芻議四年級數學廣角中的“植樹問題”

羅懿

春天，是植樹的大好季節，同學們，你可能每年也參加植樹造林活動嗎？美化綠化自己的家園，你可曾注意到植樹中也有很多學問，由于植樹的線路不同，植樹的情況也就不同。你想了解植樹中的學問并學會怎樣解決植樹問題嗎？歡迎

你參加我們的數學園欄目，共同研究你想要解決的問題。

一、自主探究

例1：兩座樓房之間相距56米，每隔4米栽雪松一棵，一直行能栽多少棵？

分析：要以兩棵雪松之間的距離作為分段的標準，兩座樓房之間的長度可分為若干段，即56米里面包含有多少個4米，56÷4=14（段）

這道題與例1的不同點是兩頭不需要栽樹（因為不能在樓房的墻根栽樹），所以要栽的雪松數比分成的段是少1，14-1=13（棵）

解： （1）以4米為段，56米應分成的段數是：56÷4=14（段）

（2）栽種雪松的棵數：14-1=13（棵）

綜合算式：56÷4-1=13（棵）

答：能栽雪松13棵。

例2：某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株？可栽夾枝桃多少株？兩株夾枝桃之間相距多少米？

分析：在圓周上植樹時，由于開始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會重合在一起，所以可栽的株數等于分成的段數;由于兩株柳樹之間等距離地栽2&127;株夾枝桃，所以栽夾枝桃的株數等于2乘以段數的積;要求兩株夾枝桃之間相距多少米，需要懂得兩株柳樹之間等距地栽2株夾枝桃，即4株之間有3段相等的距離。

解：（1）以9米分為一段，水湖一周可分的段數，即栽柳樹的株數：

1.50÷9=150（株）

（2）栽夾枝桃的株數：2×150=300（株）

（3）每段上柳樹與夾枝桃的總株數是：2+2=4（株）

（4）4株栽在9米的距離中，有3段相等的距離，每兩株之間的距離是：

9.（4-1）=3（米）

綜合算式：（1）1350÷9=150（株）

（2）2×（1350÷9）=300（株）

（3）9÷（2+2-1）=3（米）

答：可栽柳樹150株;可栽夾枝桃300株;每兩株夾枝桃之間相距3米。

二、認識植樹問題的誤區

1.重形象直觀，輕抽象概括。以《植樹問題》為例，兩端都栽樹，很多老師喜歡以手為例。兩個手指之間有幾個間隔？三個手指呢？四個、五個呢？你能發現什么規律？這里，執教教師就倉促了一些。其實，這里教師還可進一步引導：6個手指有多少個間隔……100個手指呢？你是怎樣知道的？這就逼著學生跳出“手”這一具體形象，依靠表象進行抽象概括，思維無疑進了一步。

2.重歸納發現，輕演繹推理。兩端植樹，樹的棵數=間隔數+1。正如前面案例所描述的，這是一個典型的歸納發現的過程。那么，對于本節課的另一教學任務，《植樹問題》的另一類型：兩端都不植樹的情況，是否也依然要用歸納發現的方法呢？這當然仁者見仁，智者見智。不過，我認為以下教法很重要。因為，在我看來，“兩端植樹”和“兩端都不植樹”二者實質是一樣的，兩端植樹，樹的棵數=間隔數+1，把兩端的樹去掉，樹的棵數就減少了2，也就是“間隔數+1-2”，加上一個1再減上一個2，間隔數總的來說少了1，用模型表示就是“間隔數-1”。

三、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形

1.如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=段數+1。

2.如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=段數。

3.如果植樹線路的兩端都不植樹，那么植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=段數-1。

4.在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即：棵數=段數。

5.在方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數=（每邊的棵數-1）×邊數。

例題：

例子1，長方形場地：一個長84米，寬54米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2米，行距是3米.這個蘋果園共種蘋果樹多少棵？

解：

解法一：

①一行能種多少棵？84÷2=42（棵）.|

②這塊地能種蘋果樹多少行？54÷3=18（行）.

③這塊地共種蘋果樹多少棵？42×18=756（棵）.

如果株距、行距的方向互換，結果相同：

（84÷3）×（54÷2）=28×27=756（棵）.

解法二：

①這塊地的面積是多少平方米？

8.×54=4536（平方米）.

②一棵蘋果樹占地多少平方米？

2.3=6（平方米）.

③這塊地能種蘋果樹多少棵？

4.36÷6=756（棵）.

當長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時，可用上述兩種方法中的任意一種來解;當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就只能用第二種解法來解。

但有些問題從表面上看，并沒有出現“植樹”二字，但題目實質上是反映封閉線段或不封閉線段長度、分隔點、每段長度三者之間的關系。鋸木頭問題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。所鋸的段數總比鋸的次數多一。上樓梯問題，就是把每上一層樓梯所需的時間看成一個時間間隔，那么： 上樓所需總時間 =（終點層—起始層）×每層所需時間。而方陣隊列問題，看似與植樹問題毫不相干，實質上都是植樹問題。

五、總結歸納

歸納“化繁為簡”的解題策略。讓學生體會到研究問題可以從簡單入手，將困難的變為容易的，將復雜的變為簡單的，用這樣的方法，可以有效的解決問題。把抽象的數學化歸思想滲透在教學中，讓學生在“潤物細無聲”中體驗到數學思想方法的價值，提高思維的素質。