高中數學教學難點的PCK分析研究

【摘要】高中數學教學中，存在不少概念或定理教學的難點，本文以“兩個計數原理”的教學為例，從學生認知的角度出發，思考如何利用數學教師的學科教學知識（PCK），幫助學生進行教學難點的突破.在此基礎上，本文結合課堂教學實踐，嘗試研究高中數學難點教學的一般思路和做法.

【關鍵詞】高中數學；教學難點；PCK

高中數學課程標準要求教師在教學中應強調對基本概念和基本思想的掌握，特別是對一些核心概念的理解，要在整個高中數學教學過程中重復和強化.兩個計數原理作為高中核心概念之一，它不僅是學習排列組合和二項式定理的理論依據，更是學習和解決計數問題的基本思想方法，在這個章節中是基礎性的知識.數學概念是數學知識點本質的反映，大多數的數學知識都圍繞著某些核心概念展開.排列組合是學習概率知識的基礎，而分類計數原理與分步計數原理作為本章的基礎，為學習排列組合知識起鋪墊作用，有助于學生運用兩個原理解決很多實際問題，所以兩個原理的教學是高中數學教學中重要的內容之一.

PCK這一概念最早由斯坦福大學教授Shulman（美國教育研究會主席）提出，他認為構成教學的知識基礎有7類，其中的“學科教學知識”逐步成為教師知識的重心與核心.學科教學知識是“Pedagogical Content Knowledge”（簡稱為PCK）的翻譯，“學科教學知識”，也有些研究者將其翻譯成“教學內容知識”或者“學科教育知識”.1987年，Shulman首次提出教師專業知識基礎的分類，并給出了PCK的概念內涵，指所教的學科內容知識與教育學知識的有機融合，針對具體要教的內容所使用的教學方法和教學策略.

從認知的角度分析，分類計數原理與分步計數原理是學生小學學習的加法運算與乘法運算的拓展應用.本節的主要任務是學生根據已有的認知基礎，總結得出兩個計數原理的本質，領悟其中重要的數學思想方法，并能應用兩個原理解決計數問題，是本節課要突破的難點所在.部分教師對原理所蘊含的數學內涵缺乏深入研究，缺乏了解學情.為突破“兩個計數原理”這個教學難點，我們嘗試著用PCK相關的知識，對“兩個計數原理”教學時所涉及的學科知識、課程和教材的知識、學生學習過程中的經驗和困難、教學的方法和策略等進行整體分析，分以下7個方面進行：

1“兩個計數原理”的學前剖析

“兩個計數原理”的推導、理解、記憶及應用，是學生學習“兩個計數原理”時所遇到的難點，“兩個計數原理”的發現和證明也是教師教學中的難點，因此有必要對“兩個計數原理”深入地剖析.

1.1“兩個計數原理”的文本解讀

分類計數原理和分步計數原理在上海版的高中數學教材中，是第16章第一節和第三節的內容，分別對應的是“乘法原理”和“加法原理”，加法原理是在學習完“排列”之后再學習的.而另外兩個版本的教材——人教版和新課標版都安排同一節，不同的地方是，人教版放在整個“排列組合二項式”章節的前面，在學習概率知識之前；而新課標版則放在選修23中的“概率”章節之后.人教版和新課標版的教材設計，同時學習分類和分步計數原理，然后再學習排列組合；滬教版的教材設計，先是學習了分步計數原理——乘法原理，在此基礎上學習排列，再然后學習分類計數原理——加法原理.

1.2幾種教材觀點的碰撞

幾種教材版本對“兩個計數原理”的不同處理，正好對應著教師在教學中幾種不同的觀點.支持滬版教材的老師認為兩個計數原理應該分開教學，應該在學生學習排列的相關知識后，對分類和分步兩個計數原理可以有更好的綜合應用；支持人教版的老師認為，兩個計數原理是學習排列組合的基礎，在排列組合的基礎上再學習概率可以更好的學習古典概率，為后續概率學習打下基礎；而贊同新課標版的老師雖然也認同兩個計數原理放在學習排列組合之前，但他們認為概率的概念可以放在排列組合學習之前，可以讓學生對整個排列組合概率的框架有個大致清晰的認識和構建.

