數學教學中概念教學的重塑

羌達勛

摘要：現代發生學認為，概念的學習以學習者的經驗為基礎，是學習者自主建構的過程。高中數學課堂長期以來過于注重實用，一味地在應試的層面上對學生進行機械訓練而未將概念的發生、發展過程以及產生背景、規定和限制的條件等內容完整地呈現給學生，教學效果不佳。從教學診斷出發，注重概念的生成與學生發現、提出、分析及解決問題能力的培養，能為概念教學找到合理的實施途徑。

關鍵詞：概念生成；數學教學；概念教學；教學診斷

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：2095-5995（2018）02-0044-03

一、引言

我國的高中數學課堂，長期以來過于注重實用，即強調通過大量的訓練、講解、測試等應試手段，強化知識的掌握與鞏固。這一方法雖然有利于學生在考試中取得較好的成績，但也導致了教學內容多浮于皮表，深度學習難以生發。筆者基于多年的教學管理經驗，認為一味地追逐實用性訓練，而輕視深入的概念授受，教學效果往往事倍而功半，甚至會扼殺學生的既有興趣和固有才能。教師與學生的付出與成果呈負相關，整個教學的秩序和生態均陷入低效、負能的尷尬狀態中。數學教學要擺脫這樣的困局，關鍵要重塑概念教學理念，進而調整教學策略和行為。下面是蘇教版高中《數學》必修4“弧度制”概念教學的一個片段，本文以此為例展開論述：

師：我們曾在初中學習過角的度量。大家回憶一下，1°的角是如何定義的？

生：1°的角是指周角的1/360。

師：嗯，這種定義的原理，我們稱為“角度制”。現在，我們再來學習一種全新且較為常用的單位制：弧度制。

師：“弧度”寫作“rad”。通常情況下，長度等于半徑長的弧所對的圓心角，就叫作1弧度的角。同時，AB弧的長等于半徑r，其所對的圓心角就是1弧度的角。假設圓心角∠AOC所對的弧長l=2r，其弧度數就是l/r=2r/r=2。

師：現在，請同學們利用這一知識，進行合理地遷移：圓周角的弧度數應如何表達，平角與直角呢？

生：圓周角的弧度數應為2π，平角為π，直角為π/2。

師：這樣我們就知道，任一0°到360°的角的弧度數，均服從于0≤x<2π的關系。如果圓心角表示一個負角，且它所對的弧長l=4πr時，我們就應先求出其絕對值，然后在前面加上“—”號，即-l/r=-4πr/r=-4π。

綜上所述，任一角α的弧度數的絕對值|α|均等于l/r，其中l是以角α為圓心角時所對的弧長，r是半徑。這種度量角的單位制叫作弧度制。

這堂數學課的教學片斷，在當前的數學教學中非常常見，但其忽視了概念生成的本然規律性。教師雖然很用心地闡釋定義，但這只是教師基于個人的理解設計的教學，沒有讓概念的學習從學生的知識經驗出發。從皮亞杰的發生學原理來看，這一教學的問題在于學生沒有參與到概念的建構過程之中，學生只是被動接收、復制。同時，分析這一教學片斷也可以發現，教師對學生的既有經驗估計不足，甚至可能是刻意忽視，沒有充分地分析學生的認知背景，而且教學忽視了概念的由來過程，只是把精力放在應試訓練上，即追求所謂的“概念教學最小化”和“習題講解最大化”。

從學生的角度看，他們大都認為概念教學單調、乏味，疏離個人的既有經驗、認識習慣和表達習慣。正是由于這種親和性的喪失，逐漸導致學生對概念不求甚解，抱著死記硬背的態度，嚴重影響了數學學習的科學性與有效性。在此情形下，學生只會針對特定的題型，模仿教師的解法，“依葫蘆畫瓢”，而為了畫出更多的“瓢”，師生不得不共同陷入無休止的“題海鏖戰”中。

