)定和最優(yōu)控制、魯棒控制等方面，而關于奇異攝動系統尤其是非線性奇異攝動系統的輸出跟蹤控制研究還很少見。

輸出跟蹤控制就是使系統的輸出通過控制器盡可能的跟蹤給定參考輸出。常規(guī)系統的輸出跟蹤控制已經有了許多重要成果，并已被廣泛用于機器人控制、飛行器控制和電機控制中。但由于奇異攝動系統中存在的快慢跨尺度特性的影響，這些成果不能直接推廣到奇異攝動系統，必須探討一種新的奇異攝動系統的輸出跟蹤控制理論和方法。

1 奇異攝動系統定義

1972年Wilde和Kokotovic首先提出了奇異攝動系統的相關概念[1]，并創(chuàng)立了奇異攝動系統理論[2]，在國內，許可康于1986年出版了專著詳細論述了奇異攝動系統的一些基礎理論[3]，1987年Khorasani 等人將研究對象從線性奇異攝動系統推廣到非線性奇異攝動系統[4]，之后，奇異攝動系統的研究吸引了控制領域專家學者的極大興趣，并取得了大量的研究成果[5-7]。

1.1 線性奇異攝動系統

線性奇異攝動系統的數學表達式如下所示：

其中，x(t)為狀態(tài)變量，u(t)為輸入變量，y(t)為輸出變量，w(t)為擾動；為系統矩陣，B1為輸入矩陣，C為輸出矩陣，為前饋矩陣，D1、D2分別為擾動信號對狀態(tài)變量及輸出的作用矩陣；為攝動矩陣，其定義如下：

對于系統（1），討論 取值對系統型別影響如下：

1.2 非線性奇異攝動系統

非線性連續(xù)奇異攝動系統的數學表達式如下所示：

其中，x(t)為慢狀態(tài)變量，Z(t)為快狀態(tài)變量，U(t)為輸入變量，Y(t)為輸出變量，均為非線性函數；為攝動參數，

2 非線性奇異攝動系統的輸出跟蹤控制

由于實際控制系統都是非線性的，而相對于線性系統，非線性系統的研究更加困難，也更加有意義，所以，到目前為止，跟蹤控制一般被廣泛應用于電機中[8]，奇異攝動系統輸出跟蹤控制的大部分研究都是針對非線性系統的。下面對國內外研究現狀進行綜述。

2.1 非線性奇異攝動系統的最優(yōu)輸出跟蹤控制

ALI等針對遠程操作的系統，提出了一種基于奇異攝動系統的最優(yōu)輸出跟蹤控制方法，該方法考慮了由于遠程操作引起的系統時滯，首先應用一階的泰勒展開來近似系統中的時滯，然后應用快慢子系統分解的方法，把輸出跟蹤控制問題轉化為一般的最優(yōu)控制問題[9]；WANG等[10]應用逆穩(wěn)定性理論，在假設系統充分可逆的條件下，提出了一種非線性奇異攝動系統的輸出跟蹤控制方法。然而，上述最優(yōu)輸出跟蹤控制方法不能控制存在不確定性的系統。

2.2 非線性奇異攝動系統的魯棒輸出跟蹤控制

PRISCOLI等[11]提出了一種針對奇異攝動系統中快動態(tài)的魯棒跟蹤控制方法，文中假設奇異攝動系統滿足對快動態(tài)是線性的條件，并且沒有考慮系統中的不確定性；為了處理系統中的不確定性，CHRISTOFIDES等[12]在假設奇異攝動系統中的快子系統可鎮(zhèn)定而慢子系統可輸入/輸出線性化、并且不確定參數上界已知的條件下，提出了一種有效的魯棒輸出跟蹤控制方法，該方法只能處理滿足匹配條件的不確定性；DAROOGHEH等[13]基于狀態(tài)估計，提出了一種非線性奇異攝動系統的魯棒輸出跟蹤控制方法；XU等[14]利用動態(tài)逆和變參數方法，提出了一種非線性奇異攝動系統的魯棒輸出跟蹤控制方法；HU等[15]提出了一種非線性奇異攝動系統的多目標魯棒輸出跟蹤控制方法。然而，上述魯棒輸出跟蹤控制方法只能控制小范圍的不確定性并且不確定性上界已知的系統。當系統中的不確定性與其上界之間的誤差較大時，上述魯棒輸出跟蹤控制方法具有很大的保守性。