1.3兩個原理的邏輯分析

幾種教材版本雖然都有自己的設計原理和道理，都考慮到了學生的認知情況，但通過兩個計數原理的教學實踐可以論證，學生的最大難點是兩個計數原理的區別和適用范圍.在分步計數原理的學習上，如何進行分步的“分步標準”往往會成為學生最容易混淆的學習難點.因此，教學的首要目標是通過師生對概念的精準分析，得出并突破難點是教學的重心.從這個角度上分析，人教版的教材設計更符合學生的認知和數學邏輯發展.

2“兩個計數原理”的概念分析

分類計數原理（加法原理）：如果一個目標可以在n種不同情況下完成，第k種情況又有mk種不同方式來實現（k=1，2，…，n），那么實現這個目標總共有N=∑ni=1mk=m1+m2+…+mn種方法.其中，每種辦法不能同時共存，每種辦法都可以獨立地完成這件事，相互之間不重復.可以按照不同的標準進行分類，但要做到“不漏不增”.

分步計數原理（乘法原理）：如果實現一個目標必須經過n個步驟，第k步又可以有mk種不同方式來實現（k=1，2，…，n），那么實現這個目標總共有N=∏ni=1mk=m1·m2·…·mn種方法.其中，“完成一件事，需要分成n個步驟”是指每個步驟都不足以完成這件事，每個步驟都不能缺少，也不能重復和遺漏.

運用加法計數原理解決問題是將一個復雜的計數問題分解為若干類別，再分類解決；運用乘法計數原理解決問題則是將一個復雜的計數問題分解為若干步驟，先對每個步驟分類處理，再分步完成；綜合運用分類和分步計數原理就是用轉化思想將綜合問題分解為單一問題，再進行求解.3“兩個計數原理”的學情分析

在“兩個計數原理”教學之前，教師有必要了解學生之前已有的知識和經歷.其實，高中的學生對于計數問題并不陌生.

（1）作為小學階段加法和乘法運算的延伸和拓展，兩個計數原理對學生從認知角度來說還是比較好接受和理解的.

（2）學習完集合和數列的相關知識后，學生又學會了用列舉法解決最簡單的計數問題.這是解決分類和分步問題的數學基礎.

（3）高中階段以前的學習和生活中，學生已經能夠使用分類和分步的原理來思考和解決問題.同時，高中生已經能夠解決一些簡單的實際問題，也具有一定的歸納和類比能力.

如何讓學生根據已有的學習經驗，相對抽象地概括出兩個計數原理和其中的數學思想方法，是本節課應該突破的難點.一方面，可以通過實例來幫助學生完成歸納的過程，幫助學生理解兩個計數原理解決問題的應用，提升學生抽象概括能力；另一方面，教學過程中應始終強調加法原理和乘法原理中“完成一件事”的內涵和區別，幫助學生理解并合理選擇兩個計數原理.

4“兩個計數原理”的教材分析

“兩個計數原理”是在大量生產實踐經驗的基礎上歸納出來的基本規律，是學習排列組合、概率等知識的基礎，也是處理計數問題的基本思維方法，在本章的學習中是非常重要的.分類計數原理和分步計數原理不僅是后續學習的知識依據，這種解決問題的思想與方法貫穿于該章后續教學的始終.

滬版教材分成了16.1計數原理Ⅰ——乘法原理（P49-P50），以及16.3計數原理Ⅱ——加法原理兩小節進行編排.先學習分步計數原理，提出乘法原理的基本概念；接著學習排列的概念，教師在設計的時候可以進行簡單的概念區分；然后是分類計數原理的學習，此時可以進行分類和分步兩種計數原理的區分.兩個章節都有自己的練習和作業.