數學作為一門起源于實用訴求的學科，雖然對思維能力、想象能力等提出了很高的要求，但它的基本概念一定來源于生活和生產的現實需要。數學教學中之所以出現概念難、概念空、概念虛等“囚徒困境”，其根本原因是數學教師沒有做到概念的生活化解構和情景性還原，甚至部分教師只知道解題，悶頭把自己煉成解題高手，因而不能用清晰、簡明和生活化的語言詮釋概念及其本質屬性，這樣就導致學生對數學概念只知其然而不知其所以然。長此以往，學生的數學學習興趣被消磨殆盡，逐漸淪為只會做題的“機器”。

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“數學教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步理解。……在教學中要引導學生經歷具體實例抽象數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質。”[1]數學概念教學的目的不是就概念教概念，更不是為了應試之需而生搬硬套概念，而是幫助學生真正理解數學概念，掌握數學思維方法，進而提升數學學習能力。因此，要使學生真正理解和掌握數學的獨特術語，教師就必須在此環節上多下功夫，把概念教學作為數學教學的重中之重。

二、注重正本清源，還原“概念立場”

數學概念大都產生于生活生產的實際，都有其生發的具體的知識背景。教學中教師若舍棄背景知識鋪墊，而直接拋給學生一連串的概念，學生是難以理解與接受的。而這種做法確是當前數學教學的常態，教師的這種路徑依賴常常使學生感到概念是“空降”而來的，除了對概念野蠻地生吃活剝以外，也白白錯過了許多本可以培養能力、啟發思維的機會。

現實教學中，很多教師由于對概念的生成性沒有足夠的認識，尤其是忽視了概念本身的邏輯性和精確性，喜歡給學生“植入”各類概念，背離了概念教學的初衷。任何數學概念的產生都需要一定的過程，這一過程是眾多數學家的質疑、摸索與探討的過程。基于此，如果教師能適當還原概念的形成機理與過程，讓學生去重新經歷概念形成的過程，必將有效提升概念教學的效率。布魯納指出：“當基本概念以正規形式出現在兒童面前時，他們如果事先沒有從直覺上加以理解，對這些概念則將無能為力。”[2]事實上，由于概念天然的抽象性不利于學生理解，于是，強化概念在“直覺”和“感官”上的還原，就顯得尤為重要。例如，在“弧度制”引入時，教師可以做如下設計：

師：在歷史上，數學家們最初以“弧”為數學語言，定義和研究三角函數。這樣就出現：當長度與半徑的弦所對的圓心角是60°，那么長度等于半徑的弧所對的圓心角則是多大呢？其大小與所在圓的半徑是否有關聯性？

生：角的度數與圓的半徑無關。

師：它和60°角孰大孰小？

生：由于長度等于半徑的弦所對的圓心角，比長度等于半徑的弧所對的角要大一些，所以這個角一定比60°小。

教師用“60°角”作為一個直觀形象的工具，并以數學史相關知識為背景，讓學生在質疑、對比和論證的過程中獲得對“弧度制”概念的深層理解，產生了很好的教學效果。與此相類似，在函數、方程式、概率論等不同的數學分支領域中，教師在教授概念時巧妙地結合些文化史、生產史、軍事史等相關知識，用看似發散的、跨界的知識進行類比和遷移，可以實現概念的精確聚焦，幫助學生還原概念的產生過程，加深對抽象概念的理解。從實踐上說，概念聚焦的本身是數學學習實現舉一反三的奧秘所在。如果數學教師都能這樣進行概念教學，那么學生自然就能掌握扎實的數學基礎知識，其在解題中自然就能游刃有余。從這個意義上看，數學教學須站在“概念立場”上來完成，這一立場是以學生學習為中心的“學生立場”，能真正實現學生學習效率的提升。因此，概念不應再作為數學教學設計的鋪墊而存在，它本身就應該站在教學舞臺的中心。

