函數極值和最值間的區別與聯系

摘 要：在實際問題中，常常會遇到為了發揮最大的經濟效益，要求在一定的條件下，提高生產效率，降低成本，節約原料，以達到利潤最大化，費用最省；或施工中受污染程度最小等問題。解決這類問題就需要用到函數的極值和最值的知識。而這兩個概念非常接近，學生在學習過程中經常混淆，區分不開。本文深入分析函數的極值與最值概念間的區別與聯系，以及求解極值與最值的步驟，從而找出學生易于理解的方法。

關鍵詞：函數的極值；函數的最值；區別與聯系

Abstract：In the actual problem， often encountered in order to maximize the economic benefit，under certain conditions， improve the production efficiency， reduce costs， save raw materials， to achieve the profit maximization， cost of the province； Or the minimum pollution level of the construction. Solving these problems requires the use of the extremum and the best knowledge of the function. These two concepts are very close to each other， and students are often confused during the learning process. In this paper， the difference and relationship between the extreme value of the function and the most value concept are analyzed in this paper， as well as the steps to solve the extremum and the most value， so as to find out the method which the students can understand easily.

Key words：The extremum of the function； The most value of a function； Differentiation； linkage

實際生活中，往往需要解決利潤最大化，容積最大，費用最省，或施工中受污染程度最小等問題。掌握好函數的極值和最值的知識就可以很好的解決這類問題。下面深入分析函數的極值與最值概念間的區別與聯系，便于學生分清這兩個概念。

1 極值與最值的概念

（1）函數的極值。

定義設f（x）在x0附近（即x0的鄰域內）有定義，且對于x0附近任意x（x≠x0）都有：f（x）f（x0）成立，則此時y極小值=f（x0），f（x0）為極小值，x0為極小值點。函數的極大、極小值統稱為極值，使函數取得極值的點稱為極值點。

（2）函數的最值。

設函數y=f（x）定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）成立，則稱M是函數y=f（x）的最大值（或最小值），記作ymax=f（x）=M（或ymin=f（x）=M）。

2 極值與最值的區別

（1）研究范圍的不同。

極值是一個局部的概念，研究的是小范圍，即某個點x0的鄰域內，是通過比較極值點x0附近的函數值得出的，只能說明f（x0）與點x0附近的函數值比較（這個小范圍內）是最大或最小；最值是一個整體的概念，研究的范圍是整個定義域，是比較整個定義域內的函數值得出的，說明此時的函數值在整個定義域（這個全體中）是最大的或最小的。

（2） 數量的不同。

從數量的角度，若一個函數在開區間有極值，則函數的極值不一定是唯一的，即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以有多個；而一個連續函數在閉區間上最值的個數是唯一的，只能有一個最大值或一個最小值。

（3）大小的不同。

極大值與極小值之間無確定的大小關系，因為極值的個數可以有多個，所以一個函數的極大值不一定大于極小值，有可能出現極大值比極小值還要小；而連續函數在閉區間上，最大值一定大于最小值。

（4）位置的不同。

根據極值的判定定理，若函數在某個點x0的左側到右側，對應的函數值先增大后減小，則在x0處取得極大值，若函數在某個點x0的左側到右側，對應的函數值先減小后增大，則在x0處取得極小值。在x0的左右兩側都需要有定義，所以極值點一定出現在定義域的內部，定義域的端點不能成為極值點，因此，求解極值時不需要考慮端點值。

而使函數取得最大值、最小值的點可能在定義域的內部，也可能在定義域的端點，端點處也可以取得最大或最小值，因此求解最值時一定要考慮到端點值，否則會判斷錯誤。

3 極值與最值的聯系

若函數y=f（x）在閉區間[a，b]上連續，則必存在最大、最小值，而最值只可能在極值點或者端點處取得，這就是極值與最值的聯系。

因此求解最值的方法首先就是要求出區間內使f'（x）=0（稱為駐點）及f'（x）不存在的所有點的函數值（即可能出現極值點的函數值），然后計算出端點處的函數值f（a），f（b），再比較上述函數值的大小，其中最大的就是y=f（x）在[a，b]上的最大值，最小的就是函數在[a，b]的最小值。

在利用導數解決最大值和最小值實際問題時，若所建立的函數f（x）在區間（a，b）內可導且存在唯一極值點x0，（即現實生活中的“單峰問題”），若f（x）在（a，b）內必定有最大值或最小值，那么這個唯一的極值f（x0）就是所求的最大值或最小值.

4 總結

函數的極值與最值僅一字之差，卻存在著很大的區別與聯系。因此在授課過程中首先講解概念，讓學生分清二者研究范圍的不同，然后為了進一步加深印象，結合圖像，在同一個函數圖像中，讓學生自己上黑板分別標出極值點與最值點，數出有幾個極值點，幾個最值點，就可以使學生很明顯的發現極值與最值在個數上的區別，再讓學生自己試著歸納，然后教師再加以總結。如果把連續函數比作一座連綿的山脈，那么這座山脈可能有好幾個山峰，相當于有好幾個極大值，好幾個山谷，相當于好幾個極小值；而幾個山峰中最高的山峰只能有一個，相當于只有一個最大值，幾個山谷中最低的山谷也只有一個，相當于一個最小值。這樣講解使學生對定義的理解更形象，記憶更深刻，能夠更清楚的認識二者的區別。

參考文獻：

[1]張杰，等.高等數學[M].北京：北京郵電大學出版社，2016.

作者簡介：董曉紅（1983-），女，內蒙古包頭人，理學學士，講師，主要從事高等數學的教學與研究工作。