運用“草圖”輔助理解數(shù)學核心問題的策略

張友峰

[摘 要]

在數(shù)學教學中，經(jīng)常會碰到核心問題難于突破的情況，學生的學習經(jīng)常停留于問題的淺表層面，不能進一步深入。結合“草圖”運用的教學實例，闡述數(shù)學深度學習方面的實踐嘗試：直觀理解數(shù)量之間的關系，探究數(shù)學概念的內(nèi)在本質(zhì)，突破方法指導上的難關，形成系統(tǒng)的知識體系。“草圖”能夠直觀呈現(xiàn)學生的思維過程，明了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握內(nèi)涵特征，讓學生的學習進一步走向深刻。

[關鍵詞]

小學數(shù)學；草圖；核心問題；理解

筆者在一次市級教研活動中，有一個數(shù)學集體備課展示環(huán)節(jié)令人印象深刻，備課組老師圍繞蘇教版五年級“多邊形面積”單元教學中存在的困惑進行了集中研討，學生對于平行四邊形和三角形的面積、底和高三者關系很難弄清楚，等底等高的情況下三角形和平行四邊形面積有什么關系？等面積等底呢？等面積等高呢？這是本單元教學的一個核心問題，現(xiàn)場有老師推薦了很多教學方法，如：可以用假設法的策略試一試，或者可以讓學生把三者關系熟記，可以快速解決問題，但總感覺這樣的教學可能欠缺了一些思維的深度。

回歸本源，為什么學生容易混淆這三者的關系呢？從低年級的具體情境問題到高年級的抽象推理問題，對于學生的空間想象能力提出了更高的要求，也許我們高估了孩子的現(xiàn)實起點，很大一部分學生還不具備解決該問題所需的抽象思維能力。理解抽象問題的最佳方式就是圖形直觀，蘇教版教材在解決問題策略教學中，安排了畫示意圖和線段圖的內(nèi)容，培養(yǎng)學生運用策略解決實際問題的能力。但在整個數(shù)學教學中，畫圖策略的作用和價值不能僅僅局限在問題解決版塊。在教學實踐中，筆者認識到：要讓學生深刻理解數(shù)學核心問題的實質(zhì)，必須深入內(nèi)在挖內(nèi)涵，理解必須走向深刻。因此，筆者積極開展“草圖”研究，鼓勵學生運用個性化的“草圖”把思維的過程呈現(xiàn)出來。

一、以圖促思——發(fā)現(xiàn)數(shù)量背后的關系

波利亞說：抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見，摸得著。在教學過程中，學生對于很多數(shù)學知識的理解是模棱兩可的。在圖形與幾何領域，經(jīng)常會碰到許多圖形關系的核心問題，實物或課件演示是不錯的方法，但是這種直觀呈現(xiàn)方式經(jīng)常留于表面，許多學生僅僅停留在淺表層面，思維不夠深入的直接后果就是在實際解題時張冠李戴，數(shù)量錯配。

例如，上面的例子中，學生經(jīng)常會碰到的問題是：一個三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四邊形的面積是多少平方分米？一個三角形的面積是48平方分米，與它等底等高的平行四邊形的面積是多少平方分米？如果僅僅停留在關系的簡單記憶或者湊數(shù)字假設解決的程度，相信在今后向更高層次學習時，理解偏差會進一步暴露出來，對學生的深度學習和長期學習是不利的。如果像下面這樣畫“草圖”處理的話，學生對于面積、底和高三者之間的關系可以認識得更加清晰，畫下來的“草圖”可以幫助學生實現(xiàn)“抽象——直觀——再抽象”，一旦再次抽象成功，今后這類問題學生甚至可能在頭腦中畫出“草圖”，對于學生空間觀念的培養(yǎng)非常有價值。

又如，在蘇教版五年級下冊“分數(shù)意義和性質(zhì)”單元中，學生經(jīng)常會碰到這樣的困惑：把2米長的繩子平均分成5段，每段占全長的幾分之幾？每段的長是幾分之幾米？分率需要用單位“1”除以份數(shù)，具體量需要用2米除以份數(shù)，這是單元教學的一個核心問題，如果僅僅停留在這種方法指導上是不夠的，學生的理解也是不夠深刻的。筆者讓學生展開自己的思維，在草稿紙上畫一畫“草圖”，表示這兩種不同的分法，學生的思維豁然開朗。

