“積的變化規律”應用舉例

石晟霖

“探索規律”是數與代數領域主要的教學內容之一，人教版小學《數學》四年級上冊安排了“積的變化規律”：“兩個數相乘，一個因數不變，另一個因數乘或除以幾（0除外），積也乘（或除以）幾。”

“積的變化規律”應用以填空題判斷題選擇題為主，三種題型可以互相變換下面列舉幾例，供大家參考

一、用積的變化規律填空中的應用

學生已學過三位數乘兩位數的筆算，掌握三位數乘兩位數的筆算算理和一般方法，靈活運用積的變化規律進行快捷計算是教學難點，因此，可能遇到下面的題目

例1根據15×24=360，直接寫出下面各題的積。

15×72=（ ） 15×（24÷10）=（ ）

[分析]根據“積的變化規律”：“兩個數相乘，一個因數不變，另一個因數乘或除以幾（0除外），積也乘（或除以）幾。”15×72與15×24相比較，15不變，72是24乘3得到的，因此積360也要乘3得1080； 15×（24÷10）與15×24相比，15不變，24這個因數除以10，積也要除以10，所以 15×（24÷10）=36

[練習]根據37037×3=111111，直接寫出下面各題的積。

37037×6= 37037×9= 37037×15=

二、在周長公式中的應用

學生已學習過長方形、正方形周長公式：長方形周長=（長+寬）×2，正方形周長=邊長×4。其中，長方形周長、正方形周長就是積，長與寬的和、邊長、2、4都是因數，而且2和4是不變的因數。因此，會遇到下面的題目。

例1填空：正方形的邊長擴大3倍，它的周長 。

[分析]因為“正方形周長=邊長×4”，邊長和4都是因數，正方形的周長是積，所以，根據“積的變化規律”，一個因數（4）不變，另一個因數（邊長）擴大3倍，積（周長）就擴大3倍。答案是：擴大3倍。

[練習]請應用“積的變化規律”，試著解下面三道填空題：

1.正方形的邊長縮小10倍，它的周長。

2.正方形的邊長，它的周長擴大13倍。

3.正方形的邊長，它的周長縮小15倍。

例2選擇：長方形的長與寬同時（ ），周長擴大4倍。

A.縮小2倍B. 擴大2倍C. 縮小2倍D. 擴大4倍

[分析]因為“長方形周長=（長+寬）×2”， 長與寬的和與2都是因數，長方形的周長是積，所以，根據“積的變化規律”，一個因數（2）不變，另一個因數（長+寬）擴大4倍，積（周長）就擴大4倍。答案是：D.擴大4倍。想一想：長與寬同時擴大4倍，為什么就是長與寬的和擴大4倍？

[練習]請應用“積的變化規律”，試著解下面三道選擇題：

1.長方形的長與寬同時（ ），周長縮小4倍。

A.縮小2倍B. 擴大2倍C. 縮小4倍D. 擴大4倍

2.長方形的長與寬同時縮小2倍，周長（ ）。

A.縮小2倍B. 擴大2倍C. 縮小4倍D. 擴大4倍

3.長方形的長與寬同時擴大2倍，周長（ ）。

A.縮小2倍B. 擴大2倍

C.縮小4倍D. 擴大4倍

二、在數量關系中的應用

在學習“積的變化規律”后，下一課時緊接著學習了“兩種常見的數量關系”：單價×數量=總價、速度×時間=路程。在常見的數量關系式中，單價和數量、速度和時間是因數，總價、路程都是積。因此，可能會遇到下面的題目。

例1應用題：蘋果5元3千克，香蕉10元2千克；媽媽打算買6千克蘋果和4千克香蕉，應付多少錢？

[分析]蘋果和香蕉的單價不變，買的數量發生了變化。蘋果的數量由3千克增加到6千克，擴大了2倍。一個因素單價不變，另一個因素數量擴大2倍，它們的積--總價，也要擴大2倍，也就是5×2=10；香蕉的數量由2千克增加到6千克，擴大了3倍。一個因素單價不變，另一個因素數量擴大3倍，它們的積--總價，也要擴大3倍，也就是10×2=20.

答案是；5×（6÷3）=10（元） 10×（4÷3）=20（元） 10+20=30（元）

[練習]請應用“積不變的規律”，試著解下面這道選擇題：

李老師帶錢去買排球，可以買10個，如果買單價是排球一半的網球，可以買（ ）副。

A. 5 B. 10 C. 20

例2選擇：一輛汽車從甲地開往乙地，如果速度擴大2倍，時間

（ ）

A. 擴大2倍 B. 不變 C. 縮小2倍

[分析]假設原來速度是每小時50千米，從甲地開往乙地需要4小時，甲地到乙地的路程就是200千米。現在速度擴大2倍就是每小時100千米，從甲地開往乙地需要2小時。時間從原來的4小時變成2小時，縮小了2倍。所以答案就是：C. 縮小了2倍。這實際上是應用了“積不變的規律”——“在乘法中，一個因數擴大若干倍，另一個因數縮小相同的倍數，積不變。”

三、在面積公式中的應用

在學習“積的變化規律”時，已學過兩種平面圖形的面積公式：正方形面積=邊長×邊長，長方形面積=長×寬。在面積公式中，邊長、長與寬都是因數，圖形的面積是積。因此，可能會遇到下面的題目。

例1應用題：下面這塊長方形綠地的寬要增加到24米，長不變。擴大后的綠地面積是多少？

[分析] 長方形的寬由8米增加到24米，擴大3倍，長不變，一個因素長不變，另一個因素寬擴大3倍，它們的積長方形的面積也要擴大3倍。這實際上是應用了“積不變的規律”。 答案是；560×（24÷8）=1680（平方米）

[練習]請試著解下面的選擇題：

1. 長方形的長與寬同時擴大2倍，它的面積（ ）。

A.擴大2倍B.不變C.擴大4倍

2.長方形的長縮小4倍，寬擴大2倍，它的面積（ ）。

A.擴大2倍B.不變C.縮小2倍