高中數(shù)學(xué)《立體幾何》單元教學(xué)微型專題

夏吉鑫

共點(diǎn)三垂直法

空間幾何體中若過一點(diǎn)有三條棱兩兩垂直，即可簡單稱其為“共點(diǎn)三垂直”。此時(shí)可將此多面體補(bǔ)成一個(gè)長方體，此多面體的外接球即長方體的外接球。

例1： 如下圖，在三棱錐中，且，試求三棱錐外接球的表面面積。

分析：因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，由此可得過三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)有三條棱兩兩垂直（稱為“共點(diǎn)三垂直”），此時(shí)可將此三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，此三棱錐的外接球即正方體的外接球。

解：如上圖把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，其棱長為，由此正方體的外接球就是三棱錐的外接球。

設(shè)其外接球的半徑為；

則有。∴。

故其表面積。

小結(jié)： 一般地，若三棱錐在同一頂點(diǎn)處的三條側(cè)棱兩兩垂直（既出現(xiàn)共點(diǎn)三垂直），且其長度分別為a、b、c，則可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑。設(shè)其外接球的半徑為，則有。

首尾三垂直法

空間幾何體中若有三條棱兩兩垂直，且端點(diǎn)首尾相連，即可簡單稱其為“首尾三垂直”，此時(shí)可將此多面體補(bǔ)成一個(gè)長方體，此多面體的外接球即長方體的外接球。

例2：如圖所示四面體中，，，求四面體外接球的體積。

分析：四面體中，三條側(cè)棱da、ab、bc兩兩垂直端點(diǎn)首尾相連，稱其為“首尾三垂直”，此時(shí)四面體的外接球可以視作以此三條棱分別為長寬高的正方體的外接球。

解：四面體中，

又

三條側(cè)棱da、ab、bc兩兩垂直

四面體的外接球即以da、ab、bc三條棱分別為長寬高的正方體的外接球。

正方體的棱長為，正方體的體對(duì)角線為。

外接球半徑 外接球體積。

小結(jié) ：一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且端點(diǎn)首尾相連（即出現(xiàn)首尾三垂直），且其長度分別為a、b、c，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑。設(shè)其外接球的半徑為，則有。

異面三垂直法

正四面體中，三對(duì)側(cè)棱互為異面直線，且三對(duì)側(cè)棱之間兩兩垂直，稱其為“異面三垂直”，此時(shí)正四面體的外接球可以視作以正四面體棱為面對(duì)角線的正方體的外接球。

例3：求棱長為的正四面體的外接球的表面積。

分析：正四面體中，三對(duì)側(cè)棱、、 “異面三垂直”，此時(shí)四面體的外接球可以視作如圖所示的正方體的外接球。

解：如圖將正四面體放到正方體中，則正四面體的外接球既長方體的外接球。

正四面體邊長為 正方體的棱長為，正方體的體對(duì)角線為。

外接球半徑

外接球表面積

基金項(xiàng)目：甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度課題“高中數(shù)學(xué)新課程單元教學(xué)與微型探究教學(xué)有效整合的實(shí)踐研究”研究成果（項(xiàng)目編號(hào)：GS[2017]GHB3343）