小學數學基本活動經驗“積累力”的有效建構

夏常明

[摘 要]積累力對學生數學基本活動經驗品質的提高、結構的完善、層次的提升有著決定性作用。實踐中，許多教師往往只重視培養學生的數學基本活動經驗，忽略了學生積累力的培養。積累力立足于學生的數學活動，主動建構感性對象和模式直觀之間的聯系。學生積累力不斷有效建構的同時，數學基本活動經驗也不斷優質發展。

[關鍵詞]積累力；數學活動；有效建構

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）29-0058-03

自從《義務教育數學課程標準（2011年版）》將課程目標由“雙基”拓展為“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗以來，關于數學基本活動經驗的研究方興未艾。查閱相關文獻可以發現，目前的研究主要集中在兩個維度：一線教師從感性維度出發，研究數學基本活動經驗的教學策略、方法、路徑、特征等；理論工作者則從理性維度出發，研究數學基本活動經驗的內涵、類型、價值、維度等。至于從知性維度出發，用動態發展的視角開展數學從基本活動經驗“積累力”的研究，尚屬空白。

18世紀，德國著名哲學家康德在認識論上把人的認識能力分成感性、知性和理性三個階段。他認為，人通過感性直觀對外在感覺對象進行綜合統一，得到了關于外在對象的認識。這樣的認識，局限于一個個孤立的事物或感覺對象，至于這些感覺對象之間的聯系，則模糊不清。“知性”是主體對感性對象進行思維活動，把特殊的沒有聯系的感性對象加以綜合處理，并且聯結成為有規律和秩序的自然科學認知能力。這種能力，主動安排現象中間的材料，賦予感性直觀一定的必然性和規律性，其職能就在于思維對象，表現在數學基本活動經驗中，就是積累力。在觀察的基礎上，積累力是從簡單問題入手，經歷猜想和發現，不斷嘗試和反思，主動建構感性對象和模式直觀之間的聯系，進而建構一定的數學直觀感知和判斷能力。

小學數學基本活動經驗積累力的建構并不是一次感性直觀行動就能完成的，也不是簡單的理性模式，而是要經歷思維的過程。思維是以密切結合在一起的普遍與特殊的運動著的統一為其基本結構，又是來自直接過程的間接表現過程。

一、突顯主體參與，從嘗試與承受聯結中建構

杜威認為，經驗是有機體與環境事物之間相互作用的過程，包含主動因素和被動因素。主動方面，經驗是不斷嘗試；被動方面，經驗是承受結果。小學數學教學活動過程是一個由提出數學問題和解決數學問題不斷交織、螺旋發展的過程。問題是數學的心臟，可以提示事物的矛盾或引起主體的內心沖突，打破學生主體已有認知結構的平衡狀態，激發內驅力，喚醒已有經驗，使學生快速進入主體角色，真正參與到學習活動中。這種由本能支配的學習活動具有很強的主動性和能動性，學生會努力克服遇到的困難，經歷數學活動經驗自然發展過程，最終找到問題的解決方法，將經驗的兩個方面進行有效聯結，獲取有價值的經驗生長。

例如，在教學“3的倍數特征”時，教師先帶領學生復習2和5的倍數的特征，然后拋出問題：“任意寫一個數，我都能快速判斷它是不是3的倍數。”這有效激發了學生學習的主動性。接著，教師出示了一張1～100的數字表，讓學生在表格中圈出3的倍數。學生通過圈一圈、議一議、想一想、看一看、說一說、辨一辨等活動，逐步掌握了3的倍數的特征。在開展這些數學活動時，學生始終處于主動狀態，不斷發揮主觀能動性，積極探索和歸納3的倍數的特征，逐步完成相關數學經驗的建構。此時，教師及時引導學生展開論證，主動進行知識外延的探索，合理開展數學活動經驗建構內化，幫助學生掌握3的倍數本質特征。

案例中，教師激發了學生學習的主動性，強化了數學經驗之間的聯結，引導學生開展了3的倍數特征的探索活動。這樣的活動，源于學生的主動嘗試，主動接受結果，有效建構了學生的數學基本活動經驗積累力。

二、挖掘錯誤資源，從去偽走向求是中建構

喻平教授指出：“數學活動應當是學生學習知識由不確定性到知識確定性的漸進過程，是由去偽走向求是的過程，漸進過程是動態變化的，建構活動貫穿于每個環節。”學生數學知識的增長和活動經驗的發展是由不斷進行問題猜想，不斷去除不確定性和求是確定性實現的。需要指出的是，問題猜想最終無論是被去偽，還是被求是，都不意味著猜想過程是沒有價值的。從學生數學活動經驗的增長來看，去偽過程的效果遠大于知識本身的獲取。

例如，在教學“分數與百分數的互化”時，教師出示分數[425]，請學生自主嘗試將這個分數轉化成百分數。學生展現了以下三種不同的方法。

生1：先將分數的分母乘4，再將分子乘4，通分得到[16100]，所以結果是16%。

生2：先將分數[425]化成小數0.16，再把0.16化成百分數，得到16%。

生3：[425][×]100=16=16%。

學生根據已有的分數與小數、小數與百分數互化的數學活動經驗，自主探究分數與百分數的互化方法。其中，第三種方法的過程是錯誤的，但值得肯定的是，學生也是力圖在原有知識經驗的基礎上對新知進行構建。學生敏銳地覺察到分數與百分數之間的內在聯系，并且將這種聯系應用在了分數與百分數的互化方法上。建構活動，不能簡單地將數學活動的“求是”與“去偽”人為地割裂開來，而應該在“去偽”的過程中進行合理“求是”，變“去偽”為“求是”。在“去偽”中進行“求是”，學生不僅掌握了分數與百分數互化的方法，還認識了分數與百分數相乘的計算方法，為以后進一步學習相關知識打下堅實的基礎。