5“兩個計數原理”的障礙分析

雖然進入高中階段后，學生學習兩個計數原理具備了很好的知識能力基礎和思想方法基礎，但學生在學習“兩個計數原理”時還是會遇到一些學習障礙，教師了解這些障礙，將有助于在教學中更好地利用自己的學科教學知識，幫助學生越過障礙.5.1合理選擇原理的學習障礙

兩個計數原理的概念有些接近，學生在初學的時候很容易會混淆兩個概念，導致原理選擇時的誤用.要突破這個學習障礙，搞清楚兩個原理概念的異同之處是關鍵.加法原理是可以將一件事情“分類”，這幾類方法相互獨立，哪一類方法都可以完成；而乘法原理則是“分步”，這幾個步驟之間具有連續性，他們相互之間具有依存關系，只有當這幾個步驟都完成的時候才能完成這件事情.當然，一些復雜的題目中既有分類又有分步，需要找出題目的樹干圖，然后進行分解，理清解題思路.5.2“兩個計數原理”的應用意識不強

應用“兩個計數原理”解決數學問題和生活中遇到的問題，本應該是學習兩個計數原理后需要做到的，但也有不少學生看到相關的應用時，不能立刻想到“兩個計數原理”.一方面，學生在小學、初中甚至高中，雖然學過很多的應用題和應用思想，但總體上學生的應用意識不強，會導致知識的應用遇到障礙；另一方面，“兩個計數原理”作為新學知識，尚未內化到學生的知識體系之中，加之對概念理解不夠透徹都會導致學習障礙的形成.當然，后續通過練習訓練，特別是應用意識方面的轉化和強化，能夠幫助學生更好地應用“兩個計數原理”.5.3“分步標準”不清導致的學習障礙

在本節內容的學習中，有個非常經典的例題是有關“郵筒寄信”問題，比如，4封信寄到3個郵筒，有多少種寄遞方法？這種問題經常會出現思維混亂，答案到底是43還是34？為什么會產生這個問題，往往是因為不知道應該以郵筒作為分步的標準，還是以信作為分步的標準.要解決這個學習障礙，理解“乘法原理”的概念內涵是前提，解決“分步標準”的確定劃分是關鍵.教學中教師應該強調“分步計數原理”中“分步標準”的理念，并通過一些實際的例題和生活中的例子進行強化，將數學問題生活化，將生活問題數學化.6“兩個計數原理”的延伸應用

“兩個計數原理”是學習排列組合的重要的基本方法，也是學習概率和數理統計等應用數學知識的基礎，在有限集合元素個數的計算中也起著較為重要的作用，兩個計數原理在以下幾個方面都可以進行延伸應用.

6.1在排列組合中的應用

在排列組合的學習中，主要是學習排列數和組合數的計算，而相關的公式是利用兩個計數原理推導得出的.排列公式作為乘法計數原理的直接應用，公式的得出和應用原理都與分步計數原理密切相關；而重復計數問題，本就是乘法計數原理的范疇，只是將其生活化而已；在排列公式上得出的組合數公式，也可以理解成乘法原理的進一步推廣，組合的性質公式Cmn+1=Cmn+Cm-1n則是加法計數原理的直接應用；另外，很多組合問題，比如盒子問題，都是對加法計數原理和乘法計數原理的綜合應用.6.2在集合元素中的應用

在后續概率等知識的學習過程中，加法計數原理和乘法計數原理還會起到重要的基礎作用.比如在學習古典概率的過程中，互斥事件的基本事件個數就可以由加法計數原理得出：n（A1+A2+…+An）=n（A1）+n（A2）+…+n（An）.而另一個常見的集合元素個數的推廣式則是兩個計數原理的應用：n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）.值得一提的是，這個公式還可以推廣到n個集合的情況.

7“兩個計數原理”的教學案例

作為PCK分析研究的主要內容，教學實踐是主要研究形式和研究方向，下面展示的是“兩個計數原理”的一個教學案例，設計參考的教材是人教版的編排，但為了突破學生學習該節內容學習的障礙，設計有較多新的編排.

