在“玩”中學習數學

王元　王文清

【摘要】通過對教材上的一道二元不等式問題進行一般化的推廣，得到一個優美的一般化的重要的二元不等式，進而用這個二元不等式演繹出一系列多元基本不等式，讓學生在“玩”中學習數學.

【關鍵詞】玩；學習數學；二元不等式；多元均值不等式

常庚哲教授說：“……大多數的數學定理和命題就是數學家‘瞎鼓搗而玩出來的……”.“玩”不僅有“變式、變換、特殊化、一般化、類比、歸納、猜想、探索、推廣、應用”的含義，而且要環環相扣，使數學學習變成一系列的“智力游戲”、“思維游戲”、“推理游戲”.

下面以人民教育出版社普通高中課程標準實驗教科書《選修45·不等式選講》第21頁“第二講——證明不等式的基本方法”：“一、比較法”的例1為例，看“數學是怎樣玩出來的”.

例1（教材P21）已知a，b是正數，且a≠b，求證：a3+b3>a2b+ab2.

1在“玩”中做推廣

將指數3做推廣，可得一個優美的重要二元不等式：若a，b，n，m均是非負實數，且n≥m，則an+bn≥ambn-m+an-mbm.[JY]（*）

證明因為an+bn-（ambn-m+an-mbm）=aman-m-bn-m-bman-m-bn-m

=am-bman-m-bn-m，

因為a，b，n，m均是非負實數，且n≥m，由冪函數的性質知，am-bm與an-m-bn-m同號或同時為0，所以am-bman-m-bn-m≥0.

即an+bn-（ambn-m+an-mbm）≥0.

所以an+bn≥ambn-m+an-mbm.

2在“玩”中演繹多元不等式

2.1“玩”出“二元基本不等式”

在不等式（*）中，令n=2，m=1，即得，二元基本不等式：若a，b均是非負實數，則a2+b2≥2ab.

注由上面的不等式，只要一個代換“a2→a，b2→b”，并兩邊同除以2，即得二元均值不等式：

a+b2≥ab.

2.2“玩”出“三元基本不等式”

已知a，b，c均是非負實數，求證：a3+b3+c3≥3abc.

證明在不等式（*）中，令n=3，m=1知，a3+b3≥ab2+a2b，

同理，a3+c3≥ac2+a2c，

b3+c3≥bc2+b2c，

以上三個不等式左右兩邊分別相加，得

2a3+b3+c3≥ab2+c2+ba2+c2+ca2+b2≥2abc+2abc+2abc=6abc，

所以a3+b3+c3≥3abc.

注（1）上述證明是如此的簡潔、優美，與教材上用比較法證明相比，不僅避開了學生初中未學的兩數和的立方與兩數立方的和公式及配湊法、配方法的運用，而且大大降低了解題難度、減少了解題長度，更體現了數學知識之間的聯系，體現了公理化的思想.所以上述處理方式很好地體現了“用教材教，而不是教教材”的要求.

（2）由上面的不等式，只要一個代換“a3→a，b3→b，c3→c”，并兩邊同除以3，即得三元均值不等式：a+b+c3≥3abc.

2.3“玩”出“四元基本不等式”

已知a，b，c，d均是非負實數，求證：a4+b4+c4+d4≥4abcd.

證明1在不等式（*）中，令n=4，m=2知，a4+b4≥2a2b2，

同理，c4+d4≥2c2d2，

以上兩個不等式左右兩邊分別相加得，

a4+b4+c4+d4≥2a2b2+c2d2≥4abcd.

證明2在不等式（*）中，令n=4，m=1知，a4+b4≥ab3+a3b，

同理，a4+c4≥ac3+a3c，

a4+d4≥ad3+a3d，

b4+c4≥bc3+b3c，

b4+d4≥bd3+b3d，

c4+d4≥cd3+c3d.

以上6個不等式兩邊分別相加，得

3a4+b4+c4+d4

≥a（b3+c3+d3）+b（a3+c3+d3）+c（a3+b3+d3）+d（a3+b3+c3）

≥a·3bcd+b·3acd+c·3abd+d·3abc

=3×4abcd，即a4+b4+c4+d4≥4abcd.