2.3 非線性奇異攝動系統的自適應輸出跟蹤控制

為了控制具有大范圍不確定性的系統，LIU等[16]提出了一種非線性奇異攝動系統的魯棒自適應輸出跟蹤控制方法，并基于奇異攝動解耦，將該方法應用到了柔性機械臂的控制。

2.4 非線性奇異攝動系統的滑模輸出跟蹤控制

上述的魯棒和自適應控制方法雖然都能控制具有不確定性的奇異攝動系統，但要求系統中的不確定性滿足匹配條件。針對不滿足匹配條件的不確定性，ADHAMI-MIRHOSSEINI等[17]提出了一種基于滑模控制和反推設計的魯棒輸出跟蹤方法，在每一個步驟，設計滑模控制器作為下一步的虛擬控制律，然后利用這個虛擬控制律來定義下一步的滑模面，因此，該方法可以將非匹配的不確定性看成在虛擬控制律下的匹配不確定性；ZHANG等[18]提出了基于神經網絡滑模控制的奇異攝動系統的輸出跟蹤控制，并將其應用到了柔性裝置的控制；GIL等[19]則將滑模輸出跟蹤控制應用到了電機控制中。

2.5 非線性奇異攝動系統的智能輸出跟蹤控制

上述非線性奇異攝動系統的輸出跟蹤控制方法都依賴于系統的模型。當系統模型不準確或難以建立系統模型時，可以用智能控制的方法，如：模糊輸出跟蹤控制方法[20-24]，神經網絡輸出跟蹤控制方法[25-26]，基于迭代學習的輸出跟蹤控制方法[27]。

2.6 非線性奇異攝動系統輸出跟蹤控制的應用

到目前為止，非線性奇異攝動系統的輸出跟蹤控制已被成功應用于機器人控制[16,18,20,28-29]，電機控制[19,26,30-31]和飛行器控制[15,32]中。

3 目前研究存在的問題

綜上所述，雖然非線性奇異攝動系統的輸出跟蹤控制已經取得了一些研究成果，但仍存在如下問題：

（1）已有研究大都采用快慢子系統分解或極限理論對系統進行簡化近似處理，而沒有真正從全局的角度深入討論單一/多個攝動參數下，跨尺度因素對系統性能的影響。

（2）已有研究大都沒有考慮時滯的影響，尤其是時變時滯的影響。而時滯廣泛存在于控制系統中，它將降低控制系統的性能，甚至使系統變得不穩(wěn)定，所以必須考慮。

（3）多目標控制問題還幾乎沒有研究。實際上，大多數控制系統都存在多目標控制問題，尤其是系統中的多個目標相互沖突的時候，必須找到一種優(yōu)化的方法。

4 未來的可能研究方向

通過上述國內外研究現狀分析，針對目前研究存在的問題，未來將從以下幾個方面進行深入研究。

（1）采用一體化設計思路而不進行快慢子系統分解，研究非線性奇異攝動系統的輸出跟蹤控制問題；

（2）研究具有時變時滯的非線性奇異攝動系統的輸出跟蹤控制問題；

（3）研究非線性奇異攝動系統的多目標輸出跟蹤控制問題。

5 結論

針對非線性奇異攝動系統，本文對近幾年的輸出跟蹤控制方法進行了綜述，分析了已有方法的原理、優(yōu)勢和存在問題，并指出了未來可能的研究方向。本文將對從事該領域的研究人員具有一定的導向與引領作用。