數(shù)列中遞推關系求通項公式（構(gòu)造法）

張亦新

【摘 要】數(shù)列在高考中分值占比較高，已知遞推關系求通項公式，出現(xiàn)的頻率較高。本文對數(shù)列已知遞推關系求通項公式，采用構(gòu)造法進行分析、研究、歸類、拓展，能夠有效提高學生解題的能力，從而促使學生邏輯思維更加嚴密，培養(yǎng)良好的思維習慣和素養(yǎng)。

【關鍵詞】數(shù)列；遞推關系；通項公式；構(gòu)造法

求數(shù)列通項公式是高考重點考查的內(nèi)容，中學數(shù)學課本中，只有等差數(shù)列與等比數(shù)列可以直接利用公式求通項，有些數(shù)列提供遞推關系可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用等差或等比的通項公式，求得原數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化思想在數(shù)列中的靈活應用。

解決數(shù)列問題過程中，定向思考由條件到結(jié)論，有時這種思維方式難以尋找到解題途徑。此時，需要換角度思考，設法繞過障礙。數(shù)列中構(gòu)造法本質(zhì)就是將未知關系轉(zhuǎn)化為已知的等差或等比關系，是根據(jù)已知條件的特征，構(gòu)造出新的數(shù)學模型，從而使問題簡化，體現(xiàn)發(fā)散思維。本文就數(shù)列中已知遞推關系采用構(gòu)造法求通項公式，進行總結(jié)、歸類、拓展。

1.已知遞推關系a =p·a +f（n）（本文中都滿足p為常數(shù)且p≠0，p≠1）求通項

1.1已知遞推關系中f（n）=q（q為常數(shù)）求通項

例1：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a =3a +1，求通項公式a 。

本例構(gòu)造法思想就是設法將常數(shù)1分解到a 與a 上去，可采用待定系數(shù)法，設每項分到x，即a +x=3（a +x），化簡得a =3a +2x，與原式對比解得x= ，這說明{a + }為等比數(shù)列，所以a + =- ·3 ，從而得a =- ·3 - 。

遞推關系形如a =p·a +q，可構(gòu)造a - =p（a - ），即{a - }為等比數(shù)列，從而求得通項a 。

1.2已知遞推關系中f（n）=A·n+B求通項

例2：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a =3a +2n+1，求通項公式a 。

本例可設a +x·（n+1）+y=3（a +x·n+y），化解后a =3a +2x·n+2y-x，對比原式解方程組得到x=1，y=1，即{a +n+1}為首項1公比3的等比數(shù)列，所以a +n+1=3 ，從而a =3 -n-1。

遞推關系形如a =p·a +A·n+B，構(gòu)造{a +x·n+y}成等比數(shù)列，通過待定系數(shù)法可求得x，y。同理，a =p·a +f（n），f（n）為二次函數(shù)，三次函數(shù)，都可類似構(gòu)造。

1.3已知遞推關系中f（n）=p 求通項

例3：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a =3a +3 ，求通項公式a 。

本例特點系數(shù)3與底數(shù)一樣，等式左右同除以3 ，得到 = +1，這說明{ }為等差數(shù)列，所以 =n- ，從而a =（n- ）·3 。

遞推關系形如a =p·a +A·p ，可構(gòu)造{ }成等差數(shù)列，通過等差數(shù)列公式可求得通項a 。

1.4已知遞推關系中f（n）=q 求通項

例4：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a =3a +2 ，求通項公式a 。

本例特點系數(shù)3與底數(shù)2不同，可將等式左右同除以2 ，得到 = · +1，可設b = ，則b = ·b +1，用例1方法解得b =（ ） -2，從而求得a =3 -2 。

也可將2 分解到a 與a 上，設a +x·2 =3（a +x·2 ），得a =3a +x·2 ，對比原遞推關系x=2，即{a +2·2 }為等比數(shù)列，所以a +2·2 =3 ，得a =3 -2 。

遞推關系形如a =p·a +A·q ，可兩邊除以q ，轉(zhuǎn)化為例1形式構(gòu)造成等比數(shù)列；也可直接利用待定系數(shù)法設成a +x·q =p（a +x·q ），構(gòu)造{a +x·q }成等比數(shù)列，對比原式求得x，從而利用等比數(shù)列通項公式，求出通項a 。

1.5已知遞推關系中f（n）=A·q +B·n+C求通項

例5：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a =3a +2 +2n+1，求通項公式a 。

本例可設a +x·2 +y·（n+1）+z=3（a +x·2 +y·n+z），化解后，a =3a +x·2 +2y·n+2z-y，解得x=2，y=1，z=1，即構(gòu)造{a +2·2 +n+1}為等比數(shù)列，求得a +2·2 +n+1=3 ，解得a =3 -2 -n-1。

遞推關系形如a =p·a +A·q +B·n+C，構(gòu)造{a +x·q +y·n+z}成等比數(shù)列，利用待定系數(shù)法可求x，y，z，從而求出通項a 。