在數(shù)學學習中，很多重要的概念都具有“雙重性”，既有數(shù)的特性，也有形的特性，只有從多維度去認識它們，才可以更好地理解它們的本質(zhì)意義。運用“草圖”的力量，從不同的角度去思考問題，能夠幫助學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，把分數(shù)意義的理解直觀化。數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。”“草圖”能夠幫助學生突破語言描述的不足，深入理解代數(shù)的抽象性，也能夠幫助學生分析數(shù)量關系，可以巧妙化解教學的難點。

二、以圖明理——探索概念內(nèi)在的特征

數(shù)學概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。引入概念的方式有多重，如直接觀察、計算呈現(xiàn)、推理證明、作圖發(fā)現(xiàn)等。根據(jù)概念的抽象水平，我們可以把概念分為定義性概念和描述性概念。概念教學的關鍵是要幫助學生揭示其內(nèi)涵和外延，了解概念的特點，明確不同概念間的關系，構建數(shù)學知識體系。

例如，蘇教版五年級下冊“最大公因數(shù)”和“最小公倍數(shù)”概念是這樣呈現(xiàn)的：8和12的公因數(shù)有1，2，4，其中最大的是4，4就是8和12的最大公因數(shù)；6和9的公倍數(shù)有18，36，54，……其中最小的是18，18就是6和9的最小公倍數(shù)。這是典型的描述性概念，從概念文本上理解還是比較容易的，通過練習學生的掌握情況較好。但是，一旦碰到具體的解決問題，學生的各類混淆性錯誤就暴露出來了。

問題1：把長36厘米，寬24厘米的長方形，平均分成若干個大小相同的正方形（邊長為整厘米），最少可以分多少個？

問題2：把若干個長3厘米，寬2厘米的長方形拼成一個正方形，至少需要多少個？

像這樣的核心問題，學生常見的錯誤有：一是混淆最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)兩種概念；二是混淆邊長和個數(shù)之間的區(qū)別。錯誤暴露出學生對于概念本質(zhì)理解的不足，簡單地模仿練習并不能從根本上理解概念內(nèi)涵。如果借助“草圖”畫一畫，把思考的過程呈現(xiàn)出來，可能就會達到事半功倍的效果。

“窮舉法”對于培養(yǎng)人的思維縝密性具有無可替代的價值，在蘇教版五年級上冊“一一列舉”策略教學中，這一策略概念的引入環(huán)節(jié)，安排學生進行握手游戲：請四位同學分別表示1～4號，互相握手，共有幾種握法？在獨立嘗試中，學生可以較好完成，但是如何滲透有序列舉這種思想？光靠學生的語言表達和實踐操作，策略的意識可能僅僅停留在直觀表象中，如何抽象表征呢？通過畫一畫“草圖”可以尋找多種方式，幫助學生進行有序思考，養(yǎng)成全面思考的習慣。

有了這樣的思考過程的展現(xiàn)，學生不僅能夠根據(jù)已知條件，有序、不遺漏地找出所有可能情況，而且在問題解決的過程中還滲透了方法的多樣性，感悟了“列舉”策略的價值。在核心概念突破時，“草圖”可以鍛煉學生的思維能力，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟相關的數(shù)學思想方法。

三、以圖破題——尋找方法指導的良藥

數(shù)學家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中說到：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。”在數(shù)與代數(shù)領域，由于小學生的年齡特點和認知規(guī)律，數(shù)學抽象推理能力還比較薄弱，為了對學生進行更好的方法指導，需要在分析問題角度做大膽嘗試。“草圖”就是一個效果非常好的破題工具，可以成為方法指導層面的一味良藥。

例如，在蘇教版五年級下冊“假分數(shù)化成帶分數(shù)”一課中，教學嘗試把假分數(shù)化成帶分數(shù)時，很多學生想到運用分數(shù)單位的知識進行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化過程中錯誤情況還是經(jīng)常出現(xiàn)。學生容易把整數(shù)部分和分子弄混淆，計算還停留在算法層面，通過畫“草圖”對方法進行指導和糾正，進一步理解算理，問題就引刃而解。有學生畫出了“大餅”圖，也有學生想到用數(shù)軸圖來轉(zhuǎn)化，甚至還有學生想到用豎式圖來表示方法，非常直觀清晰。在幾何直觀訓練基礎上，學生的抽象表征能力得到提升，后期就不在需要畫圖了。

又如，在蘇教版五年級上冊“小數(shù)大小比較”教學中，學生在復雜易混小數(shù)的大小比較時，錯誤率非常高，原因有審題錯誤，也有方法掌握不到位等。部分學生再做類似的題目，仍然會錯，這可能就歸結為解題好習慣的缺失。“小數(shù)大小的比較”是在“整數(shù)大小比較”基礎上進行教學的，與整數(shù)大小比較在方法相似，都是從高位開始比較，比較相同數(shù)位上的數(shù)字，但是由于小數(shù)點的干擾，學生的讀題準確率不如整數(shù)。如果能幫助學生在方法層面加強指導，用“草圖”形式培養(yǎng)思維的有序性，運用小數(shù)大小比較的方法，輕松就可以找到正確的答案。

