毒素影響下具有避難所的捕食-食餌系統(tǒng)的最優(yōu)收獲

王瓊燕，趙 春

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

隨著科技和工業(yè)的發(fā)展，人們對自然資源的需求越來越大，過度開發(fā)的現象比較嚴重，這既造成了環(huán)境污染，也直接威脅到了人類的生存.因此，生態(tài)平衡的保護和生態(tài)資源的可持續(xù)利用成為了亟待解決的問題.相關學者建立了大量的生物種群模型來研究生態(tài)系統(tǒng)的運行規(guī)律以及人類對生態(tài)系統(tǒng)的開發(fā)利用.Leslie-Gower模型是捕食-食餌系統(tǒng)中一類重要的模型，眾多學者對該模型進行了深入的研究.文獻[1]通過構造恰當的Lyapunov函數證明了系統(tǒng)正平衡點的全局穩(wěn)定性；文獻[2]在模型的食餌種群中加入了避難所，證明了避難所不會影響系統(tǒng)運行的持久性；文獻[3]討論了在毒素的影響下捕食系統(tǒng)的捕獲問題；文獻[4]對具有毒素的捕食-食餌系統(tǒng)的最優(yōu)稅收模型進行分析，得到外界毒素對種群的影響和最優(yōu)稅收；文獻[5]對具有食餌避難所的Leslie-Gower捕食系統(tǒng)的捕獲進行了分析，得到最優(yōu)捕獲策略.本文研究一類毒素影響下具有避難所的捕食-食餌系統(tǒng)的最優(yōu)收獲問題，建立如下模型：

其中：x（t）為食餌種群在時刻 t的密度，y（t）和 z（t）分別為2個競爭捕食種群在時刻t的密度；r1＞0、r2＞0、r3＞0分別為3個種群的內稟增長率；r1/a1＞0為x種群的環(huán)境容納量；m為在避難所中的食餌種群的比例，0＜m＜1；q1（1-m）＞0和q2＞0分別為對x和z種群的可捕獲系數；E1＞0和E2＞0分別為對食餌種群x和捕食種群 z進行收獲的努力度；θ1x3、θ2y2和 θ3z2分別為外界毒素對種群x、y和z的影響；系數bi、ci＞0，i=1、2.為了避免過度捕撈，需假設0＜q1E1（1-m）＜r1，0＜q2E2＜r3.根據實際意義可知，系統(tǒng)（1）僅在區(qū)域R+={（x，y，z）|x>0，y>0，z>0}內有意義.

1 平衡點的存在性

解得：

由r1＞q1E1（1-m）知，令，則是系統(tǒng)（1）的平衡點.

（2）p2（x1，y1，0）滿足方程組

消去y，整理得

其中：

由文獻[6]知，此方程存在正根需滿足A4＜0.由r1＞q1E1（1-m）知A4＜0，則方程存在唯一正根x1，所以可得系統(tǒng)（1）的平衡點p2（x1，y1，0）.

同理可得p3（x2，0，z2）也是系統(tǒng)（1）的平衡點.

（3）p4（x*，y*，z*）滿足以下方程組

整理得

其中：

由文獻[6]知此方程存在唯一正根需滿足D4＜0且D5＜0.

若

則D4＜0.由r1＞q1E1（1-m）知D5＜0.此時可得系統(tǒng)（1）的平衡點p4（x*，y*，z*），其中

2 平衡點的穩(wěn)定性

其特征值為 λ1=r2＞0，λ2=r3-q2E2＞0，所以是不穩(wěn)定的.

平衡點p2（x1，y1，0）對應的Jacobi矩陣的特征方程為

其中：

由q2E2＜r3知k3＜0，則由文獻[6]知此方程至少有一正根，即此方程的特征值λ1＞0，所以平衡點p2（x1，y1，0）是不穩(wěn)定的.

平衡點p3（x2，0，z2）對應的Jacobi矩陣的特征方程為

其中：

由r2＞0知g3＜0，則由文獻[6]知此方程至少有一正根，即此方程特征值λ2＞0，所以平衡點p3（x2，0，z2）是不穩(wěn)定的.

下面分析p4（x*，y*，z*）的穩(wěn)定性.