教師引導學生改進：

想一想：有沒有辦法改正第三種方法的錯誤？

辨一辨：[425][×]100，這個式子里的“100”指的是什么？

改一改：將[425][×]100改成[425][×]100%，可以嗎？

思一思：將算式[425×100]與[425×100]%對比，有什么變化？

證一證：將100改成100%，100%就是1，分數的大小不變，而且順利轉化成了百分數。

三、引領深度學習，從感性走向理性中建構

小學數學基本活動經驗不是簡單傳遞，而是經驗的轉換處理和內化平衡。這樣的過程，需要學生善于根據整個問題，從不同角度進行深度思考，突破感性直觀的表面現象，深入問題本質，把分散且毫無聯系的材料綜合改造，從而產生具有普遍性和必然性的數學基本活動經驗。需要指出的是，小學生數學知識的學習立足于已有的感性經驗，在解決問題的過程中，學生會出現很多不同的解決方法。深度思維的目標不是將各種不同的經驗消除，而是讓不同經驗相互競爭，優勝劣汰，最終將感性經驗提升為理性經驗。這種理性經驗，既從過去經驗中采納了某些東西，又以某種方式改變過去經驗的性質。這樣的思維活動循序漸進，體現了螺旋上升的原則，符合學生的認知規律，有利于建構完整的數學活動經驗體系。

例如，在教學“用方向和距離確定位置”時，教師出示圖1，學生則給出了以下四種不同的答案。

生1：漁船在救助船東北60°方向。

生2：漁船在救助船東北30°方向。

生3：漁船在救助船北偏東30°方向。

生4：漁船在救助船東偏北60°方向。

面對四種不同的答案，如果教師只是簡單地出示正確答案，糾正學生的錯誤，顯然是不行的。在學生已有的方向經驗上，教師進一步應用了度量角和畫角的方法以及比例尺的知識，讓學生深入了解方向、體會距離，發展空間觀念。

師：現在你有什么發現？

生5：北偏東30°方向是以南北軸為基準，由北向東偏30°。

生6：東偏北60°方向是以東西軸為基準，由東向北偏60°。

師：兩種不同的表示方法，為什么指的是同一個方向？

……

學生根據已有的方向經驗和度量角的方法，給出了四種不同的答案。生1和生2在已有的方向經驗上進行了簡單的角度相加，屬于感性經驗；生2和生4對已有的數學方向經驗進行了初步加工，屬于理性經驗。教師應及時引導學生開展思維活動，幫助學生認識感性經驗的局限性，體會理性經驗的深度，使學生的經驗逐步從感性走向理性。這樣的思維活動，指向深度學習，有助于提升學生數學基本活動經驗的積累力。

四、把握知識本質，從偶然走向必然中建構

皮亞杰的認知發展理論中有四個關鍵詞：圖式、同化、順應、平衡。同化和順應是認知建構的兩種方式，平衡則是主體主動建構的動力。學生的數學活動經驗建構過程，是以已有經驗為基礎，通過自身不斷內化和順應，將原有數學活動經驗納入新的數學活動經驗中，形成新的認知平衡的過程。當學生原有的主體經驗不能同化客體經驗時，那就只是停留在數學知識的表面，深入不了數學知識的本質。這時，教學活動就必須調整原有主體經驗結構，引起主體經驗質的變化，建立新的主體經驗，從而觸及數學知識的本質，達到更高層次的平衡。只有那些為學生提供準備去獲得未來更深刻、更廣泛的證偽活動，深入理解數學知識的本質，積累探索規律的數學經驗，才能使學生的數學活動經驗獲得真正意義的生長。

例如，在教學“找規律填數”時，教師出示填空題：[23]、1、[32]、[94]、（ ）、（ ）。

生1：[23]、1、[32]、[94]、（1）、（[49]）。

師：你是怎么想的？

生1：因為第一個數和第三個數互為倒數，中間的數是1，所以我認為第四個數和第六個數也應該互為倒數，它們倆中間的數也是1。（大部分學生表示贊同）

師：如果在這道題的末尾多加一個括號，即[ 23]、1、[32]、[94]、（ ）、（ ）、（ ），你們知道應該填多少嗎？

（如果按照生1的說法，后加的括號將無法填數或答案不唯一，顯然生1總結的規律不正確）

師：這道題究竟隱藏著怎樣的規律呢？我們一起來探索。

數學中的規律一般是指事物在數量關系或空間形式方面存在的某種聯系或發展趨勢，有著整體性、聯系性和必然性的特點。生1由于受到前面倒數相關知識的影響，憑著自己的直觀感受，發現了“第一個數和第三個數互為倒數，第二個數為1”的規律，并認為后面的數也應該按照這樣的規律來排列。可以說，學生的發現只停留在淺顯的直觀視覺經驗上，并沒有觸及數學規律知識的本質。教師應引導學生尋找出現這種情況的原因，探索數學規律的必然性，讓學生感受到規律之間的聯系和必然。

數學基本活動經驗是小學生數學學習過程和學習結果相統一的產物。幫助學生積累基本活動經驗，核心要素是讓學生真正發揮主觀能動性，經歷知識產生與發展的過程。積累力將數學基本活動經驗的主體與客體進行了有效聯結，對提升學生的數學經驗的品質、完善數學經驗的結構、提高數學經驗的層次，有著不可估量的作用。

[本文系江蘇省教育科學“十二五”規劃立項課題“小學生數學基本活動經驗‘積累力提升策略的研究”階段研究成果之一。]

[ 參 考 文 獻 ]

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（責編 李琪琦）