淺談幾何概型的幾種解法

黃雪林

摘要： 幾何概型是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，對于幾何概型，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率。一般可以分成如下幾種概型問題：①長度型幾何概型問題;②角度型幾何概型;③面積型幾何概型;④體積型幾何概型。

關(guān)鍵詞： 幾何概型

中圖分類號： G634.6??? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A??? 文章編號： 1672-9129（2018）09-0160-02

Abstract：? Geometry is a new addition to the new curriculum standard. For geometric probabilities， the key is to construct the geometry corresponding to the random event， and use the geometric metric of the graph to find the probability of the random event. Generally can be divided into the following types of general problems： 1 length geometric profile problem 2 angle geometry profile 3 area geometry profile 4 volume geometry profile.

Key words：? geometric profile

1 長度型幾何概型

如果實驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，那么其概率的計算公式為P（A）= 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度 實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度

例1、某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率？

解：設(shè)A={等待的時間不多于10分鐘}，事件A恰好是打開收音機(jī)的時刻位于[50，60]時間段內(nèi)，因此由幾何概型的求概率公式得P（A）= 60-50 60 = 1 6? 即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為 1 6

例2、取一根長度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率？

解：設(shè)A={剪得的兩段都不少于1m}，事件A恰好是剪的位置繩子中間2m，因此由幾何概型的求概率公式得P（A）= 2 4 = 1 2

即“剪得的兩段都不少于1m”的概率為 1 2

2 角度型幾何概型

如果實驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度表示，那么其概率的計算公式為P（A）= 構(gòu)成事件A的區(qū)域角度 實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域角度

例3.在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB是的內(nèi)部做一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

解：在AB上取AC=AC'，則∠ACC'= 180°-45° 2 =67.5°

設(shè)A={在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，交線段AB于點M，AM

3 面積型幾何概型

如果實驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，那么其概率的計算公式為P（A）= 構(gòu)成事件A的區(qū)域面積 實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積

例4、取一個邊長為2 a 的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率.

解：設(shè)A={豆子落入圓內(nèi)}，事件A恰好是豆子落入圓內(nèi)面積，由幾何概型的求概率公式得P（A）= 圓的面積 正方形的面積 = πa2 （2a）2 = π 4

例5、甲乙二人相約定6：00-6：30在約定地點會面，先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會面的概率（假定他們在6：00-6：30內(nèi)的任意時刻到達(dá)約定地點的機(jī)會是等可能的）。

解：以 x 及 y 軸分別表示甲乙二人到達(dá)約定地點的時間（分鐘），

則0≤x≤30，0≤y≤30如圖所示

且二人會面 x-y <10

角坐標(biāo)系下，（x，y）的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，而事件A={兩人能夠會面}的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示，則P（A）= 302-202 302 = 5 9

4 體積型幾何概型

如果實驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，那么其概率的計算公式為P（A）= 構(gòu)成事件A的區(qū)域體積 實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積

例6、有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點O是這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率是？

解：設(shè)A={點P到點O的距離大于1}

事件A發(fā)生的構(gòu)成區(qū)域為以O(shè)點為球心，半徑為1的半球外P（A）= sh- 1 2 v球 sh = 2 3

例7、正四面體D-ABC的體積為V，P是正四面體D-ABC內(nèi)部的一個點。則四 面體P-ABC的體積>=1/4V的概率是？

解：設(shè)A={四面體P-ABC的體積>=1/4V}

事件A發(fā)生的構(gòu)成區(qū)域為是四面體D-A′B′C′

P（A）= VD-A'B'C' VD-ABC = 27 64

拓展與延伸

類比例3與例8，由于M點的取法不同，所以構(gòu)成的基本事件不一樣。

例8、在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.

解：在AB上截取AC′=AC，故AM

P（A）= AC' AB = AC AB = AC? 2 AC =? 2? 2

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社編 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修三

[2]江西高校出版社 金太陽導(dǎo)學(xué)案