定理1當n1n2-n3＞0時，正平衡點p4（x*，y*，z*）是局部漸近穩(wěn)定的，其中

證明系統(tǒng)（1）在正平衡點p4（x*，y*，z*）處的Jacobi矩陣為

計算得特征方程為 λ3+n1λ2+n2λ +n3=0，顯然由Routh-Hurwitz判據知平衡點p4是局部漸近穩(wěn)定的.

定理2正平衡點p4（x*，y*，z*）是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構造Lyapunov函數 V（x，y，z）

顯然 V（x，y，z）是關于變量 x、y、z的連續(xù)函數，計算得

所以

由此得，當（x，y，z）=（x*，y*，z*）時，系統(tǒng)取得全局最小值，即

對 V（x，y，z）沿著系統(tǒng)（1）求導，得

3 生物經濟平衡點

生物經濟平衡點[7]是生物平衡點和經濟平衡點的合稱.由可得生物平衡點.當經濟利潤被完全消耗時得到經濟平衡點，這種平衡狀態(tài)也稱為經濟學過度捕撈.

假設x、z種群的單位捕獲成本不變，分別為f1、f2；單位x、z種群的市場價格也是常量，分別為p1、p2.捕獲2種群的純利潤為Q=Q1+Q2，其中：

Q1和Q2分別為捕獲x和z種群得到的純利潤.假設p1q1（1-m）x≥f1，p2q2z≥f2.

定理3若

則系統(tǒng)存在經濟平衡點 M（x1∞，y1∞，z1∞，E1∞，E2∞）.

證明經濟平衡點M滿足

解得

當式（3）和式（4）成立時，E1∞＞ 0，E2∞＞ 0.因此存在經濟平衡點.

下面分析避難所對經濟平衡點的作用，分2種情況進行討論.

（1）捕食者不能捕獲到避難所里的食餌種群.

此時，經濟平衡點M和定理3中的相同，M的每個變量關于避難所m均連續(xù)可微，且滿足

由此可知，當避難所增大時，食餌種群x的平衡密度是增加的.捕食種群y和z的經濟平衡不受避難所的影響，由于避難所增大使可以捕獲到的食餌種群x的數量減少，但是x1∞的增大又減弱了y、z種群之間的競爭，兩方面作用相互抵消了.因此，對捕食種群z的捕獲努力度也不受避難所的影響.

對于食餌種群x的捕獲努力度來說，可得以下結論：

（2）捕食者可以捕到避難所中的食餌種群.

假設 p1q1x≥f1，p2q2z≥f2，此時經濟利潤函數為

定理4若

則系統(tǒng)存在經濟平衡點M′（x*1∞，y*1∞，z*1∞，E*1∞，E*2∞）.

證明經濟平衡點M′滿足下列方程

解得

當式（5）和式（6）成立時，E*1∞＞ 0，E*2∞＞ 0.因此存在經濟平衡點.

經濟平衡點M′的每個變量關于避難所m均連續(xù)可微，且滿足

由此可知，在這種情形下，當避難所增大時，食餌種群x和捕食種群z不受影響.因為m增大，使得y、z之間的競爭加大，則種群y的平衡密度減小.對于捕獲努力度而言，捕獲種群x的努力度隨著避難所的增大而增大，而捕獲種群z的努力度隨著避難所的增大而減小.

4 最優(yōu)收獲策略

捕獲者的目的是在資源可持續(xù)利用的基礎上獲得最大的純利潤.考慮下面的貼現函數

其中δ為貼現率.下面通過確定最優(yōu)收獲努力度E1=Eδ1和E2=Eδ2，使得J在滿足系統(tǒng)（1）和控制條件下取得最大值.控制問題的Hamilton函數為

其中 λ1、λ2、λ3為伴隨變量.令

為轉換函數.使H取得最大值的最優(yōu)控制應滿足

當φi（t）=0（i=1、2）時，Hamilton函數H與控制變量無關，即，滿足此條件的控制為奇異控制.奇異控制滿足φi（t）=0（i=1、2），即

則最優(yōu)收獲策略應滿足

由極大值原理知

由式（7）和式（8）可得

將 λ1代入式（10）得

將 λ1、λ2、λ3代入式（9）和式（11）得

由式（2）知

所以式（12）和式（13）可轉化為

若此方程存在正根 x=xδ，z=zδ，則可得

若

則得到的控制 E1=Eδ1、E2=Eδ2即為最優(yōu)常量控制，相對應的（xδ，yδ，zδ）是系統(tǒng)（1）對于該控制的正平衡解.