你繞路了嗎？

季黎明

伴隨著“軸對(duì)稱圖形”這一章節(jié)學(xué)習(xí)的結(jié)束，我們遇到了越來越多的路徑最值問題，下面就其中常見的兩種錯(cuò)誤題型進(jìn)行剖析.

【例1】如圖1，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河岸l的同側(cè).為了灌溉作物要在河岸建一個(gè)抽水站P，將河水送到A、B兩地.問該站P建在河岸什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)P.

圖1

圖2

【錯(cuò)解】如圖2，過點(diǎn)A作AP⊥l，垂足即為點(diǎn)P.

【糾錯(cuò)】我們將該問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題，即在l上尋找一點(diǎn)P使得PA+PB取得最小值.上述解答中AP⊥l僅滿足了PA最短，而這并不能保證PA+PB的值最小，所以，解決該問題我們需要將視線從局部最值轉(zhuǎn)移到整體最值來考慮.

【正解】作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A1，在l上任取點(diǎn)P（如圖3），由對(duì)稱性得：PA=PA1，則PA+PB=PA1+PB.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)P、A1、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA1+PB最短且等于A1B.所以連接A1B交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求（如圖4）.

圖3

圖4

【例2】如圖5，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個(gè)油庫，設(shè)為點(diǎn)P.如果在兩條公路OA、OB上各設(shè)置一個(gè)加油站C、D，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫所走的路程最短.

圖5

圖6

【錯(cuò)解】如圖6，過點(diǎn)P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，垂足分別為點(diǎn)C、D.

【糾錯(cuò)】同樣地將該問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題，即要求在射線OA、OB上尋找合適的點(diǎn)C、D，使得PC+CD+PD三條線段之和作為整體取得最小值.在上述解答中PC⊥OA、PD⊥OB僅滿足PC和PD最小，忽略了線段CD的長度對(duì)整體最值的影響.

圖7

圖8

【正解】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，在射線OA、OB上任取點(diǎn)C、D（如圖7），由對(duì)稱性可知：CP=CP1，DP=DP2.則 PC+CD+PD=CP1+CD+DP2.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)P1、C、D、P2四點(diǎn)共線時(shí)，CP1+CD+DP2最短且等于P1P2.所以，連接P1P2交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求（如圖8）.

【總結(jié)】路徑最短問題通常涉及多條線段的和，我們需要認(rèn)識(shí)到個(gè)別線段取得最小值并不能確保整體也取得最小值.針對(duì)此類問題，我們可以利用軸對(duì)稱性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的線段長，這是解決問題的常用策略.