注（1）上面的證明1簡單的難以想象！（2）由上面的不等式，只要一個代換“a4→a，b4→b，c4→c，d4→d”，并兩邊同除以4，即得四元均值不等式：a+b+c+d4≥4abcd.

2.4“玩”出“五元基本不等式”

已知a，b，c，d，e均是非負實數，求證：a5+b5+c5+d5+e5≥5abcde.

證明在不等式（*）中，令n=5，m=1知，

a5+b5≥ab4+a4b，

同理，a5+c5≥ac4+a4c，

a5+d5≥ad4+a4d，

a5+e5≥ae4+a4e，

b5+c5≥bc4+b4c，

b5+d5≥bd4+b4d，

b5+e5≥be4+b4e，

c5+d5≥cd4+c4d，

c5+e5≥ce4+c4e，

d5+e5≥de4+d4e.

以上10個不等式兩邊分別相加，得

4（a5+b5+c5+d5+e5）≥a（b4+c4+d4+e4）+b（a4+c4+d4+e4）

+c（a4+b4+d4+e4）+d（a4+b4+c4+e4）+e（a4+b4+c4+d4）

≥5×4abcde，

所以，a5+b5+c5+d5+e5≥5abcde.

注由上面的不等式，只要一個代換“a5→a，b5→b，c5→c，d5→d，e5→e”，并兩邊同除以5，即得五元均值不等式：a+b+c+d+e5≥5abcde.

2.5“玩”出“n元基本不等式”

由上述一系列的結論，自然有下面的猜想：一般的n元均值不等式：若ai（i=1，2，3，…，n）均是非負實數，則∑ni=1ani≥n∏ni=1ai，即1n∑ni=1ai≥n∏ni=1ai.并且由5元基本不等式的證明方法，自然會想到可以用數學歸納法給出其證明.

證明（1）當n=2時，a2+b2≥2ab已知成立.

（2）假設當n=k時，猜想正確，即∑ki=1aki≥k∏ki=1ai，

那么當n=k+1時，因為ak+1i+ak+1i+m≥aiaki+m+akiai+m（i=1，2，3，…，k，m=1，2，…，k，i+m≤k+1），

以上C2k+1=kk+12個不等式相加，并由歸納假設可得，

k∑k+1i=1ak+1i≥∑k+1i=1ai∑k+1j=1，j≠iakj

=a1（ak2+ak3+ak4+…+akk+1）+a2（ak1+ak3+ak4+…+akk+1）+…+ak（ak1+ak2+ak3+…+akk-1+akk+1）+ak+1（ak1+ak2+ak3+…+akk）

≥k+1k∏k+1i=1ai，

所以，∑k+1i=1ak+1i≥k+1∏k+1i=1ai.

這就是說，當n=k+1時，猜想也成立，即若ai（i=1，2，3，…，n）均是非負實數，則∑ni=1ani≥n∏ni=1ai，即1n∑ni=1ai≥n∏ni=1ai.3結束語

本文從教材中的一道例題開始，運用“類比”、“猜想”、“一般化”、“特殊化”等數學方法，首先得到了一個一般的二元不等式，并由此二元不等式依次演繹出了二元、三元、四元、五元、……、n元的基本不等式，且先得出的n元基本不等式是演繹下一個n+1元基本不等式的依據，演繹過程，環環相扣，層層遞進，證明方法類同，可以說是“多題一解”的典型案例.這樣處理，學生興趣濃、難度小、負擔輕、記得住、學得牢、用得上、能遷移、效果好.

總之，精心研究教材，研究數學問題之間的聯系，運用“類比、猜想、推廣、證明、應用”的教學結構，讓數學學習好像是在“玩”一場場智力游戲、思維游戲、推理游戲，并在“玩”中，掌握數學基礎知識，建立數學知識之間的聯系，形成良好的數學知識結構，實踐數學方法（類比、猜想、證明、一般化、特殊化、公理化），學會探索、推廣數學問題的方法，學會創新，在享受數學中學會數學，這應當是數學教學必需遵循的一條教學原則.這樣的數學教學必然會收到低負高效、事半功倍、點石成金的效果.