7.1教學目標

（1）知識與技能：正確掌握和理解分類計數原理和分步計數原理，能準確分析和使用兩個計數原理；（2）過程與方法：通過對兩個原理概念的學習，培養學生的理解能力、提煉數學信息的能力和歸納概括能力；通過對兩個原理的應用，提高學生解決一些簡單的實際問題的能力；（3）情感、態度與價值觀：通過自主學習、合作學習，培養學生良好的學習品質；通過認識計數原理與生活的內在聯系，體會數學的應用美.7.2教學重難點

重點：運用兩個計數原理解決實際問題；

難點：兩個計數原理的判斷及準確應用.7.3教法學法

（1）教法：

問題式：提出“問題鏈”引導學生歸納總結；

啟發式：層次提問，對學生探究，自主實踐進行啟發.

（2）學法：

對比法：通過對知識和方法的對比、總結和反思，掌握和理解兩個計數原理.

探究法：學生在問題和知識中討論、分析和總結，探究和應用兩個計數原理.

7.4教學過程：

7.4.1情境引入

問題1非能源車的車牌一般含有6個數字或字母，上海郊區牌照以滬C開頭，那這樣的車牌有多少個？能否滿足郊區日益增長的人口和車輛增長？

問題2為了不混淆，英文字母不得選用I、O、Q，那這樣牌號的容量是多少？

設計意圖用日常生活密切相關的車牌號問題引入，引導學生認識到現實中的計數問題普遍存在，感受學習計數知識的必要性，激發學生學習本章的興趣.問題揭示了主題，學生知道要解決的問題，也有興趣去探究，參與性強.

7.4.2實例探究

例1書架共有三層，第1層放有3本不同的語文書，第2層放有4本不同的數學書，第3層放有5本不同的英語書.從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？

問2從上述書架上取語文、數學、英語書各1本，有多少種不同的取法？

設計意圖從分類加法原理過渡分步計數原理，通過類比加法計數原理，幫助學生歸納出分步計數原理，提高學生的類比轉化能力.

問3請歸納一下，上述兩個問題解決問題的方式有什么不同？

設計意圖通過自主探究，加深對兩個原理的理解，提升歸納概括能力.

7.4.3原理學習

問1兩個原理的異同點分別是什么？

問2用好（區分）這兩個原理的關鍵是什么？

師生總結：對于分類計數原理“分類”是可以獨立完成這件事的，用加法；而“分步計數原理”中的單一步驟不能單獨完成這件事，用乘法.

設計意圖讓學生回答自己怎樣區分兩個原理.同學之間互相補充，將兩個問題放在一起，有利于抽象概括.用探究的方式生成新知識更容易讓學生掌握，降低了學習的難度，也使學生體會從特殊到一般的思維方法，強化了學生的歸納和類比能力.

7.4.4運用原理

例2某人有2頂帽子、3雙鞋、4條褲子，5件上衣，社交要求的穿戴至少要穿好衣褲和鞋，請問滿足社交要求的穿戴共有多少種不同的裝束？

設計意圖例題的訓練和解法的總結，加深學生對兩個原理的理解.解題總結時，分清完成一件事的要求至關重要，從而正確區分“分類”和“分步”兩個計數原理.

例3有4封信全部投進3個郵筒，請問共有多少種不同投法？

設計意圖本例題是經典例題，目的是讓學生得到鞏固和提高，特別是理解“分步的標準”.同時，讓學生充分認識本節知識在實際生活中的應用，從而提升學生運用所學知識解決實際問題的能力.

7.4.5練習鞏固

練習：如上圖，要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區域必須涂不同的顏色.請問不同的涂色方案有多少種？

變式：若用4色，涂色方案有多少種？

7.4.6小結提升

（1）兩個原理的內容，兩個原理的區別.

（2）使用分類計數原理和分步計數原理時，要注意“分類的標準”和“分步的標準”，防止出現重復或遺漏，并注意步驟完整和順序.

（3）數學思想方法：由特殊到一般，分類討論，歸納與類比.

參考文獻

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