問題：把小數(shù)從大到小排列，0.67，6.7，6.07，60.7，0.067，0.607，0.672。

通過畫“草圖”，依次排列所有的小數(shù)，再根據(jù)小數(shù)大小比較的方法，有序找出最大的小數(shù)，標上序號，最后根據(jù)題目要求，由序號依次從大到小排列，這樣一道信息量比較大的問題就迅速得到解決。小數(shù)大小比較也是小數(shù)學習中的一個核心問題，通過以上的方法指導，可以快速破題，準確、高效、有序地比較小數(shù)的大小。

四、以圖聯(lián)結——構建知識體系的紐帶

思維導圖又稱作心智導圖，是表達發(fā)散性思維的有效工具，非常簡單卻又非常有效。在數(shù)學學習中它的優(yōu)點不言而喻，可以構建知識體系中各種量之間的關聯(lián)，具有形象化和簡潔化的特點。小學高年級階段，我們經(jīng)常在“圖形與幾何”應用導圖來整理知識體系，如多邊形面積公式的推導、立體圖形表面積體積的推導等。其實在“數(shù)與代數(shù)”領域也不乏有效的嘗試，通過“草圖”化的形式，讓學生產(chǎn)生發(fā)散性思維，突破核心問題，建構知識體系。

比如，在蘇教版五年級下冊“公因數(shù)和公倍數(shù)”知識體系建構中，讓學生根據(jù)之前學習的公因數(shù)和公倍數(shù)的有關知識，根據(jù)數(shù)與數(shù)之間不同關系的分類，獨立嘗試梳理思維導圖。學生通過合作整理，全班交流等形式，形成了一份“公因數(shù)和公倍數(shù)”判斷方法結構圖。

相比枯燥的結論，抽象的判斷，這樣直觀的“草圖”學生非常樂于接受，通過看圖，學生能夠在頭腦中建構“公因數(shù)和公倍數(shù)”的知識體系，明確知識點的來龍去脈，了解數(shù)學的美妙，激發(fā)學生的數(shù)學探究興趣。

又如，在四年級下冊“行程問題”學習中，學生對于同向而行、相向而行和背向而行概念模糊，實際問題中的環(huán)形跑道問題也會涉及到以上三種情況。在信息整理中要區(qū)分多種情況：一是要提高審題能力，二是要進行圖形表征。通過讓學生畫一畫“草圖”，用集體的力量整理不同“行程問題”的條件，并用簡潔的符號表示，逐步形成一張完美的“行程問題”結構圖。

上圖中，通過集思廣益，發(fā)揮學生的創(chuàng)造力，教師適當?shù)匾龑拚癸@了三種情況的不同之處。在環(huán)形跑道問題中又把“相向而行”和“背向而行”聯(lián)系起來，其實兩者在跑道上是同一種跑法，在追趕超過一圈問題中，學生這樣的表示方式讓人記憶猶新，眼前一亮。充分發(fā)揮“草圖”的優(yōu)勢，直觀、系統(tǒng)、全面地呈現(xiàn)核心問題的特點，構建數(shù)學知識體系，引導和啟發(fā)學生高效解決問題，有效培養(yǎng)學生的自主學習能力。

核心問題是一節(jié)課或者一個單元中最重要的問題，可以是一個或多個，是學生思考的重中之重，也是教學難點的集中點。這樣的問題往往是整個知識體系的發(fā)散點，具備很強的思維深度，一旦突破它，學生的數(shù)學思維能力可以得到較大的提升。畫好這樣的“草圖”，用好這樣的“草圖”，可以幫助我們直觀理解數(shù)量之間的關系，探究數(shù)學概念的內(nèi)在本質(zhì)，突破方法指導上的難關，形成全面的數(shù)學知識體系，推動數(shù)學思維由淺表走向深刻，讓學生的數(shù)學學習之路變得更加有趣而高效。

[參 考 文 獻]

[1]王永春.小學數(shù)學思想方法解讀及教學案例[M].上海：華東師范大學出版社，2017.

[2]鄭毓信.數(shù)學思維與小學數(shù)學[M].南京：江蘇教育出版社，2008.

[3]史寧中.小學數(shù)學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

（責任編輯：李雪虹）