2.已知二階線性遞推關系，求通項

2.1已知遞推關系a =A·a +B·a （A，B為常數(shù)，且A≠0，B≠0以下相同）求通項

例6：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a =1，a =4a -3a ，求通項公式a 。

可設a +x·a =y·（a +x·a ），化解后a =（y-x）·a +xy·a ，對比已知遞推關系， y-x=4，解得 x=-1，或

x·y=-3 y=3

x=-3

y=1兩組解的意思是兩種分解方式。第一種分解得a -a =3（a -a ），這說明{a -a }為等比數(shù)列，a -a =2·3 ，利用累加法可得a =3 -2；第二種分解方式得a -3a =a -3a ，{a -3a }首項為4公比為1的等比數(shù)列，或者首項為4公差為0的等差數(shù)列，得到a -3a =4，轉(zhuǎn)化為例1的問題，可得a =3 -2。兩種分解得到的結(jié)果是一致的，因此解題時只需一種即可。

（下轉(zhuǎn)第29頁）（上接第27頁）

遞推關系形如a =A·a +B·a 可構(gòu)造成{a +x·a }成等比數(shù)列，得到的結(jié)果為a =-x·a +A·q ，可利用例4的方式求解。

2.2已知遞推關系a =A·a +B·a +C·n+D求通項

例7：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a =1，a =5a -6a +2n-3，求通項公式a 。

設 =t，得a =（t-x）a +tx·a +（ty-y）·n+tz-z-y，對比已知得

t-x=5， x=-2或 x=-3，

t·x=-6 t=3 t=2

ty-y=2 y=1 y=2

tz-z-y=-3 z=-1 z=-1兩組解表示兩組分

解，第一種分解可得{a -2a +n-1}為等比數(shù)列，a -2a +n-1=3 ，得到a =2a +3 -n+1，轉(zhuǎn)化為例5的形式，可構(gòu)造{a -3 -n}為等比數(shù)列，可得a =3 -5·2 +n。對于第二種分解，同理可得同樣的結(jié)果。

遞推關系形如a =A·a +B·a +C·n+D，可構(gòu)造{a +x·a +y·n+z}成等比數(shù)列，得形如a =p·a +A·q +B·n+C，變?yōu)槔?同類，構(gòu)造{a +x·q +y·n+z}成等比數(shù)列，從而求得a ，需要二次構(gòu)造。

3.已知分式遞推關系，求通項

3.1遞推關系形如a = ，求通項

例8：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a = ，求通項公式a 。

本例特點是分子僅含a 的項，且系數(shù)與分母常數(shù)相同，通過倒數(shù)得到 = + ，構(gòu)造{ }成等差數(shù)列，求得a = 。

遞推關系形如a = ，可通過倒數(shù)，構(gòu)造{ }成等差數(shù)列，從而求得通項a 。

3.2遞推關系形如a = ，求通項

例9：已知數(shù)列{a }中，a =-1，a = ，求通項公式a 。

本例倒數(shù)之后可得 = · + =，設b = ，則b = b + ，形如例1形式，可求得b =1-2·3 ，從而a = 。

遞推關系形如a = ，可通過倒數(shù)，構(gòu)造{ +X}成等比數(shù)列，求得通項a 。

3.3遞推關系形如a = （C≠0且AD-BC≠0），求通項

可利用不動點進行構(gòu)造，設特征方程x= ，解得方程的根，根據(jù)根的情況進行構(gòu)造，分為有兩個不同的實根與兩個相同的實根兩種情況，如下進行分類：

3.3.1特征方程有兩個不同實根

例10：已知數(shù)列{a }中，a =2，a = ，求通項公式a 。

設特征方程x= ，解得兩根為1與-1，則可設 =t· ，（t為常數(shù)），根據(jù)已知關系，可得a = ，將a ，a 代入得到t=-3，這說明{ }是首項為3公比為-3的等比數(shù)列， =-（-3） ，解得a = 。

遞推關系形如a = ，如果特征方程x= 有兩不同實根α，β，可構(gòu)造{ }成等比數(shù)列，公比可由第一與第二項求得，利用等比數(shù)列通項公式，解出通項a 。

3.3.2特征方程有兩個相同實根

例11：已知數(shù)列{a }中，a =2，a = ，求通項公式a 。

設特征方程x= ，解得兩相同根x=- ，則可設 = +t，根據(jù)已知關系a = ，將a ，a 代入得到t=1，這說明{ }是首項為 公差為1的等差數(shù)列，所以 =n- ，從而解得a = 。

遞推關系形如a = ，如果特征方程x= 有兩相同實根α，可構(gòu)造{ }成等差數(shù)列，公差可由第一與第二項求得，利用等差數(shù)列通項公式，解出通項a 。

本文通過研究三類數(shù)列遞推關系，構(gòu)造求得通項，歸納總結(jié)方法。深刻理解遞推公式與通項公式概念，有利于優(yōu)化思維品質(zhì)，提高邏輯能力；在數(shù)列課的教學中，引導學生運用構(gòu)造法求通項，不僅能提高學生的解題能力，更重要是通過這種解題方法可豐富學生的想象力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力。

數(shù)列遞推公式轉(zhuǎn)換為通項公式，觀察、分析，合理變形，是成功構(gòu)造新數(shù)列的關鍵。它的本質(zhì)就是將遞推關系轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，化繁為簡、把未知轉(zhuǎn)化為已知、從不熟悉到熟悉，這是解答數(shù)學問題的共性。

【參考文獻】

[1]任志鴻.高中總復習優(yōu)化設計[M].知識出版社，2016年12月

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