三、樹立問題意識，推動“概念建模”

數學概念從源頭看，多源自于實際問題的解決需要，爾后才有學術性概念，譬如，古埃及尼羅河流域因河水定期漲落而形成的土地丈量幾何學等。因此，從起源上來看，數學問題和數學概念往往蘊含著濃厚的生活氣息。從心理學上看，學生數學概念的形成，通常是從具體到抽象、從特殊到一般、從片面到全面的復雜的思維過程，甚至中間還會有反復。所以，課堂教學中教師不能急于拋出概念，甚至在講不清概念時就進行練習。科學的教學方式應先設計具有難度梯度的探究性活動，再幫助學生通過討論、分析等過程建立概念模型，直至最終形成概念。我們不妨仍看上述案例，繼續設計，如下：

師：弧長等于半徑（r）雙倍的圓心角的弧度數，應是多大？弧長等于三倍半徑、k倍半徑呢？長度為l的弧，其弧度數該如何計算？

（積極引導學生探究確定：公式α=l/r可表示正角的弧度數，而如果考慮了角的旋轉方向，任何一條弧均對應正、負兩個角。故弧長l、半徑r、圓心角α三者之間的關系是|α|=l/r。）

師：1弧度的角是否等于1°呢？

生：不等，1°和1rad是兩個不同大小的角。

師：那為了不出現混亂，當用角度制表示角時，同學們記得一定要加上符號“ ° ”。同時，由于周角的弧度數是2π，而在角度制下為360°，請大家思考：1°和1rad可以如何換算？

生：由于360°=2πrad，所以180°=πrad，也即1°=π/180rad。若角度化弧度，則是1rad=（180/π）°[3]

這一教學設計中，教師逐漸加深難度提出問題，引導學生思維逐漸深入，類似于蘇格拉底的“產婆術”。學生在教師的引導下，慢慢熟悉概念，并從概念的字面意思逐漸深入到概念的內核，在探索和發現中找到思維的樂趣，并最終對概念完成了有效建模。

四、拓展概念外延，實現“概念挖掘”

概念的外延主要表示概念所指稱的范圍。學生每學習一個新概念，就會對舊概念進行更新與調整。眾所周知，數學概念具有高度抽象性和概括性。這對學生深度理解數學概念構成了不小的挑戰，許多情況下，一個數學概念的學習很難一次完成，這需要數學教師提供不同領域的知識做背景，引導學生深入探究，或把數學概念分割成若干層級，分層級進行教學，幫助學生理解。比如，教學“弧度制”中的弧長公式時，教師若直接傳授概念，學生通過加強記憶和反復訓練，也可以在一定程度上理解該概念，但效果不佳。而且這種理解是淺層的，學生缺少利用已有的知識重構“弧長公式”的過程，學生不能把這一概念納入自己已有的認知結構中完成同化或順應，這種非意義學習容易隨著時間的消逝而遺忘。所以，教師在教學中可以借助角度制下的弧長公式和扇形面積公式，再結合弧度制的概念，以“弧度”換算公式中的“角度”，通過知識的遷移，突破概念的外延，實現對弧度概念的深度挖掘，學生也易于理解與接受。

《普通高中數學課程標準（實驗）》正式提出了數學教師須落實“四基”——基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力，促進學生關鍵能力的發展與完善。毋庸諱言，概念教學就是“四基”教學的重要組成，教師應以此為基礎，在教學中把新概念與學生已有知識產生有機聯系，實現學生的有意義學習，培養其發現和解決數學問題的基本思維和方法，引導其認識數學的學科思想和本質，最終實現學生的全面健康成長。

參考文獻：

[1] 教育部基礎教育課程教材專家委員會.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003：99.

[2] 徐明.如何進行初中數學概念的教學[J].考試周刊，2013（63）：81.

[3] 胡慧敏.弧度制第一課[J].數學通報，2009（1）：32-33.

（責任編輯：夏豪杰）